Desarrollo para aleta recta sección transversal constante

ALETAS DE ENFRIAMIENTO DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE
Considérese una aleta de enfriamiento recta de longitud L
con sección transversal constante, unida a una pared que
se encuentra a temperatura Tw y rodeada de un fluido a
temperatura T .
Dividiendo entre Axt :
qx x  qx

x x
x
qconv P
0
A
Comparando con la definición de la primera derivada:
f  x  x   f  x 
df
 lim
dx x 0
x
se ve que es necesario invertir el orden de los términos en
la primera fracción, sacando un signo negativo enfrente:
Se desea determinar el perfil de temperatura en la aleta y la
cantidad de calor disipado en estado estable.
Suposiciones
1.
2.
3.
4.
Estado estable.
Sólo hay conducción en la dirección x .
La temperatura de la base de la aleta es constante.
Sólo se considera las pérdidas de calor por convección
en los lados de la aleta, por lo que se ignora la pequeña
pérdida de calor en el extremo.
5. El coeficiente de transferencia de calor por convección
es constante.
6. La conductividad térmica es constante.
7. No hay generación de calor.
Balance de Energía y Ecuación Diferencial
Se considera un volumen de control de longitud x , que
tiene un área de sección transversal A y perímetro P :

qx
x x
 qx
x
x

qconv P
0
A
Entonces, en el límite cuando x  0 se obtiene la
ecuación diferencial que describe la transferencia de calor
en la aleta:

dqx qconv P

0
dx
A
Ahora, se introduce la ley de Fourier de la conducción:
qx   k
dT
dx
y la ley de Newton del enfriamiento, en la que la diferencia
de temperaturas se toma de tal forma que la dirección de la
convección concuerde con la suposición de que es una
salida de calor (es decir, que la aleta está a una mayor
temperatura que el medio ambiente):
qconv  h T  T 
Con estas dos leyes, la ecuación diferencial queda:

Las diversas contribuciones al balance
expresadas todas en joules (J), son:
Entrada de energía por conducción en x
de
energía,
qx x At
Salida de energía por convección en la superficie lateral
qconv Pxt
No hay generación
No hay acumulación (estable)
El balance de energía E – S + G = A queda:
At  qconv Pxt  0
x x
d 2T hP

T  T   0
dx 2 kA
Esta última es la ecuación diferencial para la aleta de
enfriamiento recta de sección transversal constante. Es una
ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no
homogénea de coeficientes constantes. Las condiciones de
frontera que aplican son:
 en x  0 : T  Tw
 en
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d 2T hP

T  T   0
dx 2
A
o bien:
At
qx
x x
Como la conductividad térmica es constante:
k
Salida de energía por conducción en x  x
qx x At  qx
d  dT  h T  T  P
0
 k

dx 
dx 
A
x  L:
dT
 0 (porque qx  0 )
dx
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Adimensionalización de la Ecuación Diferencial
Para simplificar el procedimiento de solución, se introducen
las siguientes variables adimensionales:

x
L

T  T
Tw  T
que tienen la ventaja adicional de estar normalizadas, por lo
que siempre se va a cumplir que 0    1 y 0    1 .
Al convertir la ecuación
adimensionales, se obtiene:
diferencial
a
las
variables
d 2  hPL2

