NOTAS DE GEOMETRIA EUCLIDIANA

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CAPÍTULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
Introducción
La relación de congruencia como relación primitiva que regula este tercer grupo, se introduce
entre los segmentos y entre los ángulos dando origen a dos de los Axiomas de mayor utilización
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en la construcción de la teoría como son, el Axioma de construcción del segmento y el Axioma de
construcción del ángulo.
Objetivos Específicos
1. Aclarar como la relación de congruencia, que es también una relación de
equivalencia, es distinta de la relación de igualdad.
2. Destacar, como se presentará en muchos otros contextos posteriores, que las
relaciones de congruencia establecidas entre los segmentos, se cumplen en forma
dual para los ángulos.
3. Definir una figura cual es el triángulo, que se puede considerar como la piedra
angular en la Geometría Euclidiana. Esta figura es el eje central del trabajo
geométrico y a partir de la definición de la congruencia entre triángulos,
fundamentada ella en las relaciones de congruencias entre segmentos y entre
ángulos se le dotaran cada vez de más propiedades, a medida que se avanza en la
construcción de la teoría.
4. Presentar necesariamente como un Axioma el primer caso de congruencia de
triángulos (L-A-L), permitiendo la presentación de los dos siguientes (A-L-A) y (LL-L) como teoremas.
5. Introducir la primera clasificación entre los triángulos como isósceles y
equiláteros y las propiedades por equivalencia que caracterizan a sus ángulos.
6. Establecer una segunda clasificación angular, correspondiente a los ángulos
adyacentes, ángulos que hacen par lineal y ángulos opuestos por el vértice.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
7. Definir los ángulos rectos sin requerir para nada de la función de medida,
insistiendo una vez más en la importancia del trabajo preciso, coherente que
caracteriza el desarrollo de una teoría axiomática.
8. Presentar la definición de rectas perpendiculares como una consecuencia
inmediata de la existencia de los ángulos rectos.
9. Definir el triángulo rectángulo en términos de una figura de este tipo que tiene
mínimo dos ángulos rectos y mostrar la coherencia de la misma con la teoría vista
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y como posteriormente se prueba la unicidad de dicho ángulo.
10. Definir las nociones duales en sus contextos respectivos, de punto medio de un
segmento no nulo y bisectriz de un ángulo no nulo y no llano.
11. Caracterizar los designados como segmentos y también (hago énfasis personal en
ello) las rectas notables en el triángulo, destacando las propiedades que
caracterizan en particular al triángulo isósceles.
12. Mostrar como desde la relación de congruencia, se definen las relaciones mayor,
respectivamente menor entre segmentos y su dual entre ángulos, nuevamente sin
recurrir a la función de medida.
13. Evidenciar como se avanza en la construcción de la teoría sin aplicar
necesariamente la función medida.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.1 LA RELACIÓN DE CONGRUENCIA.
Cuando se piensa en la forma y tamaño de las figuras geométricas, surge de un modo natural
la posibilidad de que dos o más figuras coincidan.
El paso siguiente de este trabajo, consiste en establecer una relación que incluye esta
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posibilidad en el tratamiento geométrico.
Se denomina congruencia a esta nueva relación. Será suficiente establecer sin definición dicha
relación para segmentos y ángulos, y después extenderlo mediante definiciones para otras
figuras u objetos geométricos.
En adelante podremos hacer afirmaciones como:
AB es congruente con CD ,
o bien,
ABˆ C es congruente con DEˆ F .
La relación de congruencia será denotada por el signo primitivo
afirmaciones se podrán escribir:
AB  CD , ABˆ C  DEˆ F .

y así las anteriores
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3.2 GRUPO III. AXIOMAS DE CONGRUENCIA.
III.1 Axioma de la construcción del segmento.
Sea AB un segmento cualquiera y CE una semirrecta de origen C.
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Entonces existe en CE un único punto D tal que AB  CD . (Ver Figura 30).
Figura 30
En términos prácticos, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un segmento
haciendo uso, por ejemplo, de regla y compás.
III.2 La congruencia entre segmentos es una relación de equivalencia
i.
Propiedad reflexiva: Cada segmento es congruente consigo mismo, es decir:
AB  AB para todo segmento AB .
ii. Propiedad de simetría: Si AB  CD , entonces CD  AB .
iii. Propiedad transitiva: Si AB  CD y CD  EF entonces AB  EF .
III.3 Sean A, B, C puntos de una recta a y A', B', C' puntos de a ó de otra recta b tales que B
está entre A y C y B' entre A' y C'.
i.
Si AB  A' B' y BC  B'C ' , entonces, AC  A'C ' .
ii. Si AB  A' B' y AC  A'C ' , entonces, BC  B'C ' .
(Ver Figura 31).
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Figura 31
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El anterior axioma expresa que la "suma" y la "diferencia" de segmentos congruentes, dan
lugar a segmentos congruentes.
III.4 Axioma de la construcción del ángulo.


Sea  OA, OB un ángulo cualquiera y O' un punto de una recta l situada en un plano
Sea
Πl

.
uno cualquiera de los semiplanos en que l divide a Π y O´C una de las semirrectas
en que O' divide a l.
Entonces existe una semirrecta única O' D situada en el semiplano  l tal que:

 

 OA, OB   O' C, O' D
(Ver Figura 32)
Figura 32
Igual que en III.1, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un ángulo
haciendo uso por ejemplo, del compás y la regla.
III.5 La congruencia entre ángulos es una relación de equivalencia
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
El siguiente axioma expresa que la relación de congruencia entre ángulos verifica las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, en términos similares a los del axioma 3.2, es
decir:
i.

 

 OA, OB   OA, OB .
 

iii. Si
OA, OB  UC, UD
OA, OB  WX , WY .


  
UC, UD  WX , WY 
ii. Si  OA, OB   O' X , O'Y , entonces,  O' X , O'Y   OA, OB .
entonces
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y
III.6 Sea OH ,
OK , OL
semirrectas con un mismo origen O y situadas en un mismo
plano.
Sea O' R , O' S , O'T semirrectas con un mismo origen O’ y situadas en  o en otro
plano  ' .


Supongamos además que OL está en el interior de  OH , OK y


O'T
en el
interior de  O' R, O' S . (Ver Figura 33).
En consecuencia:
 

OH , OK   O' R, O' S .
OH , OL  O' R, O'T 
ii. Si
i. Si

 OH , OL   O' R, O'T

 

entonces

 

entonces
y
 OL, OK   O'T , O' S
y
 OH , OK   O' R, O' S
 OL, OK    O' T , O' S  .




Figura 33
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Este axioma, lo mismo que el III.3, expresa que la suma y la diferencia de ángulos
respectivamente congruentes, dan como resultado, ángulos respectivamente congruentes.
Definición 10.
Sean A, B, C tres puntos distintos y no colineales. Los segmentos AB , BC , CA

determinarán el triángulo de vértices A, B, C que denotaremos: ABC ó A B C , y se
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define:
̅̅̅̅̅ ∪ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ .
∆ 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵
𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐶
Los segmentos AB , BC y CA se llaman lados del triángulo. Los ángulos ABˆ C ,
ˆ C y ACˆ B se llaman ángulos interiores o simplemente, ángulos del triángulo
BA

A B C y también serán denotados por sus vértices o sea  , B̂ , Ĉ .

