Transformada Discreta de Fourier

Capítulo 13
Transformada Discreta de
Fourier
La Serie Exponencial de Fourier de Tiempo Discreto descompone cualquier
señal discreta y periódica en una combinación lineal de exponenciales complejas.
Tales exponenciales representan oscilaciones a frecuencias múltiplo. Tal operación de denomina como «Serie Exponencial de Fourier de Tiempo Discreto» y
es mejor conocida como la «Transformada Discreta de Fourier» o DFT1 no obstante, en las diversas fórmulas que serán tratadas en este capítulo sólo se usará
F {}.
Hay dos situaciones a considerar en cuanto al uso de la Transformada Discreta de Fourier:
• Sólo sirve para señales potencia del tipo periódico.
• La mayoría de las señales a estudiar no son periódicas y sin embargo esta
DFT se usa en su análisis.
13.1
Oscilación en el plano complejo
La teoría de Fourier permite expresar cualquier señal periódica como una
suma de oscilaciones ponderadas. Así entonces, se vuelve crítico entender el
concepto de oscilación discreta.
Definición 13.1 El dominio de la oscilacion es el conjunto de N enteros
en el intervalo descrito a continuación.
n = 0, 1, . . . , N − 1
(13.1)
1 DFT es la abreviación de «Discrete Fourier Transform» que traducido al castellano es la
«Transformada Discreta de Fourier»
265
266
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Definición 13.2 El recorrido temporal de una oscilación es un conjunto de N muestras consecutivas y equidistantes de una circunferencia de radio
unitario. Estas muestras se expresan en notación de Euler como sigue:
(13.2)
2π
ej N n n = 0, 1, . . . , N − 1
Cada muestra de una oscilación se expresa, en notación de Euler, como la
pareja (radio, águnlo). Un relación matemática especial permite expresar cada
muestra de la oscilación como un número complejo en notación rectancular. Por
separado, la parte real y la parte imaginaria, representan relaciones senoidales
defasadas noventa gados.
Las relaciones indicadas en la figura 13.1 muestran los recorridos para diferentes cantidades de muestras N .
13.1.1
Nulidad frente a la suma de los recorridos
Teorema 13.1 Nulidad del recorrido frente a la suma. La suma de N
muestras equidistantes de una oscilación es nula. Matemáticamente se puede
escribir:
N
−1
�
2π
ej N n = 0
n=0
(13.3)
∀N ≥ 2
A modo de demostración, si se observan los recorridos de las muestras, para cada caso de N , en la figura 13.1, podrán validarse fácilmente las sumas
siguientes:
1
�
n=0
13.1.2
e
j 2π
2 n
=
2
�
n=0
e
j 2π
3 n
=
3
�
ej
2π
4 n
=0
n=0
frecuencia de giro
Es posible agregar un parámetro al concepto de oscilación tal que, se realicen
varios recorridos del círculo unitario para el mismo dominio. Este parámetro se
denomina «frecuencia de giro» k.
Definición 13.3 La frecuencia de giro k se refiere a que es posible realizar
k recorridos o giros sobre la circunferencia unitaria para un mismo dominio de
n = 0 . . . N − 1. Matemáticamente implica que el argumento de la relación de
Euler cambia a k (2π/N ) n:
2π
ejk N n ;
(n = 0, 1, . . . N − 1) ˆ (k = 0, 1, . . . N − 1)
(13.4)
Para ilustrar el concepto de frecuencia de giro, suponga un recorrido de
N = 8 muestras. Las frecuencias de giro para k = 0 . . . 7 se ilustran en las
figuras 13.2 y 13.3.
13.1. OSCILACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO
ej
ej
ej
2π
2 n
2π
3 n
2π
4 n
; n = 0, 1
; n = 0, 1, 2
; n = 0, 1, 2, 3
Figura 13.1: Recorridos de oscilaciones para N=2, N=3 y N=4.
267
268
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
ej0×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej1×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej2×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej3×
2π
8 ×n
;n = 0...7
Figura 13.2: Efectos de las frecuencias de giro k = 0 . . . 3 para el caso de N = 8.
13.1. OSCILACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO
ej4×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej5×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej6×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej7×
2π
8 ×n
;n = 0...7
269
Figura 13.3: Efectos de las frecuencias de giro k = 4 . . . 7 para el caso de N = 8.
270
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
13.1.3
Propiedades oscilación frente a
la rapidez de giro
Teorema 13.2 Nulidad de la cantidad de giros frente a la suma. La
suma de de los fasores para toda frecuencia de giro k es nula excepto para k = 0.
Matemáticamente se puede escribir que:
N
−1
�
ejk
2π
8 n
=
n=0


