Experimento Binomial Experimento que consiste en ensayos

Experimento Binomial
Experimento
que
consiste
en
ensayos
independientes repetidos, cada uno con dos posibles
resultados que se denominan éxito y fracaso, donde la
probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo.
Un experimento binomial posee las siguientes
características:
1. El experimento consiste de n ensayos repetidos.
2. Cada ensayo proporciona un resultado que puede
clasificarse como éxito o fracaso.
3. La probabilidad de éxito, designada como p,
permanece constante de un ensayo a otro.
4. Los ensayos son independientes.
Variable Aleatoria Binomial
El número X de éxitos en n ensayos de un
experimento binomial.
La distribución de probabilidad de esta variable
aleatoria lleva el nombre de distribución binomial.
Con objeto de obtener la fórmula de la distribución
de probabilidad se debe hallar:
- La probabilidad de x éxitos y n-x fracasos en un orden
específico (dado que son ensayos independientes el
resultado es pxqn-x).
- El número total de puntos muestrales en el experimento
que tiene x éxitos y n-x fracasos (esto es, el número de
particiones de n resultados en dos grupos, uno con x y el
 n
otro con n-x, dado por   ).
 x
- Dado que las particiones son mutuamente excluyentes,
se suman las probabilidades de todas las diferentes
 n
particiones, que es lo mismo que   p x q n  x .
 x
Distribución Binomial
Si un ensayo binomial puede resultar en un éxito con
probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1-p,
entonces la distribución de la variable aleatoria binomial
X, el número de éxitos en n ensayos independientes, es
 n
 x
x n x
Bin(n,p) =   p q ,
x = 0, 1, 2, ..., n.
Media y Varianza (Binomial)
La media y la varianza de la distribución binomial
Bin(n, p) son
 = np y 2 = npq
Experimento Poisson
Experimento que produce valores de una variable
aleatoria X, como el número de resultados que ocurren
en un intervalo de tiempo dado o en una región
específica (v.gr. segmento de recta, área, volumen o
porción de material).
Variable Aleatoria Poisson
El número X de resultados que se tienen en un
experimento Poisson.
La distribución de probabilidad de esta variable
aleatoria lleva el nombre de distribución Poisson.
Experimento Poisson
Un experimento Poisson posee las siguientes
propiedades:
1. El número de resultados que ocurren en un cierto
intervalo de tiempo o en una región específica, es
independiente del número que se tiene en cualquier
otro intervalo.
2. La probabilidad de que un solo resultado ocurra
durante un lapso muy corto o en una pequeña región,
es proporcional a la magnitud del intervalo de tiempo o
al tamaño de la región, y no depende del número de
resultados que se produzcan fuera del intervalo o
región considerados.
3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en
ese breve lapso de tiempo o pequeña región es
despreciable.
Distribución Poisson
La distribución de la variable aleatoria Poisson X,
que representa el número de resultados que se
producen en un intervalo de tiempo dado o en una región
específica, es
e   x
P() =
,
x!
x = 0, 1, 2, ...,
donde  es el número promedio de resultados que
ocurren el intervalo de tiempo o en la región específica y
e = 2.71828...
Media y Varianza (Poisson)
La media y la varianza de la distribución Poisson
P() son
 =  y 2 = 
Experimento Hipergeométrico
Experimento que produce valores de una variable
aleatoria X, como el número de éxitos en una muestra de
tamaño n tomada de una población de tamaño N con k
éxitos.
Un experimento hipergeométrico
siguientes características:
posee
las
1. La muestra aleatoria de tamaño n se selecciona de N
resultados.
2. k de los N resultados pueden ser clasificados como
éxitos y N-k como fracasos.
Variable Aleatoria Hipergeométrica
El
número
X
de
éxitos
en
un
experimento
hipergeométrico.
La distribución de probabilidad de esta variable
aleatoria
lleva
el
nombre
de
distribución
hipergeométrica.
Distribución Hipergeométrica
Con objeto de obtener la fórmula de la distribución
de probabilidad hipergeométrica se debe hallar:
-
El número total de muestras de
N
seleccionadas de N resultados,
o
.