En un triángulo A B C , diremos que  es el ángulo opuesto al lado BC y B̂ y Ĉ son
ángulos adyacentes a dicho lado. Recíprocamente, BC se llama lado opuesto al ángulo  y el
mismo lado BC se llama lado adyacente tanto a B̂ como a Ĉ . (Ver Figura 34).
Esta misma terminología es aplicable a los otros ángulos y lados del triángulo.
Figura 34
Definición 11.
El triángulo ABC es congruente al triángulo A’B’C’ si:
AB  A' B' , AC  A'C ' , BC  B'C ' .
ˆ C  B' A
ˆ ' C ' , BC
ˆ A  B' C
ˆ ' A' .
ˆ C  A' B
ˆ ' C ' , BA
AB
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Escritura simbólica:
ABC  A' B' C' .
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(Ver Figura 35).
Figura 35
La definición anterior establece que dos triángulos son congruentes si tanto los lados como los
ángulos se presentan en pares respectivamente congruentes.
Consecuencias de esta definición:
Si dos triángulos son congruentes, entonces, a lados respectivamente congruentes se
oponen ángulos respectivamente congruentes y recíprocamente.
El siguiente axioma establece condiciones mínimas para la congruencia de dos triángulos y se
denomina axioma LADO-ÁNGULO-LADO, en símbolos: L-A-L.
III.7 Axioma L-A-L.
Si los triángulos ABC y A’B’C’ presentan las congruencias: AB  A' B' , AC  A'C ' y
ˆ C  B' A
ˆ ' C ' , entonces
BA
ABC  A' B' C' . (Figura 36.).
Figura 36
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Según el axioma L-A-L, dos triángulos son congruentes si en uno de ellos existen dos lados y el
ángulo comprendido (entre dichos lados), respectivamente congruentes a dos lados y el
ángulo comprendido (entre dichos lados), en el otro triángulo.
El siguiente teorema establece que la relación de congruencia entre segmentos
(respectivamente entre ángulos), mantiene la disposición de los puntos en una recta
(respectivamente, la disposición de las semirrectas que tienen el origen en el vértice de un
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ángulo.).
TEOREMA 9.
Sean A, B, C tres puntos de una recta a y A’B’C’ tres puntos de una recta b tales que,
AB  A' B' y AC  A'C ' .
Si B está entre A y C y B’ está del mismo lado que C’ con respecto a A’ (ver Figura 33),
entonces B’ está entre A’ y C’.
Figura 37
Demostración.
Por el axioma de construcción del segmento, existe un punto C’’ en b tal que B’ está entre A’ y
C’’ y además BC  B'C ' ' . (Ver Figura 37.).
El teorema quedará demostrado si se logra probar que C’’ coincide con C’.
De las congruencias:
AB  A' B' .
BC  B'C ' ' .
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Se obtiene AC  A'C ' ' (Suma de segmentos), y como AC  A'C ' (hipótesis) se concluye
A' C '  A' C ' ' (transitividad). De donde se sigue, como una consecuencia del axioma de
construcción del segmento, que C' y C" coinciden pues están en la recta b, del mismo lado de
A'. Ya que C" se tomó de modo que B' está entre A' y C" se concluye que B' está entre A' y C',
como se quería demostrar.
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Tiene lugar un teorema, análogo al anterior, para ángulos.
TEOREMA 10.
Supongamos que en cierto plano fijo se tienen las semirrectas OH , OK y OL y que
en el mismo plano o en otro cualquiera, se tienen las semirrectas O ' H ' , O' K ' y O ' L ' .
Supongamos además que las semirrectas OK y OL están en el mismo semiplano
respecto a la recta OH y que las semirrectas O' K ' , O ' L ' tienen disposición análoga
con respecto a O ' H ' .

 

OH , OL  O' H ', O'L' 
Entonces, si  OH ,. OK   O' H ', O' K ' y
En consecuencia:


Si la semirrecta OK está en el interior de  OH , OL (Figura 38), la semirrecta O' K '


estará así mismo en el interior de  O' H ', O' L' .
Figura 38
TEOREMA 11. (Caso Ángulo-Lado-Ángulo: A-L-A)
Sean ABC y A' B' C' dos triángulos tales que:
̂′ 𝐴′.
AB  A' B' , BAˆ C  B' Aˆ ' C ' ,𝐶𝐵̂𝐴 ≅ 𝐶′𝐵
Entonces, ABC  A' B' C' . (Figura 39).
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Figura 39
Demostración.
Esta consistirá en demostrar que AC  A'C ' con lo cual se tiene ABC  A' B' C' (por el
axioma L-A-L).
Razonando por reducción al absurdo, supongamos AC  A'C ' . Sea D un punto en la
semirrecta AC tal que:
AD  A'C ' (Axioma de construcción del segmento).
Por tanto, ABD  A' B' C' (Axioma L-A-L). (Ver Figura 40).
Figura 40
Luego DBˆ A  C ' Bˆ ' A' y como CBˆ A  C ' Bˆ ' A' , (hipótesis), se tiene por transitividad,
ˆ A  CB
ˆ A lo cual contradice el axioma de construcción del ángulo. Esta contradicción
DB
permite concluir que AC  A'C ' como se quería demostrar.
Definición 12.
i.
Se llama triángulo isósceles aquel que tiene al menos dos lados congruentes
(Figura 41).
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ii. Si el triángulo ABC es isósceles con AB  AC y BC  AB , entonces se llama
base del triángulo al tercer lado BC .
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Figura 41
TEOREMA 12.
En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
Demostración.
Figura 42
Sea ABC un triángulo isósceles con AB  AC .
Veamos que los ángulos B̂ y Ĉ son congruentes.
Sean D y E puntos tales que B está entre A y D, C entre A y E y BD  CE . ¿Por qué ? (Ver
Figura 42).
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Por suma de segmentos, AE  AD .


Entonces en los triángulos A B E , AC D se tiene:
ˆ E  CA
ˆD .
AB  AC , AE  AD , BA
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(El ángulo del vértice en A es común para ambos triángulos).
Se concluye que dichos triángulos son congruentes (L-A-L). De donde:
ˆ C  BE
ˆ C , BE  CD , AB
ˆ E  ACˆ D .
BD
Consideremos ahora los triángulos, BDC , CEB . En dichos triángulos se tiene:
ˆ C  BE
ˆC .
BD  CE , CD  BE , BD
Luego BDC  CEB (Axioma L-A-L), de donde, EBˆ C  DCˆ B . Y puesto que ya se tenía
ˆ E  ACˆ D , se sigue por diferencia de ángulos que AB
ˆ C  ACˆ B que era lo que se quería
AB
demostrar.
Definición 13. Primera clasificación angular.
i.
Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen el mismo vértice, un lado común y
ninguno de los lados de uno de ellos está en el interior del otro (Ver Figura 43).
ii. Dos ángulos hacen un par lineal si son adyacentes y los lados no comunes son
semirrectas opuestas. (Ver Figura 44).
iii. Dos ángulos se llaman opuestos por el vértice si tienen el mismo vértice y sus
lados son semirrectas opuestas. (Ver Figura 45).
Figura 43
Figura 44
Figura 45
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En la Figura 43, los ángulos AOˆ B , BOˆ C son adyacentes. En la figura 44, los ángulos AOˆ B y
ˆ C hacen un par lineal. En la Figura 45, los ángulos AO
ˆ C y BO
ˆ D son opuestos por el
BO
vértice.
Observaciones.
1. Todo ángulo hace un par lineal con, exactamente, dos de sus ángulos adyacentes. En la
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Figura 45, el ángulo AOˆ B hace un par lineal con BOˆ D y también con AOˆ C .
2. Cuando dos rectas distintas se cortan, determinan, alrededor del punto común, cuatro
ángulos que son opuestos por el vértice de dos en dos. En la Figura 46, las parejas
ˆ B y CO
ˆ D , así como AO
ˆ C y BO
ˆ D son respectivamente ángulos opuestos por el
AO
vértice.
Figura 46
TEOREMA 13.
Si uno de los ángulos de un par lineal, es congruente a uno de los ángulos de otro par
lineal, entonces los otros dos ángulos también son respectivamente congruentes.
Demostración.
Sean AOˆ B , AOˆ C un par lineal y A' Oˆ ' B ' , A' Oˆ ' C ' otro par lineal tales que AOˆ B  A' Oˆ ' B'
(Figura 47). Veamos que AOˆ C  A' Oˆ ' C ' .
Supongamos que los puntos A', B', C' se tomaron de tal modo que:
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Figura 47
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OA  O' A' , OB  O' B' , OC  O'C ' . ¿Por qué? (Ver Figura 48).
Figura 48
Se tiene por la tanto,
AOB  A' O' B' , (L-A-L) y
CB  C ' B' (Suma de segmentos congruentes).
De donde, OBˆ A  O' Bˆ ' A' y AB  A' B'
Ahora se puede concluir que:
ABC  A' B' C' , (L-A-L)
Luego,
ˆ ' C ' y AC  A'C ' .
ACˆ B  A' B
De
estas
dos
últimas
relaciones
junto
con OC  O'C ' podemos
afirmar
que
AOC  A' O' C' (L-A-L) y por tanto concluir que:
ˆ C  A' O
ˆ ' C ' como se quería.
AO
COROLARIO.
Dos ángulos opuestos por el vértice, son congruentes.
Demostración.
Sean AOˆ B y COˆ D ángulos opuestos por el vértice, luego las semirrectas OC y OB están
en línea recta, lo mismo que las semirrectas OA y OD . (Ver Figura 49).
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ˆ B y COˆ D son congruentes.
Veamos que los ángulos AO
Figura 49
Esto resulta como una consecuencia del teorema anterior, ya que el ángulo AOC hace un par
lineal con cada uno de dichos ángulos.
El teorema 14 corresponde al recíproco del teorema 12, como se verá a continuación.
TEOREMA 14.
Si un triángulo tiene dos de sus ángulos congruentes, entonces, los lados opuestos a
ellos son congruentes y en consecuencia el triángulo es isósceles.
Demostración.
Consideremos en el triángulo ABC, los ángulos ABˆ C y ACˆ B congruentes y veamos que
AB  AC (Figura 50).
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Figura 50
Para ello, sean D y E puntos tales que B está entre A y D, C entre A y E y BD  CE . ¿ por qué?
Por el teorema 13, y en vista de que ABˆ C  ACˆ B y además ABˆ C y CBˆ D hacen un par
lineal y ACˆ B y BCˆ E hacen otro par lineal, se tiene:
CBˆ D  BCˆ E .
Δ
Δ
Siendo BC un lado común para los triángulos C B D y C B E , se concluye que dichos
triángulos son congruentes (L-A-L). De donde:
BE  CD , BDˆ C  BEˆ C , EBˆ C  DCˆ B .
Como se tienen las congruencias, ABˆ C  ACˆ B y EBˆ C  DCˆ B , se sigue que ABˆ E  ACˆ D