 N


k=0
(13.5)
k = 1, 2 . . . N − 1
0
Escrito de una forma compacta y útil se tiene que:
N
−1
�
ejk
2π
8 n
= N δ (k)
n=0
∀k = 0, 1 . . . N − 1
(13.6)
donde δ (k) es la función pulso unitario.
Como puede observarse en las figuras 13.2 y 13.3, si se suman los fasores
para toda rapidez de giro se encontrará que el total es nulo, excepto para k = 0.
Teorema 13.3 Periodicidad temporal. La oscilación es periódica en el dominio de n en la cantidad de N , es decir:
2π
2π
ejk N (n+αN ) = ejk N n
α�Z
(13.7)
Para demostrar la fórmula considérese el siguiente desarrollo:
2π
ejk N (n+αN )
2π
2π
=
ejk N n+jk N αN
=
ejk N n+jk2πα
=
ejk N n ejk2πα
=
ejk N n
2π
2π
2π
Teorema 13.4 Periodicidad frecuencial. La oscilación es periódica en el
dominio de k, en la cantidad N , es decir:
2π
2π
ej(k+βN ) N n = ejk N n
Para demostrar la fórmula considérese el siguiente desarrollo:
(13.8)
13.2. DEDUCCIÓN DE LA TRANSFORMADA DISCRETADE FOURIER271
2π
ej(k+βN ) N n
2π
2π
=
ejk N n+jk N βN
=
ejk N n+jk2πβ
=
ejk N n ejk2πβ
=
ejk N n
2π
2π
2π
Teorema 13.5 Ortogonalidad. Dadas las oscilaciones ejk N n y e−jr N n , éstas serán ortogonales si se satisface que el producto punto de sus respectivos
recorridos es nulo para cuando k �= r, es decir:
2π
N
−1
�
2π
2π
ejk N n e−jk N r =
n=0


 N;


