Soluciones a “Ejercicios y problemas”

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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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En las dos orillas de un río hay dos palmeras. La más alta mide 30 codos; la
otra, 20 codos, y la distancia entre ambas es de 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. Al descubrir los dos pájaros un pez en la superficie del río, se lanzan rápidamente, alcanzando al pez al mismo tiempo.
¿A qué distancia del tronco de la palmera más alta apareció el pez?
d
30
x
d
P
d 2 = 202 + (50 – x)2 ° La distancia a P es la mis¢ ma desde las dos palmeras.
2
2
2
20 d = 30 + x
£
50 – x
202 + (50 – x)2 = 302 + x 2 8 400 + 2 500 – 100x + x 2 = 900 + x 2 8
8 2 000 = 100x 8 x = 20 m
A 20 m de la palmera más alta.
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Si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de
estas, el resultado es 18. Averigua cuál es el número sabiendo que la cifra de las unidades es 2.
x es la cifra de las decenas. El número es 10x + 2.
(10x + 2) – (20 + x) = 18 8 9x – 18 = 18 8 9x = 36 8 x = 4
El número buscado es 42.
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Un pintor tarda 3 horas más que otro en pintar una pared. Trabajando juntos
pintarían la misma pared en 2 horas. Calcula cuánto tarda cada uno en hacer el
mismo trabajo en solitario.
Un pintor, en 1 hora, pinta 1 de la pared.
x
El otro pintor, en 1 hora, pinta
1 de la pared.
x+3
Entre los dos, en 1 hora, pintan 1 de la pared.
2
Unidad 5. Ecuaciones
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(
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)
1 + 1 = 1 8 2x (x + 3) 1 + 1
= 2x(x + 3) 1 8
x x+3 2
x x+3
2
8 2(x + 3) + 2x = x (x + 3) 8 2x + 6 + 2x = x 2 + 3x 8 x 2 – x – 6 = 0 8
x=3
x = –2. No vale.
8 x = 1 ± √1 + 4 · 6 = 1 ± 5
2
2
Uno tarda 3 h y el otro tarda 6 horas en hacer el trabajo en solitario.
■ Reflexiona sobre la teoría
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Si al resolver una ecuación de primer grado llegamos a 0 · x = 3, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación? ¿Y si llegamos a 0 · x = 0?
0 · x = 3 La ecuación no tiene solución, porque ningún número multiplicado por 0
puede ser igual a 3.
0 · x = 0 La ecuación tiene infinitas soluciones, porque cualquier número multiplicado
por 0 es igual a 0.
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Algunas de las siguientes “ecuaciones” no tienen solución y otras tienen infinitas soluciones. Resuélvelas y comprueba los resultados (recuerda que, en realidad,
estas igualdades no son ecuaciones, ya que no tienen término en x ).
a) 4(2x + 1) – 3(x + 3) = 5(x – 2)
b) 2(x – 3) + 1 = 3(x – 1) – (2 + x)
c) 3x + 1 = 2x – x – 1
2
2
d) x + 2x – 7 = 2x + 1 – x
4
2
a) 4(2x + 1) – 3(x + 3) = 5(x – 2) 8
8 8x + 4 – 3x – 9 = 5x – 10 8 0x = –5 8 No tiene solución.
b) 2(x – 3) + 1 = 3(x – 1) – (2 + x) 8
8 2x – 6 + 1 = 3x – 3 – 2 – x 8 0x = 0
c) 3x + 1 = 2x – x – 1 8
2
2
(
8 Tiene infinitas soluciones.
) (
2 3x + 1 = 2 x – 1
2
2
)
8
8 3x + 1 = 4x – x + 1 8 0x = 0 8
8 Tiene infinitas soluciones.
(
) (
)
2x – 7 = 2x + 1 – x 8 4 x + 2x – 7 = 4 2x + 1 – x 8
4
2
4
2
8 4x + 2x – 7 = 8x + 2 – 2x 8 0x = 9 8 No tiene solución.
d) x +
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Resuelto en el llibro del alumno
Unidad 5. Ecuaciones
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Inventa ecuaciones de segundo grado con:
a) Dos soluciones: x = –2 y x = 3
b) Dos soluciones: x = 3 y x = – 2
3
c) Dos soluciones: x = 0 y x = –5
d) Una solución: x = 4
e) Ninguna solución.
a) (x + 2)(x – 3) = 0 8 x 2 – x – 6 = 0
(
)
b) (x – 3) x + 2 = 0 8 x 2 – 7 x – 2 = 0 8 3x 2 – 7x – 6 = 0
3
3
c) x (x + 5) = 0 8 x 2 + 5x = 0
d) (x – 4)2 = 0
e) x 2 + 100 = 0
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Si el discriminante de una ecuación de segundo grado es D = 5, ¿qué podemos
decir del número de soluciones de la ecuación? ¿Y si D = 0?
Si D = 5, el número de soluciones es 2.
Si D = 0, el número de soluciones es 1.
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En la ecuación x 2 – 14x + m = 0:
a) ¿Qué valor debe tomar m para que tenga dos soluciones iguales?
b) ¿Y para que sean distintas?
c) ¿Y para que no tenga solución?
a) x 2 – 14x + m = 0
D = 142 – 4 · m = 0 8 196 – 4m = 0 8 m = 49
b) Para que sean distintas, m ? 49 y m < 49.
c) Para que no tenga solución, 196 – 4m < 0 8 196 < 4m 8 m > 49.
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¿Cuál debe ser el valor de a para que x = 2 sea solución de la ecuación
(x – 3)2 – x 3 + a = 0? Justifica tu respuesta.
(x – 3)2 – x 3 + a = 0 8 (2 – 3)2 – 23 + a = 0 8 1 – 8 + a = 0 8 a = 7
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¿Son equivalentes las ecuaciones x 2 – 2x = 0 y 2x – 4 = 0? Justifica tu respuesta.
x=2
x 2 – 2x = 0 8 x (x – 2) = 0
x=0
2x – 4 = 0 8 x = 2
No son equivalentes, porque no tienen las mismas soluciones.
Unidad 5. Ecuaciones
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La ecuación x 2 + bx + 4 = 0, ¿puede tener por soluciones 2 y 3? Razona tu
respuesta.
x 2 + bx + 4 = 0
22 + 2b + 4 = 0 8 b = –4
32 + 3b + 4 = 0 8 b = – 13
3
No, porque para que 2 sea solución tiene que ser b = –4, y para que 3 sea solución, b = – 13 . Solo sería posible si obtuviéramos el mismo valor para b en am3
bos casos.
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Expresa en función de m la solución de la ecuación mx – x = 4m.
¿Para qué valor de m la ecuación no tiene solución?
mx – x = 4m 8 x (m – 1) = 4m 8 x = 4m
m–1
No tiene solución para m = 1.
Unidad 5. Ecuaciones
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