Δ
(Suma de ángulos congruentes) y por lo tanto los triángulos A B E , A C D que tienen además
BEˆ C  BDˆ C y BE  CD , son congruentes (A-L-A), de donde AB  AC como se quería
demostrar.
Observación.
Los teoremas 12 y 14 se pueden reunir en un solo enunciado, así:
TEOREMA 15.
Un triángulo es isósceles si y solo si al menos dos de sus ángulos son congruentes.
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Definición 14.

Un triángulo A B C se llama equilátero si sus tres lados son congruentes, es decir,
AB  AC  BC .
Una consecuencia del teorema 15 es la siguiente:
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COROLARIO.
Un triángulo es equilátero si y solo si sus ángulos interiores son congruentes.
Observación.
La demostración del corolario anterior se propone al lector.
Definición 15.
Un triángulo ∆ ABC se llama equiángulo si sus tres ángulos son congruentes, es
𝐴̂ ≅ 𝐵̂ ≅ 𝐶̂ .
TEOREMA 16. (Caso Lado-Lado-Lado: L-L-L).
Sí un triángulo tiene sus tres lados respectivamente congruentes a los tres lados de
otro triángulo entonces estos dos triángulos son congruentes.
Demostración.


Sean A B C y A' B' C ' dos triángulos que tienen: (Figura 51),
AB  A' B' , AC  A'C ' , BC  B'C ' .
Consideremos en el semiplano
BC
~ A el punto A" tal que:
CB̂A' '  A' B̂' C' , A' ' B  A' B' . (Axiomas de construcción del segmento y el ángulo)
decir
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Figura 51
Según el axioma de separación, el segmento AA' ' tiene un punto P en el segmento BC . Para
dicho punto P se presentan tres opciones:
1. P está en el interior de BC , como en la Figura 51.
2. P coincide con uno de los extremos, corno en la Figura 52.
3. P está en el exterior de BC , como en la Figura 53.
Figura 52
Figura 53
Vamos a demostrar el caso 1. Los otros dos se dejan al lector.


Los triángulos A' B' C ' y A' ' B C son congruentes por tener:
A' ' B  A' B' , BC  B'C ' , CBˆ A  C ' Bˆ ' A' (L-A-L).
Δ

Veamos ahora que los triángulos A B C y A' ' B C son congruentes.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Por una parte se tiene AB  A' B' y A' B'  A' ' B , luego AB  A' ' B (transitividad), de donde
Δ
el triángulo A B A' ' es isósceles y por tanto BÂA' '  BÂ' ' A (Teorema 12).
Δ
ˆ A' '  CA
ˆ '' A .
En la misma forma, el triángulo A C A' ' es isósceles y por tanto CA
Por otra parte, el segmento AA' ' pasa por P, punto entre B y C, luego dicho segmento está en el
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ˆ ' ' C , y por el axioma de suma de ángulos congruentes se
interior de los ángulos BAˆ C y BA
ˆ C  BA
ˆ ' 'C .
tiene: BA
Δ

Finalmente, los triángulos A B C y A' ' B C tienen:
ˆ C  BA
ˆ ' 'C
AB  A' ' B , AC  A' ' C , BA
y por el axioma L-A-L se concluye, ABC  A' ' BC . Como ya se tenía Á ' B' C '  A' ' BC
entonces, por transitividad4, ABC  A' B' C' como se quería demostrar.
Definición 16.
Si los ángulos de un par lineal son congruentes, cada uno de ellos se llama ángulo recto.
(Figura 54).
Figura 54
Para indicar que un ángulo es recto vamos a emplear la siguiente representación gráfica:  .
El siguiente teorema garantiza que existen ángulos rectos.
4
Observación: La transitividad para la congruencia entre triángulos es un resultado que se obtiene fácilmente
a partir de la transitividad de la congruencia tanto entre segmentos como entre ángulos.
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TEOREMA 17.
Sean O y A puntos de una recta 𝑙. Entonces existen ángulos rectos. (Ver figura 55)
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O
Figura 55
Demostración.
Puesto que los puntos C y D están en lados opuestos a la recta l, el axioma de separación
asegura que la recta CD pasa por un punto P de l.
Además los ángulos OPˆ C , OPˆ D hacen un par lineal ya que tienen un lado común OP y los
otros dos están en línea recta.
Veamos que el ángulo OPˆ C es recto. Para ello se tiene que los ángulos POˆ C y POˆ D son
congruentes por hacer pares lineales con respectivos ángulos congruentes AOˆ C y AOˆ D
(Teorema 13).