0;
2π
k=r
(13.9)
k �= r
Escrito en una manera más compacta y útil se tiene que:
N
−1
�
n=0
2π
2π
ejk N n e−jr N n = N δ (k − r)
(13.10)
donde δ () es la función pulso unitario.
La respectiva demostración se deja al lector.
13.2
Deducción de la Transformada Discreta
de Fourier
La Transformada Discreta de Fourier, como ya se ha mencionado, descompone una señal periódica en una combinación lineal de oscilaciones a frecuencias
de giro en múltiplos sucesivos. Los pesos de tal combinación lineal son fasores,
que como su nombre lo indica, afectan las oscilaciones en amplitud y fase.
13.2.1
Componente espectral
Definición 13.4 Un fasor es un número complejo que representa la ampitud
y fase de una oscilación. Matemáticamente, el fasor se expresa mediante la
relación de Euler como una cantidad compleja.
X = |X| ejφ
(13.11)
272
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Definición 13.5 Componente espectral. Se denomina componente espectral
a una oscilación cuyos parámetros son una amplitud, una fase y una frecuencia
de giro2 . En forma matemática se trata del producto de un fasor (amplitud y
fase) con una oscilación (frecuencia):
(13.12)
2π
Xejk N n
donde:
• X es un fasor, el cual, por definición, representa la amplitud y una fase
de la oscilación
13.2.2
Fórmula de síntesis de la DFT:
transformada inversa
Teorema 13.6 Síntesis de una serie de muestras de una señal peroiódica. Dada una serie discreta y periódica de N números reales x = {x (0) , x (1)
, . . . , x (n) , . . . , x (N − 1)}. Cada muestra se puede expresar como una combinación lineal de oscilaciones con diferentes amplitudes, fases y frecuencias de
giro en mútiplos sucesivos. Matemáticamente se tiene que la n-ésima muestra
se calcula como:
x (n) =
N
−1
�
2π
X (k) ejk N n ;
k=0
siendo:
(13.13)
n = 0, 1, . . . N − 1
• N el número de muestas en un periodo.
• X (k) el k-ésimo factor de peso de la combinación lineal. X (k) es un fasor
en función de la frecuencia de oscilación.
13.2.3
Ejemplo:
Desarrolle la serie exponencial para una señal compuesta de 4 muestras.
Siguiendo la ecuación 13.13 se tiene que el desarrollo de la combinación lineal
para la n-ésima muestra es:
x (n) = X (0) ej0
2π
4 n
+ X (1) ej1
2π
4 n
+ X (2) ej2
2π
4 n
+ X (3) ej3
2π
4 n
(13.14)
Si ahora se desarrollan todas las posibles series se tiene:
2 En tiempo continuo, la componente espectral tiene parmetros de amplitud, fase y frecuencia. Para el caso de la «Transformada Discreta de Foruier», en vez de «frecuencia» se usa
«rapidez de giro».
13.2. DEDUCCIÓN DE LA TRANSFORMADA DISCRETADE FOURIER273
x (0)
=
X (0) ej0
2π
4 0
+
X (1) ej1
2π
4 0
+
X (2) ej2
2π
4 0
x (1)
=
X (0) ej0
2π
4 1
+
X (1) ej1
2π
4 1
+
X (2) ej2
x (2)
=
X (0) ej0
2π
4 2
+
X (1) ej1
2π
4 2
+
X (2) ej2
2π
2π
X (3) ej3
2π
4 0
2π
4 1
X (3) ej3
2π
4 1
2π
4 2
X (3) ej3
2π
4 2
+
2π
2π
x (3) = X (0) ej0 4 3 + X (1) ej1 4 3 + X (2) ej2 4 3
X (3) ej3 4 3
(13.15)
Puede notarse que para aproximar todas las muestras de la señal de estudio
se deben realizar un total N × N de productos complejos.
13.2.4
Fórmula de análisis: transformada directa
Teorema 13.7 Fórmula de análisis de una señal períodica. Considere
ahora la secuencia de N números reales x = {x (0), x (1), . . ., x (n), . . ., x (N − 1)},
los cuales son muestras de una señal periódica3 . Tal secuencia debe transformarse en la secuencia de N fasores X = {X (0) , . . . , X (k) , . . . , X (N − 1)} según
la fórmula.
X (k) =
N
−1
�
2π
x (n) e−jk N n ;
n=0
siendo:
k = 0, 1, . . . N − 1
(13.16)
• N el número de muestras en un periodo.
• x (n) representa la n-ésima muestra de la señal en el dominio del tiempo.
• X (k) es el k-ésimo fasor de la combinación lineal.
Definición 13.6 El espectro de una señal discreta y periódica es el conjunto
de números X = {X (0) , . . . , X (k) , . . . , X (N − 1)}. El dominio de este conjunto lo forma la secuencia k = 0, 1, . . . , N −1 misma que representa las frecuencias
de giro de las oscilaciones.
A modo de demostración del teorema 13.7 considérese la ecuación 13.13 la
cual se multiplica en sus dos miembros por una exponencial cuya cantidad de
giros es r, es decir:
2π
2π
x (n) e−jr N n = e−jr N n
N
−1
�
2π
X (k) ejk N n
k=0
3 El
origen de la señal puede ser discreto o bien, puede tratarse de una señal analgica de la
cual se extraen muestras deacuerdo al teorema de Nyquist.
274
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Observe que la nueva exponencial es independiente de n por lo cual puede
entrar en la sumatoria
N
−1
�
2π
x (n) e−jr N n =
2π
2π
X (k) ejk N n e−jr N n
k=0
Ahora se integra a ambos lados de la igualdad
N
−1
�
−1
N
−1 N
�
�
2π
x (n) e−jr N n =
n=0
2π
2π
X (k) ejk N n e−jr N n
n=0 k=0
Aplicando la propiedad conmutativa de la suma se tiene la siguiente permutación
N
−1
�
2π
x (n) e−jr N n =
n=0
N
−1
�
X (k)
N
−1
�
x (n) e
−jr 2π
N n
=
n=0
2π
2π
ejk N n e−jr N n
n=0
k=0
Trabajando algunos exponentes
N
−1
�
N
−1
�
X (k)
N
−1
�
2π
ej(k−r) N n
n=0
k=0
Aplicando la propiedad de ortogonalidad se logra
N
−1
�
2π
x (n) e−jr N n =
n=0
N
−1
�
k=0
X (k) N δ (k − r)
Ahora bien, considere que la sumatoria del miembro derecho tiene el siguiente
comportamiento
N
−1
�
k=0




X (k) δ (k − r) = N 



X (0) δ (0 − r)
+X (1) δ (1 − r)
+...
+X (r) δ (r − r)
+...
X (N − 1) δ (N − 1 − r)
Sustituyendo este comportamiento se logra
N
−1
�
2π
x (n) e−jr N n = N X (r)
n=0
Haciendo cambio de variable r → k
N
−1
�
n=0
2π
x (n) e−jr N n = N X (k)




 = N X (r)



