Hallar la ecuación reducida de la hipérbola sabiendo que tiene por

Problema realizado por Jorge Sánchez Racionero
Enunciado:
Hallar la ecuación reducida de la hipérbola sabiendo que tiene por focos:
1. F(3, 0), F’(-3, 0) y cuya diferencia de distancias es 4.
2. F(0, 6), F’(0 –6) y cuya diferencia de distancias es 2.
Teoría:
•
Hipérbola. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia a dos
puntos fijos llamados focos es constante.
•
Focos. Son dos puntos fijos. F y F’.
•
Eje focal. Recta que contiene a los focos.
•
Eje secundario o imaginario. La mediatriz del segmento FF'
•
Centro. Es la intersección de los ejes focal y secundario.
•
Diferencia de distancias. Es la diferencia entre las distancias de cualquier
punto de la hipérbola a los focos. Esta diferencia es igual al eje mayor (2a).
d(p,F) − d(p,F') = 2a
•
Distancia focal. Es la longitud del segmento FF' = 2c
•
Eje mayor. Longitud del segmento AA' = 2a
•
Eje menor. Longitud del segmento BB' = 2b
•
Vértices. A y A’(vértices reales). Se obtienen de hacer la intersección de la
hipérbola con el eje focal; B y B’(vértices imaginarios).Se obtienen de hacer la
intersección con radio c, desde el vértice A cortando al eje imaginario.
•
Relación entre a, b y c.
c 2 = b2 + a2
•
Ecuación reducida de la hipérbola
Para poder utilizar esta ecuación el centro debe ser (0,0). Hay dos variantes:
Si Eje Focal = Eje OX y Eje Imaginario = Eje OY
x2 y2
−
=1
a2 b2
Si Eje Focal = Eje OY y Eje Imaginario = Eje OX
y2 x2
−
=1
a2 b2
Sustituimos a y b 2 en la ecuación reducida de la hipérbola utilizando la ecuación
en la que el Eje focal = Eje OX y el Eje Imaginario = Eje OY porque los focos se
encuentran en el Eje OX y los vértices B y B’ se encuentran en el Eje OY.
Resolución gráfica 1:
En esta gráfica podemos observar la hipérbola que tiene por focos F(3,0) y F’(-3,0)
y cuya diferencia de distancias es 4.
Cálculo 1:
Para hallar la ecuación de la hipérbola, necesitamos conocer a, b y c.
Averiguamos a sabiendo que la diferencia de distancias es 2ª.
d(p,F) − d(p,F') = 2a
4=2a
2=a
Hallamos el valor de c utilizando la relación del eje focal
FF' = 2c
6=2c
c=3
Ahora averiguamos el valor de b 2 utilizando la relación entre a, b y c, ya que
conozco a y c.
c 2 = b2 + a2
b 2 = (3 ) − (2) = 5
2
2
Sustituimos a y b 2 en la ecuación reducida de la hipérbola utilizando la ecuación
en la que el Eje focal = Eje OX y el Eje Imaginario = Eje OY porque los focos se
encuentran en el Eje OX y los vértices B y B’ se encuentran en el Eje OY.
x2 y2
−
=1
a2 b2
x2
(2)2
−
y2
=1
5
−
y2
=1
5
Solución 1:
Desarrollamos la ecuación anterior:
x2
(2)2
5x 2 − 4y 2 − 20 = 0
Resolución gráfica 2:
En esta gráfica podemos observar la hipérbola que tiene por focos F(0,6) y F’(0,-6)
y cuya diferencia de distancias es 2.
Cálculo 2:
Para hallar la ecuación de la hipérbola, necesitamos conocer a, b y c.
Averiguamos a sabiendo que la diferencia de distancias es 2a.
d(p,F) − d(p,F') = 2a
2=2a
a=1
Hallamos el valor de c utilizando la relación del eje focal
FF' = 2c
12=2c
c=6
Ahora averiguamos el valor de b 2 utilizando la relación entre a, b y c, ya que
conozco a y c.
c 2 = b2 + a2
b 2 = (6 ) − (1) = 35
2
2
Sustituimos a y b 2 en la ecuación reducida de la hipérbola utilizando la ecuación
en la que el Eje focal = Eje OY y el Eje Imaginario = Eje OX porque los focos se
encuentran en el Eje OY y los vértices B y B’ se encuentran en el Eje OX.
y2 x2
−
=1
a2 b2
y2 x2
−
=1
(1)2 35
Solución 2:
Desarrollamos la ecuación anterior.
y2
(1)2
−
x2
=1
35
x 2 − 35y 2 + 35 = 0