Δ
Se tienen así los triángulos congruentes O P C , O P D por tener:
ˆ C  PO
ˆ D , OC  OD , OP lado común (L-A-L).
PO
Se concluye así que los ángulos del par lineal OPˆ C , OPˆ D son congruentes y, de acuerdo a la
definición 15, se sigue que tanto OPˆ C como OPˆ D son ángulos rectos.
TEOREMA 18.
Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
La demostración del teorema 18 se deja como ejercicio. Se sugiere utilizar el método de
Reducción al absurdo.
Definición 17. Triángulo rectángulo
Un triángulo se llama rectángulo si al menos uno de sus ángulos es recto.
M
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co du
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al
Observaciones.
1. Más adelante se podrá demostrar que un triángulo no puede tener más de un
ángulo recto.
2. En un triángulo rectángulo los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos y
el lado opuesto, hipotenusa. (Ver Figura 56).
Figura 56
Definición 18. Punto medio de un segmento
Se llama punto medio de un segmento AB al punto O que está en la recta
AB
tal que
AO  OB .
Observaciones.
1. Es posible demostrar, que todo segmento tiene un punto medio único y que dicho
punto está en el interior del segmento.
La existencia del punto medio garantiza que todo segmento se puede dividir en
dos segmentos congruentes y esto de un modo único.
2. Así como todo segmento tiene punto medio, todo ángulo no nulo tiene una
semirrecta contenida en su interior que lo divide en dos ángulos congruentes. El
nombre de esta semirrecta se da en la siguiente definición:
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Definición 19. Bisectriz de un ángulo
Se llama bisectriz de un ángulo AOˆ B a la semirrecta OD que está en el interior del
M
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ángulo y además verifica AOˆ D  DOˆ B . (Ver Figura 57).
Figura 57
Observación.
En forma análoga a lo dicho para el punto medio de un segmento, se puede demostrar que
todo ángulo no nulo tiene bisectriz única y que dicha bisectriz está en el interior del
ángulo.
La existencia de la bisectriz garantiza que todo ángulo no nulo se puede dividir en dos ángulos
congruentes y esto de un modo único.
Definición 20. Rectas perpendiculares
Sean a y b dos rectas distintas. La recta a es perpendicular a la recta b, si a corta a b
determinando ángulos rectos.
Observaciones.
1. Para indicar que a es perpendicular a b se emplea la notación: a  b
2. Si a  b se sigue de inmediato que b  a y por tanto es correcto decir que las
rectas a y b son perpendiculares entre sí o que se cortan perpendicularmente.
3. Si dos rectas se cortan perpendicularmente en un punto, los cuatro ángulos que se
forman alrededor de dicho punto son rectos. (Ver Figura 58).
M
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 58
Observación.
Vamos a denotar también a las semirrectas que un punto determina en una recta a, por a
y a ' . En consecuencia, a y a ' son semirrectas opuestas de una misma recta a. (Ver Figura
59).
 
El ángulo formado por dos semirrectas a y b lo denotaremos:  a , b . (Ver Figura 60).
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
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Figura 60
Figura 59
TEOREMA 19.
Por un punto de una recta dada en un plano  pasa una y solo una perpendicular a
dicha recta contenida en dicho plano.
Demostración.
La demostración consta de dos partes. Veamos primero que si l es la recta dada en el plano Π
y A es un punto cualquiera de l, hay por lo menos una recta perpendicular a l que pasa por A y
está situada en Π .
Para demostrar esta primera parte, sea K una recta distinta de l y que también pasa por A. Sea
K una de las semirrectas en que A divide a K.
   
Si los ángulos  l, K y  l ', K que forman un par lineal, son congruentes, cada uno es recto
y por tanto K  l y la demostración termina. (Figura 61).
Pero si los ángulos del par lineal son diferentes, sea h una semirrecta de origen A situada en el
semiplano Πl : K tal que:
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
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Figura 61
(1)
   
 l , K   l ', h
Se presentan dos posibilidades respecto a h :
i.
agudo. (Figura 62).
ii.
 
 
 
 
La semirrecta h está en el exterior de  l, K . (Esto ocurre cuando  l, K es
La semirrecta h está en el interior de  l, K . (Esto ocurre cuando  l, K es
obtuso. (Figura 63).
Figura 63
Figura 62
Para ambos casos se puede continuar de la siguiente manera:
Se traza por A la bisectriz


b del ángulo K , h . Por tanto:
   
(2)  h, b   K , b
(Figura 64).
De (1 ) y (2) se obtiene, por suma de ángulos, en el caso del ángulo agudo y por diferencia, en
el caso del ángulo obtuso,
   
 l , b   l ', b
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Estos dos ángulos forman un par lineal, luego cada uno de ellos es recto. Se concluye así que
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b l.
Figura 64
Veamos ahora que b es la única perpendicular a l que pasa por A y está en Π . Sea C una
perpendicular al que pasa por A y está en el plano Π Sea c la semirrecta de origen A que está
en el semiplano Πl : b .
 
Por tanto el ángulo l , c es recto y como todos los ángulos rectos son congruentes (Teorema
18), se sigue que:
   
 l, c   l, b .
Por el axioma de construcción del ángulo se concluye que las semirrectas c y b coinciden y
esto demuestra la segunda parte de la prueba.
Definición 21. Mediatriz de un segmento
Dado un segmento no nulo, contenido en un plano dado se llama mediatriz del segmento
de dicho plano a la recta única perpendicular, levantada por el punto medio del segmento
y contenida en dicho plano.
Definición 22. Segmentos notables en el triángulo.
i.
En todo triángulo, se llama altura al segmento perpendicular trazado desde uno
cualquiera de los vértices, a la recta que contiene el lado opuesto. (Figura 65).
ii.
Se llama mediana, al segmento comprendido entre uno cualquiera de los vértices y
el punto medio del lado opuesto. (Figura 65).
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
iii.
Se llama bisectriz del triángulo, al segmento comprendido entre uno cualquiera de
los vértices y el lado opuesto y que divide al ángulo correspondiente a dicho
M
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vértice en dos ángulos congruentes. (Ver Figura 65).
Figura 65
BH es altura, AM es mediana, AD es bisectriz.
Observaciones.
Tanto la mediana como la bisectriz son segmentos que están en el interior del triángulo.
Sin embargo la altura no siempre está en el interior. (Esto se demostrará posteriormente).
Puede definirse la bisectriz de un triángulo también como el segmento con extremos en el
vértice y en en el punto donde la bisectriz del ángulo intersecta el lado opuesto.
TEOREMA 20. Propiedades de los segmentos notables en el triángulo isósceles.
En un triángulo isósceles, la mediana comprendida entre los lados congruentes es
altura, bisectriz y está contenida en la mediatriz del lado asociado a la mediana.
Demostración:
Sea ABC isósceles con AB  AC y AM la mediana comprendida entre los lados
congruentes (Figura 66).
Se tiene BM  MC (definición de mediana) con M entre B y C.
Por tanto, ABM  ACM (L-L-L).
De donde, BAM  MAC , luego AM es bisectriz del ABC .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
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Figura 66
También BAM  AMC , con lo cual se tiene un par lineal de ángulos congruentes y por
tanto AM  MC o sea que AM es altura del ABC .
Además, como M es un punto medio de BC , el segmento AM está sobre la mediatriz del
segmento BC .
Observación.
También es cierto que si en un triángulo coinciden la mediana y la bisectriz, o la mediana y
la altura, o la altura y la bisectriz, o la mediana está sobre la mediatriz, entonces dicho
triángulo es isósceles. Este teorema se probará posteriormente porque una parte de la
demostración requiere un caso de congruencia de triángulos rectángulos que no se tiene
todavía justificado. Este resultado se designa como Teorema recíproco de los
segmentos notables en un triángulo.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.3 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas:
La relación de congruencia en segmentos y ángulos.
Congruencia de triángulos.
Algunas propiedades referidas a triángulos isósceles.
 
 
M
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1. Sean AB , ST segmentos no nulos M  Int AB , K  Int ST . Determinar cuáles de las
afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su
determinación. En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo
adecuado.
1.1 Si AM  SK entonces MB  KT .
1.2 Si AB  ST entonces AM  SK .
1.3 Si AM  SK y MB  KT entonces AB  ST .
1.4 Si MB  KT y AB  ST entonces AM  SK .
1.5 Si AM  MB y SK  KT entonces AB  ST .
1.6 Si AB  ST entonces AM  MB y SK  KT .
1.7 Si SK  KT entonces K es un punto medio de ST .
1.8 Si M es punto medio de AB y K es punto medio de ST entonces AB  ST
1.9 Si AM  MB  SK  KT entonces M es punto medio de AB y K es un
punto medio de ST .
1.10 Si M es un punto medio de AB y K es un punto medio de ST entonces
AM  MB  SK  KT .
 