 n
tamaño
n
- El número de formas de seleccionar x éxitos de los k
k
disponibles, o   .
 x
- El número de formas de seleccionar n-x fracasos de NN  k
k, o 
.
 nx
Como las formas de seleccionar los fracasos son las
mismas para cada forma de seleccionar los éxitos, el
número de posibles muestras con x éxitos y n-x fracasos
es  k   N  k ; y esto dividido entre el número totas de
 x  n  x 
muestras de tamaño n, nos da la probabilidad de obtener
x éxitos de k en una muestra de tamaño n de una
población de tamaño N, dando como resultado la fórmula
 k N  k
 

x
n

x
 

 N
 
 n
Distribución Hipergeométrica
La distribución de probabilidad de la variable
aleatoria hipergeométrica X, el número de éxitos en una
muestra aleatoria de tamaño n, seleccionada de N
resultados de los cuales k son éxitos y N-k son fracasos,
es
 k N  k
 

 x  n  x 
h(N, n, k) =
,
 N
 
 n
x = 0, 1, 2, ..., mín(n, k).
Media y Varianza (Hipergeométrica)
La
media
y
la
varianza
de
la
distribución
hipergeométrica h(N, n, k) son
nk

N
y
k 
k  N n
  n 1  
N
N N 1
2
Aproximación de la Distribución Binomial
a la Distribución Hipergeométrica
Si n es pequeña en relación con N, la probabilidad
de cada extracción cambiará sólo ligeramente y en
esencia se tendrá un experimento binomial. En tal caso
la distibución hipergeométrica se puede aproximar
utilizando la distribución binomial con p = k/N. La media
y la varianza pueden aproximarse mediante las fórmulas

nk
  np 
N
y
k 
k
  npq  n  1  
N
N
2
donde puede verse que la media es la misma, mientras
que la varianza difiere en (N-n)/(N-1), lo que se conoce
como factor de corrección por población finita.
Tal
factor es despreciable cuando n es pequeña en relación
con N.
Aproximación de la Distribución Poisson
a la Distribución Binomial
Sea X una variable aleatoria binomial con distribución de
probabilidad Bin(n,p). Cuando n  , p  0 y  = np
permanece constante,
Bin(n,p) P()
Aproximación de la Distribución Normal
a la Distribución Binomial
La distribución de probabilidad binomial se aproxima
utilizando una curva normal, con
 = np
y
 2 = npq
La aproximación será adecuada cuando n es grande
y el intervalo
np  2 npq
está entre 0 y n (las “fronteras binomiales”).
Experimento Binomial Negativo
Experimento
que
consiste
en
ensayos
independientes repetidos, cada uno con dos posibles
resultados que se denominan éxito y fracaso, donde la
probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo. Los
ensayos se realizan hasta obtener un número fijo de
éxitos.
Un
experimento
binomial
negativo
posee
las
siguientes características:
1. El experimento consiste de x ensayos repetidos hasta
obtener un número fijo de éxitos, m.
2. Cada ensayo proporciona un resultado que puede
clasificarse como éxito o fracaso.
3. La probabilidad de éxito, designada como p,
permanece constante de un ensayo a otro.
4. Los ensayos son independientes.
Variable Aleatoria Binomial Negativa
El número X de ensayos requeridos para obtener m
éxitos de un experimento binomial negativo.
La distribución de probabilidad de esta variable
aleatoria lleva el nombre de distribución binomial
negativa.
Con objeto de obtener la fórmula de la distribución
de probabilidad se debe hallar:
- La probabilidad de m-1 éxitos y x-m fracasos en un
orden específico por la probabilidad de un éxito al final
(dado que son ensayos independientes el resultado es
pm-1qx-mp = pmqx-m).
- El número total de puntos muestrales en el experimento
que tiene m-1 éxitos y x-m fracasos (esto es, el número
de particiones de x-1 resultados en dos grupos, uno con
x 1
m-1 y el otro con x-m, dado por  . 
 m  1
- Dado que las particiones son mutuamente excluyentes,
se suman las probabilidades de todas las diferentes
 x  1  m xm
particiones, que es lo mismo que 
p q .
 m  1
Distribución Binomial Negativa
Si un ensayo puede resultar en un éxito con
probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1-p,
entonces la distribución de la variable aleatoria binomial
negativa X, el número de ensayos independientes
necesarios para obtener m éxitos, es
 x  1  m xm
Bneg(m,p) = 
p q ,
 m  1
x = m, m+1, m+2, ... .
Media y Varianza (Binomial)
La media y la varianza de la distribución binomial
negativa Bneg(m, p) son
mq

p
y
m 1 
    1
pp 
2