13.3. CÁLCULO DEL ESPECTRO DE SEÑALES SENO Y COSENO 275
Concluyendo
N −1
2π
1 �
x (n) e−jr N n = X (k)
N n=0
Que es la misma ecuación 13.16.
13.3
Cálculo del espectro de señales seno y
coseno
13.3.1
Señal coseno
Dada la siguiente señal coseno, calcule su espectro:
�
�
2π
cos k n
N
(13.17)
Para calcular el espectro, primero se debe aplicar la identidad de Euler de
la forma siguiene:
1 jk 2π n 1 −jk 2π n
N
e N + e
2
2
Observe el segundo término, tiene el coeficiente −k, es decir, tiene una frecuencia negativa. Para lograr una frecuencia positiva se aprovecha la propiedad
de periodicidad angular establecida en el teorema 13.4. En consecuencia, es
posible sutituir la frecuencia negativa por N − k. Así entonces:
�
�
2π
2π
1
1
2π
(13.18)
cos k n = ejk N n + ej(N −k) N n
N
2
2
13.3.2
Señal seno
Dada la siguiente señal seno, calcule su espectro:
�
�
2π
sen k n
N
(13.19)
Para calcular el espectro, primero se debe aplicar la identidad de Euler de
la forma siguiene:
2π
2π
1
1
− jejk N n + je−jk N n
2
2
Observe el segundo término, tiene el coeficiente −k, es decir, tiene una frecuencia negativa. Para lograr una frecuencia positiva se aprovecha la propiedad
de periodicidad angular establecida en el teorema 13.4. En consecuencia, es
posible sutituir la frecuencia negativa por N − k. Así entonces:
276
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
�
�
2π
2π
2π
1
1
sen k n = − jejk N n + jej(N −k) N n
N
2
2
(13.20)
Finalmente, debe observarse que un factor de j intoduce un defasamiento de
90 grados.
13.3.3
Señal conseno defasado
Dada la siguiente combinación lineal, calcule el espectro.
�
�
�
�
2π
2π
acos k n + bsen k n
N
N
(13.21)
Para resolver el esectro de esta combinación lineal, previamente se debe
aplicar una identidad trigonométrica (consulte el apéndice C) tal que nos entrega
la siguiente relación:
�
a2
+
b2 cos
�
b
2π
k n − atg
N
a
�
Ahora se realiza la siguiente equivalencia para simplificar las ecuaciones posteriores:
β = atg
b
a
Aplicando la equivalencia de Euler (consulte el apéndice C) se logra:
� 2π
�
2π
1� 2
a + b2 ejk N n−β + e−jk N n+β
2
Resolviendo potencias se logra:
2π
2π
1� 2
1� 2
a + b2 e−jβ ejk N n +
a + b2 ejβ e−jk N n
2
2
Aplicando la propiedad de periodicidad angular resulta en:
2π
2π
1� 2
1� 2
a + b2 e−jβ ejk N n +
a + b2 ejβ ej(N −k) N n
2
2
13.4
Ejemplos de cálculo del espectro de
señales periódicas
Las señales periódicas que se estudian a continuación se expresan como una
combinación lineal de senos y cosenos, lo cual facilita su estudio.
13.4. EJEMPLOS DE CÁLCULO DEL ESPECTRO DESEÑALES PERIÓDICAS277
Figura 13.4: Transformada Discreta de Fourier de la señal coseno.
13.4.1
Señal cosenoidal
Calcúlese la «Transformada Discreta de Fourier» de la señal siguiente:
�
�
2π
cos 2 n
(13.22)
8
El primer paso es descomponer la señal coseno en una serie exponencial
empleando las identidades de Euler, es decir:
�
�
2π
1 2π
1
2π
cos 2 n = ej2 8 n + e−j2 8 n
8
2
2
Considérese ahora la propiedad de periodicidad frecuencial sobre el siguiente
término:
1 2π
1 j(−2+8) 2π n
8
= ej6 8 n
e
2
2
Así entonces, la serie exponencial de la señal coseno resulta en:
�
�
1 2π
2π
1 2π
cos 2 n = ej2 8 n + ej6 8 n
8
2
2
Lo cual es la Transformada Discreta de Fourier buscada. La figura 13.4 ilustra
como se grafica esta función.
13.4.2
Señal senoidal
Calcúlese la Transformada Discreta de Fourier de la seña siguiente:
�
�
2π
(13.23)
sen 2 n
8
El primer paso es descomponer la señal seno en una serie exponencial empleando las identidades de Euler, es decir:
�
�
2π
2π
1
2π
1
sen 2 n = ej2 8 n − e−j2 8 n
8
2j
2j
278
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Figura 13.5: Transformada Discreta de Fourier de la señal seno.
Se reacomodan los términos como sigue:
�
�
2π
2π
1
1 2π
sen 2 n = −j ej2 8 n + j e−j2 8 n
8
2
2
Considérese ahora la propiedad de periodicidad frecuencial sobre el siguiente