2. Sean AÔB , PR̂Q no nulos, no llanos; M  Int AÔB , K  Int PR̂Q . Determinar cuáles de
las afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su
determinación. En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo
adecuado.
2.1 OM y AB se cortan en un punto único.
2.2 Si A está entre O y L entonces LB y OM se cortan en un punto único.
2.3 Si AÔM  PR̂K entonces MÔB  KR̂Q .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
2.4 Si AÔB  PR̂Q entonces AÔM  PR̂K .
2.5 Si AÔM  KR̂Q y BÔM  PR̂K entonces AÔB  PR̂Q .
2.6 Si AÔM  KR̂Q y AÔB  PR̂Q entonces BÔM  PR̂K .
2.7 Si AÔM  BÔM y PR̂K  KR̂Q entonces AÔB  PR̂Q .
2.8 Si AÔB  PR̂Q entonces AÔM  BÔM y PR̂K  KR̂Q .
M
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2.9 Si PR̂K  KR̂Q entonces RK es bisectriz de PR̂Q .
2.10 Si OM es bisectriz de AÔB y RK es bisectriz de PR̂Q entonces
AÔB  PR̂Q
2.11 Si OM es bisectriz de AÔB y
RK es bisectriz de
PR̂Q entonces
AÔM  MÔB  PR̂K  KR̂Q .
2.12 Si AÔM  MÔB  PR̂K  KR̂Q entonces OM es bisectriz de AÔB y RK es
bisectriz de PR̂Q .
2.13 AÔM y BÔM son adyacentes.
2.14 AÔM  BÔM entonces AÔM y BÔM hacen par lineal.
2.15 Si AÔM  BÔM entonces OM  AB .
3. Sean AB , CD rectas distintas, AB CD  0. Determinar cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su determinación. En el
caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado.
3.1 AÔC y DÔB son opuestos por el vértice.
3.2 AÔC  DÔB y AÔD  CÔB .
3.3 AÔC  DÔB  AÔD  CÔB .
3.4 AÔD y DÔB son adyacentes.
3.5 Si AÔD  DÔB entonces DC  AB .
3.6 CÔB hace par lineal únicamente con BÔD .
3.7 Si AÔD  CÔB y AÔC  DÔB entonces AB  CD .
3.8 Si CD es mediatriz de AB en Π  A, B ,C  entonces:
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.9 D es punto medio de AB .
DC es bisectriz de AD̂B .
3.11
ΔADB es isósceles.
3.12
ΔACB es isósceles.
3.13
ΔADB  ΔACB .
3.14
O es un punto medio de CD .
3.15
OÂC  OÂD .
3.16
ΔAOC  ΔBOC .
3.17
ΔAOD  ΔDOB .
3.18
ΔAOC  ΔBOC  ΔAOD  ΔDOB .
M
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3.10
4. Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas,
justificando su determinación. En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un
contraejemplo adecuado.
4.1 En triángulos congruentes, a lados congruentes se oponen ángulos
congruentes.
4.2 En triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados
congruentes.
4.3 En triángulos congruentes, todos los lados son congruentes.
4.4 En triángulos congruentes, todos los ángulos son congruentes.
4.5 Si los tres ángulos de un triángulo son respectivamente congruentes, a los
tres ángulos de otro triángulo entonces los triángulos son congruentes.
4.6 Si los tres lados de un triángulo, son respectivamente congruentes, a los
tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
4.7 Si dos triángulos tiene un lado respectivamente congruente, entonces los
ángulos opuestos son respectivamente congruentes.
4.8 Si dos triángulos tiene un ángulo respectivamente congruente, entonces los
lados opuestos son respectivamente congruentes.
4.9 Si dos triángulos tienen un lado respectivamente congruente, entonces los
ángulos adyacentes a dichos lados son respectivamente congruentes.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4.10
Si dos triángulos son equiláteros entonces son congruentes.
4.11
Si dos triángulos isósceles, tiene sus bases respectivamente
congruentes, entonces son congruentes.
4.12
Si dos triángulos son isósceles entonces los cuatro ángulos adyacentes
a sus respectivas bases son congruentes.
5. Para cada pareja de triángulos se indican los respectivos elementos congruentes.
M
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Señale cuáles de ellos son congruentes, y cuales no lo son, justificando su afirmación.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
5.8.
5.9.
5.10.
M
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5.7
Para aquellas parejas de triángulos congruentes indique el caso que lo justifica y las
conclusiones derivadas.
6. Se tiene el ΔHRE con RH  RE . Los puntos M y K están en los lados del HR̂E de tal
manera que H está entre R y M. E está entre R y K. EM y HK se intersectan en el
punto T; HR̂T  ER̂T ; RT y HE se intersectan en el punto P.
6.1 Trace una figura que satisfaga todas las condiciones descritas.
Δ
Δ
6.2 Demuestre que H R P  E R P .
Δ
Δ
Δ
Δ
6.3 Demuestre que H R T  E R T .
6.4 Demuestre que H P T  E P T
Δ
Δ
6.5 Demuestre que M H T  K E T .
6.6 Demuestre que ΔKRM es isósceles.
7. En los triángulos de las figuras se tiene:
i.
AC  A' C' .
Δ
ii.
AH bisectriz de C A D .
iii.
A' H ' bisectriz de C' A' D'
Δ
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
iv.
DC  D' C' .
v.
AH  DC ,
vi.
A' H '  D' C' .
BÂC  B' Â' C' .
Demostrar:
7.1 ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐷′𝐶′.
M
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7.2 ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐷′.
7.3 ΔACB  ΔA' C' B' .
8. Observe la figura y considere como hipótesis las siguientes proposiciones:
AÔB  DÔB ; B está entre A y C, y E está entre D y C AC  DC ; OA  OD .
Demuestre que:
8.1 Â  D̂ .
8.2 OB  OE .
8.3 BC  CE .
8.4 OC es bisectriz de DÔA .
9. Si AB  CD  0 .
O: punto medio de AB y CD .
M está entre A y C.
N está entre D y B.
O está entre M y N.
Demuestre que:
9.1 Â  B̂ .
9.2 MC  DN .
9.3 OM  ON .
10. En la figura se tiene ΔAOD y ΔBOC , OC  AD  E , OD  BC  F  y además:
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Hipótesis:
O es un punto medio de AB .
AÔD  BÔC .
  B̂
Tesis
OD  OC .
ii.
AD  BC .
iii.
Ĉ  D̂ .
iv.
ΔEOF isósceles.
M
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i.
11. En la siguiente figura suponga que AB es bisectriz de CÂD y de CB̂D , M  AB ,
CD  AB  0 . Demuestre que:
11.1
ΔCAD es isósceles.
11.2
CD  AB .
11.3
MC  MD .
11.4
MĈD  MD̂C .
12. En la figura se tiene:
N está entre O y A; M está entre O y B;
AM  BN  P ;
PN  PM ; AP  PB .
Demuestre que:
12.1
ΔOAB es isósceles.
12.2
OP es bisectriz de AÔB .
13. En un triángulo isósceles ABC, AB  AC . Se trazan las medianas BD y CE relativas a
los lados congruentes, las cuales se cortan en el punto I.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
13.1
Demostrar que ΔBIC y ΔDIE son isósceles.
13.2
Demostrar que ΔBIE  ΔDIC .
13.3
Demostrar que los puntos A, I y los puntos medios de ED y BC están
en línea recta.
14. En la figura se tiene:
Hipótesis:
M
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Δ
A B C es equilátero.
A está entre B y A1 .
C está entre A y C1 .
B está entre B1 y C.
AA1  BB1  CC1
Δ
Tesis: A1 B 1 C1 es equilátero.
15. En la figura se tiene:
AB  AC y AD  AE
̅̅̅̅
𝐷𝐶 ∩ ̅̅̅̅
𝐵𝐸 = {𝐴}
B está entre O y D.
C está entre O y E.
Demostrar que 𝑂𝐴 es bisectriz de
DÔE
16. En el ΔGIK se tiene HK  IK y GH  IJ , G, H, I, J colineales. H está entre G e I, I
entre H y J.
Probar que:
i.
̅̅̅̅
𝐺𝐾 ≅ ̅̅̅
𝐽𝐾 .
ii.
GK̂H  IK̂J .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Δ
17. Demuestre que un triángulo A B C es isósceles si:
17.1
AD es a la vez mediana y altura.
17.2
AD es a la vez bisectriz y altura.
17.3
¿Podrá decirse que el triángulo es isósceles si la bisectriz es a la vez
M
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mediana?
Observación: Estos resultados pueden considerarse como “recíprocos” con relación a lo
planteado en el teorema Nº 20.
18. En la siguiente figura tenemos:
OA  OC ; OD  OB
OA  OB ; OC  OD
AD  BC  E
N está entre O y C.
M está entre O y D.
Demostrar que:
18.1
AD  BC .
18.2
B̂  Â .
18.3
ΔMDE  ΔNCE .
19. Demostrar que las medianas asociadas a los lados congruentes de un triángulo
isósceles son congruentes.
20. Demostrar que las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles
son congruentes.
21. Demostrar que en triángulos congruentes, las medianas homólogas son
congruentes, las bisectrices homólogas son congruentes.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
22. En ∆ ABC y ΔA' B' C' ; AD y A' D' son bisectrices de BÂC y B' Â' C'
respectivamente. AD  A' D' , BÂC  B' Â' C' , AB  A' B' .
Demostrar
que:
ΔABC  ΔA' B' C' .
23. En ΔABC y ΔA' B' C' se
tiene: AM y A' M ' medianas
respectivamente, AM  A' M ' ,
AB  A' B' ,
AC  A' C' .
de BC y B' C'
Demostrar
que
M
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ΔABC  ΔA' B' C' .
24. Sea AÔB no nulo y no llano. C, D sobre la semirrecta OA tal que C está entre O y
F; OC  OE y OD  OF ; CF  DE  P . Demostrar:
24.1
ΔOED  ΔOCF .
24.2
ΔCPD  ΔEPF .
24.3
𝑂𝑃 es bisectriz de AÔB .
Nota: Este problema establece una construcción alterna de la bisectriz de un ángulo.
25. En la figura se tiene:
AÔB  BÔC  CÔA ; OA  OB  OC .
Demostrar que las medianas, alturas y bisectrices del
ΔABC pasan por O.
26. Sean: ΔABC y ΔA' B' C' isósceles, tales que AB  AC ; A' B'  A' C' , AH : altura
asociada a BC , A' H ' : altura asociada a B' C' .
Demostrar:
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
26.1
Si BÂC  B' Â' C' y AH  A' H' entonces ΔABC  ΔA' B' C' .
26.2
Si BC  B' C' y AH  A' H' entonces ΔABC  ΔA' B' C' .
̅̅̅̅ : bisectriz de ED̂F .
27. Sean ΔABC , ΔDEF tales que: AT bisectriz de BÂC , 𝐷𝐾
Demostrar que si BÂC  ED̂F , BA  ED y AT  DK entonces ΔABC  ΔDEF .
M
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Propongo el siguiente problema como una conjetura (Proposición que creo que puede
ser verdadera, pero de la que no se tiene una demostración). Estudiela bien y trata de
demostrarla, ó por el contrario si usted encuentra que es falsa, construya un
contraejemplo.
28. Sean ΔABC y ΔDEF tales que AT es bisectriz de BÂC y DK es bisectriz de
ED̂F ; AT  BC  T  , DK  EF  K  Si BÂC  ED̂F , AT  DK y
BC  EF , entonces, ΔABC  ΔDEF
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.4 LAS RELACIONES MAYOR (RESPECTIVAMENTE MENOR) EN LOS
SEGMENTOS Y EN LOS ÁNGULOS
Definición 23.
i.
Dados dos segmentos AB , A' B' se dice que AB es mayor que A' B' , o bien que
A' B' es menor que AB , si existe un punto C en el interior de AB tal que
M
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AC  A' B' . (Figura 67).
Figura 67
ii.
 , c, d  se dice que a, b  es mayor que c, d , o
 c, d 
 a , b 
bien que
es menor que
, si existe una semirrecta h en el interior y
 a , b 
a, h   c, d 
con origen en el vértice de
tal que:
. (Figura 68).
Dados dos ángulos:
 a, b
Figura 68
Observación.
Para expresar que un segmento es mayor que otro se emplea el símbolo >. Dicho símbolo
también será empleado para expresar que un ángulo es mayor que otro.
Para la expresión menor será empleado el símbolo <.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
TEOREMA 21.
Dados dos segmentos cualesquiera AB y CD , siempre se cumple una de las tres
relaciones siguientes:
AB  CD , AB  CD , AB  CD .
y cada una de ellas excluye las otras dos.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Demostración.
Por el axioma de construcción del segmento, sobre la recta AB existe un punto X de la
semirrecta 𝐴𝐵 tal que:
AX  CD
De acuerdo con el axioma II.4 se presentan tres posibilidades:
Puede ocurrir que X esté entre A y B en cuyo caso: AB  CD .
Puede ocurrir que B esté entre A y X en cuyo caso: AB  CD .
Puede ocurrir que X coincida con B en cuyo caso: AB  CD .
Veamos ahora que cualquiera de las posibilidades que se dé, excluye las otras dos.
Supongamos por ejemplo AB  CD . Entonces existe un punto X en el interior de CD tal que:
CX  AB .
Si también fuera posible AB  CD entonces se tendría por transitividad, CX  AB de
donde X coincidiría con D, en contradicción con el axioma de construcción de segmentos.
Tampoco puede tener lugar AB  CD simultáneamente con AB  CD ya que si ambas
relaciones se dieran, se tendría un punto Y entre A y B tal que: AY  CD .
Y puesto que ya se tenía AB  CD se tiene por una aplicación de teorema 9 que D está entre
C y X, lo cual contradice la afirmación hecha antes de que X es un punto interior de CD .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
TEOREMA 22 (Propiedad transitiva en la relación de desigualdad entre
segmentos).
Sean AB  CD y CD  EF , entonces, AB  EF .
Demostración.
M
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al
Puesto que CD  EF , existe un punto Y entre E y F tal que:
CD  EY .
De la misma manera, puesto que AB  CD , existe un punto X entre C y D tal que:
AB  XC .
(Ver Figura 69).
Aplicando el axioma de construcción del segmento, sea P un punto de la semirrecta EF tal
que:
EP  CX .
Entonces por el teorema 9 se sigue que P está entre E y F. Además, por transitividad se tiene:
AB  EP .
Figura 69
En conclusión, se tiene un punto P entre E y F tal que: AB  EP lo cual significa que
AB  EF
Los siguientes corolarios son de fácil demostración, lo cual se deja para el lector.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
COROLARIOS
1. Si AB  CD y CD  EF , entonces, AB  EF .
2. Si el segmento CD está contenido en el segmento AB , entonces, CD  AB .
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Observación.
Análogos a los dos últimos teoremas y a los anteriores corolarios, tienen lugar resultados
relativos a los ángulos, los cuales se enuncian a continuación.
TEOREMA 23.
·
 