0
d 2
kA
Se puede demostrar fácilmente que el coeficiente de  no
tiene unidades, lo que permite definir un número
adimensional característico de este problema: el número de
Biot:
hPL2
Bi 
kA
Bi 
rapidez de transferencia de calor por convección
rapidez de transferencia de calor por conducción dentro de la aleta
Aplicando la condición de frontera :
1  C1 senh  0  C2 cosh  0 
Ya que senh  0   0 y cosh  0  1, se tiene que C2  1 ,
con lo que la solución se vuelve:
  C1 senh  a  cosh  a
Para poder aplicar la condición de frontera  se necesita
encontrar la derivada de la solución:
d
 aC1 cosh  a   a senh  a 
d
y en esta última ecuación sustituir la condición de frontera:
0  aC1 cosh  a(1)   a senh  a(1) 
de donde se despeja C1 :
C1  
senh  a 
 C1   tanh  a 
cosh  a 
y al sustituir en la ecuación diferencial:
   tanh  a  senh  a  cosh  a
que, con un poco de manipulación se obtiene:
Solución de la Ecuación Diferencial
Para facilitar la solución de la ecuación diferencial, se toma
2
la constante a  Bi , con lo que la ecuación se vuelve:
d 2
 a 2  0
2
d
Ésta es una ecuación diferencial de segundo orden,
homogénea, de coeficientes constantes.
Su ecuación
característica es:
m a 0
2
2
ya que a (que es el número de Biot) es una cantidad
positiva, las raíces de la ecuación característica son reales:
2
m  a
La solución puede expresarse con funciones exponenciales.
Sin embargo, como las raíces son números reales iguales de
signo opuesto, es más conveniente expresar la solución en
términos de funciones trigonométricas hiperbólicas:
  C1 senh  a  C2 cosh  a
Para encontrar las constantes, hay que aplicar las
condiciones de frontera, que también se pueden expresar
empleando las variables adimensionales:
 en   0 :   1
d
0
 en   1 :
d
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  cosh  a 1  tanh  a  tanh  a 
Regresando a las variables originales, se llega al perfil de
temperaturas buscado:
T  T
x

 cosh 
Bi  1  tanh
Tw  T
L

 Bi  tanh  Lx

Bi  

Rapidez de Disipación de Calor
La cantidad de calor disipado por la aleta se puede obtener
de dos formas. La primera es sumando todo el calor
transferido por convección a partir de la superficie de la
aleta. Ya que la temperatura no es uniforme a lo largo de
la aleta, este calor se debe obtener por integración:
Q

L
0
qconv Pdx
O bien, como la aleta se encuentra en estado estable, la
misma cantidad de calor que se pierde por convección es la
que debe estar entrando por conducción a través de la base
de la aleta:
Q  kA
dT
dx
x 0
Para facilitar el trabajo algebraico, se vuelve a introducir las
variables adimensionales  y  para encontrar el
equivalente adimensional de dT / dx :
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dT Tw  T  d 

dx
L
d
Simplificando:

por lo que la cantidad de calor buscada sería:
Q
d
Bi tanh Bi
pero se tiene que:
kA Tw  T  d 
L
kA
hPL2
kA
1

2
hPL Bi
 0
La derivada d  / d  ya se había obtenido cuando se
estaban aplicando las condiciones de frontera:
por lo que la eficiencia de la aleta es:
d
 aC1 cosh  a   a senh  a 
d
Sustituyendo C1   tanh  a  :
d
 a tanh  a  cosh  a   a senh  a 
d

tanh Bi
Bi
Es importante recordar que esta expresión no aplica para
otros tipos de aletas, únicamente para aletas rectas de
sección transversal constante.
La eficiencia se suele graficar en función de
d
 a tanh  a  cosh  0   a senh  0 
d  0
d
 a tanh  a 
d  0
Por lo tanto:
Q
kA Tw  T 
L
 a tanh  a  
es decir:
Bi :
1
Eficiencia de la aleta
Al sustituir   0 :
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
Bi
Q
kA Tw  T 
L
Bi tanh Bi
Eficiencia de la Aleta
Para determinar la cantidad de calor transferido por una
aleta real, se obtiene la eficiencia de la gráfica y se
multiplica por Qideal :
Q  Qideal
Se define primero una aleta ideal para la cual toda la
superficie se encuentra a la misma temperatura de la base
(aleta isotérmica). Esta aleta es la que transfiere la máxima
cantidad teórica de calor:
Qideal  hS Tw  T 
donde S es la superficie de la aleta. Para una aleta recta
de sección transversal constante, S  PL .
A continuación, se define la eficiencia de la aleta como la
relación del calor transferido entre el calor de la aleta ideal:

Q
Qideal
Sustituyendo Q y Qideal en la definición de
:
kA Tw  T 
Bi tanh Bi
L

hPL Tw  T 
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