 
Dados dos ángulos cualesquiera,  a , b y  c , d siempre se cumple una de las
relaciones siguientes:
 
       
 
 a , b   c , d ,  a , b   c, d ,  a , b   c , d
y cada una de ellas excluye a las otras dos.
·
    y c, d   e, f  .
Propiedad transitiva: Sean  a, b   c, d
   
Si a, b   c, d  y c, d   e, f  , entonces, a, b   e, f  .
Si el ángulo c, d  tiene el mismo vértice y está en el interior del ángulo a, b  ,
entonces, c, d   a, b  .
 a, b   e, f .
·
·
Entonces,
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas:
Relaciones mayor (respectivamente menor) en segmentos.
Relaciones mayor (respectivamente menor) en ángulos.
1. Si P está entre Q y R y X está entre P y Q, señale cuáles de las siguientes proposiciones
son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su determinación.
1.6 QP  QX .
1.2 QR  QX .
1.7 QX  XR .
1.3 QR  RP .
1.8 Si QX  XR entonces XP  PR .
1.4 PR  PX .
1.9 Si XP  PR entonces QP  XR .
1.5 QP  PR .
1.10 Si QP  XR entonces QX  PR .
M
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al
1.1 QR  QP .
2. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones cuáles son verdaderas y cuáles
son falsas, justificando su determinación.
2.1 Si AB  PQ y CD  PQ entonces AB  CD .
2.2 Si AB  PQ y CD  PQ entonces CD  AB .
 
2.3 Si AB  CD y CD  TK entonces existe B'  Int TK tal que TB'  AB .
2.4 Si AB  CD entonces AB  CD .
 
2.5 Si AB  CD , CD  HK y HK  PQ entonces existe X  Int AB tal que
AX  PQ .
3
Indicar para cada una de las siguientes proposiciones cuáles son verdaderas y cuáles son
falsas, justificando su determinación.
3.1 Si X  AB entonces siempre se da una y solo una de las siguientes relaciones:
AX  AB ó AX  AB ó AX  AB .
3.2 Si X  AB entonces siempre se da una y solo una de las siguientes relaciones:
AX  AB ó AX  AB ó AX  AB .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.3 Si X  AB entonces siempre se da una y solo una de las siguientes relaciones:
AX  AB ó AX  AB ó AX  AB .
3.4 Si AX  BC entonces A, X, B y C son colineales.
3.5 Si AX  AB entonces A, B, X son colineales.
4




Sean AÔB no nulo y no llano, M  Int AÔB , X  Int AÔM ; señale cuáles de las
M
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siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas.
4.1 AÔB  AÔM .
4.6 AÔX  AÔM .
4.2 AÔB  AÔX .
4.7 AÔK  XÔB .
4.3 BÔM  BÔX .
4.8 Si AÔX  XÔB entonces
4.4 BÔM  MÔX .
XÔM  MÔB .
4.5 AÔM  MÔB
4.9 Si XÔM  MÔB entonces
AÔM  XÔB
4.10 Si AÔM  XÔB entonces
AÔX  MÔB
5
Sean AÔB , PQ̂ R , ST̂K no nulos y no llanos, señale cuáles de las siguientes
proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas.
5.1 Si AÔB  ST̂K y PQ̂R  ST̂K , entonces, AÔB  PQ̂R .
5.2 Si AÔB  ST̂K y PQ̂R  AÔB , entonces, ST̂K  PQ̂R .


5.3 Si AÔB  ST̂K y PQ̂R  ST̂K , entonces, existe M  Int PQ̂R tal que
AÔB  PQ̂M .
5.4 Si AÔB  PQ̂R , entonces, AÔB  PQ̂R .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.6 EJERCICIOS RESUELTOS
Ilustración N° 1
Sean ⃡𝐴𝐵, ⃡𝐶𝐷 rectas distintas, ⃡𝐴𝐵 ∩ ⃡𝐶𝐷 = {0}.
Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas,
M
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justificando su determinación.
Presentamos una situación particular, quizás la más representativa inicialmente para el
estudiante, en la figura 1.
Figura 1.
Con relación a ella, podemos afirmar que:
a. Esta proposición es “verdadera” por definición de ángulos opuestos por el vértice.
b. Esta proposición es “verdadera” por el teorema que destaca esta propiedad en los
ángulos opuestos por el vértice.
c. Esta proposición es “falsa” porque podemos mostrar un contraejemplo, en la figura
señalada donde no se cumple.
d. Esta proposición es “verdadera” por la definición de ángulos adyacentes en la situación
presentada.
e. Esta proposición es “verdadera” porque con el antecedente cumplido, esto es si se
cumple la congruencia, como son adyacentes, entonces, por definición lo ángulos son
rectos.
Detengamos en este punto y presento a consideración otra figura que cumple igualmente con
todas las condiciones establecidas inicialmente:
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
M
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Figura 2.
Revisemos nuevamente el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
a. Esta proposición es “falsa”, en este caso la figura nos muestra un contraejemplo.
b. Esta proposición es “verdadera” porque se está designando el mismo ángulo.
Como podemos concluir la primera proposición no corresponde a un resultado verdadero
siempre porque hemos señalado al menos un caso en el cual no se cumple.
Analícense las proposiciones restantes sobre las condiciones indicadas en la figura 2 y
revísense de nuevo para poder asegurarse que, el juicio que se emite, no depende de una
situación particular.
Téngase en cuenta que un teorema es válido en todas las situaciones en las cuales se planteen
sus condiciones; y que un enunciado del cual se pueda dar siquiera un contraejemplo de su no
validez, no es un teorema.
Ilustración N° 2
En la figura se tiene:
i.
̅̅̅̅
𝐴𝐵 ∩ ̅̅̅̅
𝐶𝐷 = {𝑂}
ii.
̅̅̅̅ y de ̅̅̅̅
𝑂 punto medio de𝐴𝐵
𝐶𝐷
iii.
𝑂 está entre 𝑀 y 𝑁
iv.
𝑀 está entre 𝐴 y 𝐶
v.
𝑁 está entre 𝐷 y 𝐵
Demuestre que:


1) A ≅ B ;
2)𝑀𝐶 ≅ 𝐷𝑁;
3)𝑂𝑀 ≅ 𝑂𝑁.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Demostración
1. 𝑂𝐴 ≅ 𝑂𝐵; de ii. definición de punto medio.
2. 𝑂𝐶 ≅ 𝑂𝐷; de ii. definición de punto medio.

3.

AOC ≅ DOB ; de ii. Teorema ángulos opuestos por el vértice.
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4. ∆𝐴𝑂𝐶 ≅ ∆𝐷𝑂𝐵 (L-A-L); de 1, 2 y 3.
Consecuencias:


4′

5.


⏟ ≅ 𝐷𝐵
C ≅ D ,𝐴𝐶
A ≅ B ,⏟
⏟
4′′
4′′′

MOC ≅ DON ; de ii. y iii. Teorema ángulos opuestos por el vértice.
6. ∆𝑀𝑂𝐶 ≅ ∆𝐷𝑂𝑁 (A-L-A); de 4´´, 2 y 5.
Consecuencias:
6′
Ilustración N° 3
En la figura se tienen:
i.
OA  OC
ii.
OB  OD
iii.
𝑂𝐴 ≅ 𝑂𝐵
iv.
𝑂𝐶 ≅ 𝑂𝐷
v.
𝑁 está entre 𝑂 y 𝐶.
vi.
𝑀 está entre 𝑂 y 𝐷.
vii.
̅̅̅̅
𝐵𝐶 ∩ ̅̅̅̅
𝐴𝐷 = {𝐸}
viii.
𝐵−𝑀−𝐸
ix.
𝐴−𝑁−𝐸
Demuestre que:
1. 𝐴𝐷 ≅ 𝐵𝐶
2.


B≅A
3. ∆𝑀𝐷𝐸 ≅ ∆𝑁𝐶𝐸


⏟
𝑀𝐶 ≅ 𝐷𝑁,𝑂𝑀
⏟ ≅ 𝑂𝑁 ,⏟
OMC ≅ OND
6′′
6′′′
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Demostración




1.
BOD ≅ AOC ; de i. y ii. propiedad de ángulos rectos.
2.
BOC ≅ AOD ; adición de ángulos respectivamente congruentes, de 1.
3. ∆𝐵𝑂𝐶 ≅ ∆𝐴𝑂𝐷(L-A-L); de iii. iv. y 2.




M
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Consecuencias:
B ≅ A ,⏟
⏟
𝐴𝐷 ≅ 𝐵𝐶 , ⏟
C ≅ D
3′
3′′
3′′′
4. ∆𝑀𝑂𝐵 ≅ ∆𝑁𝑂𝐴(A-L-A); de iii. , 1 y 3´´
Consecuencias:


⏟ ≅ 𝑂𝑁,𝐵𝑀
⏟ ≅ 𝐴𝑁
OMB ≅ ONA ,𝑂𝑀
⏟
4′
5.

4′′
4′′′

OMB ≅ DME ; Teorema propiedad de los ángulos opuestos por el vértice.


6. ONA ≅ CNE ; Teorema propiedad de los ángulos opuestos por el vértice.
7.


DME ≅ CNE ; transitividad entre 4´, 5 y 6.
8. 𝐷𝑀 ≅ 𝐶𝑁; sustracción de segmentos respectivamente congruentes, de iv. y 4´´
9. ∆𝐷𝑀𝐸 ≅ ∆𝐷𝑁𝐸(A-L-A); de 3´´´, 8 y 7.
Ilustración N° 4
Demuestre que: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y las
medianas comprendidas entre estos lados, respectivamente congruentes, entonces, los
triángulos son congruentes.
Representamos en las figuras correspondientes a los y las condiciones señaladas en las
hipótesis.
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Hipótesis
i.
∆𝐴𝐵𝐶, ∆𝐴′𝐵′𝐶′
ii.
̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′
iii.
̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅̅
𝐴′𝐶′
iv.
̅̅̅̅̅
𝐴𝑀: mediana en ∆𝐴𝐵𝐶
v.
̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝑀′: mediana en ∆𝐴′𝐵′𝐶′
vi.
̅̅̅̅̅
𝐴𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝑀′
Tesis: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶′
Nota:
Este teorema que a primera vista parece ser sencillo en su proceso demostrativo, no lo es
puesto que requiere de una construcción que no se ve fácil.
Demostración
̅̅̅̅̅ ; de iv. definición de mediana.
̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐶
1. 𝑀𝐵
̅̅̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅̅
2. 𝑀´𝐵´
𝑀′𝐶′; de v. definición de mediana.
̅̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅
3. En la semirrecta opuesta a𝑀𝐴 , determinamos𝑀𝑃
𝑀𝐴 ; axioma de construcción del
segmento.
̅̅̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅̅
4. En la semirrecta opuesta a𝑀′𝐴′, determinamos𝑀′𝑃′
𝑀′𝐴′ por la misma razón
anterior.
̅̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅̅
5. 𝑀𝑃
𝑀′𝑃′; de vi. , 3 y 4 transitividad.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
̅̅̅̅̅; definición de segmento.
̅̅̅̅ y 𝑃′𝐶′
6. Determinamos𝑃𝐶
7.


BMA≅ CMP ; Teorema propiedad de los ángulos opuestos por el vértice.
8. ∆𝐵𝑀𝐴 ≅ ∆𝐶𝑀𝑃(L-A-L); de 1, 3 y 7.
Consecuencias:


8′
9.



BAM ≅ CPM ,⏟
B ≅ MCP
⏟
𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝑃,⏟
8′′
8′′′

B' M ' A' ≅ C ' M ' P' ; Teorema propiedad de los ángulos opuestos por el vértice.
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10. ∆𝐵′𝑀′𝐴′ ≅ ∆𝐶′𝑀′𝑃′(L-A-L); de 2, 4 y 9.
Consecuencias:




B ' ≅ M ' C ' P'
⏟
𝐴′𝐵′ ≅ 𝐶′𝑃′,⏟
B' A' M ' ≅ C ' P' M ' ,⏟
10′
10′′
10′′′
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅̅
11. 𝐴𝑃
𝐴′𝑃′; adición de segmentos respectivamente congruentes, de vi., 3 y 4.
̅̅̅̅̅; de ii. 8´ y 10´.
̅̅̅̅ ≅ 𝑃′𝐶′
12. 𝑃𝐶
13. ∆𝐴𝑃𝐶 ≅ ∆𝐴′𝑃′𝐶′(L-L-L); de iii. , 11 y 12.
Consecuencias:






MAC ≅ M ' A' C ' ,⏟
ACP ≅ A' C ' P'
MPC ≅ M ' P' C ' ,⏟
⏟
13′
13′′
13′′′
14. ∆𝑀𝑃𝐶 ≅ ∆𝑀′𝑃′𝐶′(L-A-L); de 5, 12 Y 13´
Consecuencias:




MCP ≅ M ' C ' P'
⏟
𝑀𝐶 ≅ 𝑀′𝐶′,⏟
CMP ≅ C ' M ' P' ,⏟
14′
14′′
14′′′
15. ̅̅̅̅̅
𝑀𝐵 ≅ ̅̅̅̅̅̅
𝑀′𝐵′; de 14´, 1 y 2., por transitividad.
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅̅
16. 𝐵𝐶
𝐵′𝐶′; adición de segmentos respectivamente congruentes, de 14´ y 15.
17. ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶′(L-L-L); de ii., iii. y 16.
En la figura siguiente se registran los elementos correspondientes a la construcción total.
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ilustración N°5


̅̅̅̅, ̅̅̅̅
En la figura se tiene que ̅̅̅̅
𝐴𝐵 biseca los ángulos CAD y CBD respectivamente; 𝑀𝜖𝐴𝐵
𝐶𝐷 ∩
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = {𝑂}
Demuestre que:
i.∆ 𝐶𝐴𝐷 es isósceles.
ii. ̅̅̅̅
𝐶𝐷 ⊥ ̅̅̅̅
𝐴𝐵
̅̅̅̅̅
iii. ̅̅̅̅̅
𝑀𝐶 ≅ 𝑀𝐷


iv. MCD  MDC
Demostración

1.



CAB ≅ DAB y CBA ≅ ABD de la hipótesis.
2. ∆𝐶𝐴𝐵 ≅ ∆𝐷𝐴𝐵 por el caso A - L - A, de 1.


2′ ̅̅̅̅̅
. 𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅
𝐴𝐷 2′ ′. ̅̅̅̅
𝐵𝐶 ≅ ̅̅̅̅
𝐵𝐷 2′ ′′. ACB ≅ ADB Consecuencias de 2.
3.
∆𝐶𝐷𝐴 es isósceles. Definición triángulo isósceles de 2'.
4.
̅̅̅̅
𝐴𝑂 es bisectriz en el ∆𝐶𝐷𝐴 de 1.
5. ̅̅̅̅
𝐴𝑂 es altura mediana y está sobre la mediatriz del lado ̅̅̅̅
𝐶𝐷 . Propiedad de los
segmentos notables del triángulo isósceles. De 3 y 4.
6.
̅̅̅̅
̅̅̅̅, de 5.
𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
7.
En el ∆𝑀𝐶𝐷, ̅̅̅̅̅
𝑀𝑂 es la mediana y altura ¿Por qué?
8.
∆𝑀𝐶𝐷 es isósceles. ¿Por qué?
9.
̅̅̅̅̅
𝑀𝐶 ≅ ̅̅̅̅̅
𝑀𝐷, de 8, definición de triángulo isósceles.


10. MCD  MDC , de 8 Propiedad del triángulo isósceles.
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Ilustración N°6
En la figura se tiene:
i. A, O, B y C son coplanarios
̅̅̅̅ ≅ 𝑂𝐵
̅̅̅̅ ≅ 𝑂𝐶
̅̅̅̅
ii. 𝑂𝐴
Hipótesis



iii. AOB  BOC  COA
Tesis: Las medianas, las alturas y las bisectrices del ∆𝐴𝐵𝐶
pasan por el punto O.
Demostración
̅̅̅̅ y 𝐵𝐶
̅̅̅̅
1. Determinamos ̅̅̅̅
𝐴𝐵, 𝐴𝐶
2.
∆𝐴𝑂𝐵 ≅ ∆𝐵𝑂𝐶 ≅ ∆𝐶𝑂𝐴 (L
-
A
-
L)
de
las
hipótesis
ii.
y
iii.
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅
2′ . ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ 𝐵𝐶
𝐴𝐶






2’’. ABC  OAB  OBC  OCB  OCA  OAC
consecuencia de 2 y propiedad del triángulo isósceles.
3. ∆𝐴𝐵𝐶 es equilátero de 2' definición triángulo equilátero.

4.
𝐵𝑂 es bisectriz del ABC ¿Por qué?
5.
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ = {𝐾}, 𝐾 es único. De 4. Teorema de la Barra transversal.
𝐵𝑂 ∩ 𝐴𝐶
6.
̅̅̅̅
𝐵𝐾 es bisectriz, mediana y altura en el ∆𝐵𝐴𝐶 , de 3 y 4 por propiedad de los
segmentos notables del triángulo isósceles.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
En forma análoga se procede para las bisectrices 𝐴𝑂 y 𝐶𝑂 respectivamente.
M
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7.