término:
2π
1
1 2π
j ej(−2+8) 8 n = j ej6 8 n
2
2
Así entonces, la serie exponencial de la señal coseno resulta en:
�
�
1 2π
1 2π
2π
sen 2 n = −j ej2 8 n + j ej6 8 n
8
2
2
En este caso, es necesario observar que los términos están afectados en fase
por el número imaginario j, esto es 90 grados. Así entonces, la gráfica espectral
para la señal seno resulta como la mostrada en la figura 13.5.
13.4.3
Señal conseno defasado
Dada la siguiente combinación lineal, calcule el espectro.
�
�
�
�
2π
2π
cos 2 n + sen 2 n
8
8
Aplicando trigonometría se logra:
�
�
√
π
2π
2cos 2 n −
8
4
(13.24)
13.5. PROPIEDADES DEL ESPECTRO DE UNA SEÑAL PERIÓDICA 279
Figura 13.6: Transformada Discreta de Fourier de una suma de seno y conseno
a la misma frecuencia
Aplicando la identidad de Euler:
π
2π
2π
1 π
1
√ e−j 4 ej2 8 n + √ ej 4 ej6 8 n
2
2
El respectivo diagrama espectral puede verse en la figura 13.6.
13.5
Propiedades del espectro de una señal periódica
Esta sección aparece con fines meramente diractamente didácticos y su pretención es proveer un conocimiento general respecto de alunas propiedades básicas de la DFT. En una sección posterior se volverán a enumarar estas mismas
propiedades pero estavez, estableciendo ecuaciones.
El espectro de toda señal periódica comparte propiedades bien definidas, las
cuales serán enunciadas a continuación. Para ilustrar estas reglas se usará el
espectro de la siguiente señal y que es mostrado en la figura 13.7:
�
�
�
�
1
2π
2π
1 + cos 2 n + sen 3 n
8
2
8
(13.25)
Teorema 13.8 La componente de directa de una señal periodica es una
espiga en k = 0 y aparece con toda su amplitud.
280
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Figura 13.7: Espectro correspondiente a la ecuación 13.25.
Teorema 13.9 Teorema de composición espectral. Cada componente senoidal de un mensaje genera un par de componentes espectrales con la mitda de
su amplitud.
Teorema 13.10 Teorema de la simetría par. El espectro de magnitudes de
una señal periodica tiene simetría par respectro de N /2.
Teorema 13.11 Teorema de la simetría impar. El espectro de fase de una
señal periodica tiene simetría impar respectro de N /2.
Teorema 13.12 Periodicidad del espectro. El espectro de una señal periódica tiene periodicidad de N .
13.6
Propiedades de la DFT
Teorema 13.13 Homogeneidad. La «Transformada Discreta de Fourier» de
una función amplificada por un factor A es numéricamente igual a la transformada amplificada en un factor A, de la función.
F {Ax (n)} = AF {x (n)}
A�R
A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente:
F {Ax (n)} =
N
−1
�
n=0
2π
Ax (n) e−jk N n
(13.26)
13.6. PROPIEDADES DE LA DFT
281
Dado que el término A es constante para la sumatoria se puede fatorizar
como sigue:
F {Ax (n)} = A
N
−1
�
2π
x (n) e−jk N n
n=0
Concluyendo, el término a la derecha del signo igual se puede escribir como:
F {Ax (n)} = AF {x (n)}
Resultado que es coincidente con la propiedad a demostrar.
Teorema 13.14 Aditividad. La «Transformada Discreta de Fourier» de una
suma de funciones es numéricamente igual a la suma de las transformadas de
las funciones.
(13.27)
F {x (n) + y (n)} = F {x (n)} + F {y (n)}
A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente:
F {x (n) + y (n)} =
N
−1
�
2π
[x (n) + y (n)] e−jk N n
n=0
Es posible aplicar la propiedad distributiva al miembro en la derecha del
signo igual:
F {x (n) + y (n)} =
N
−1
�
2π
x (n) e−jk N n +
n=0
N
−1
�
2π
y (n) e−jk N n
n=0
Concluyendo, el término a la derecha del signo igual se puede escribir como:
F {x (n) + y (n)} = F {x (n)} + F {y (n)}
Resultado que es coincidente con la propiedad a demostrar.
Teorema 13.15 Simetría par en la magnitud. La magnitud de la «Transformada Discreta de Fourier» tiene simetría par respecto de la frecuencia N/2.
�
�
� �
�X (k)� = �X (N − k)�
(13.28)
∠X (k) = −∠X (N − k)
(13.29)
Teorema 13.16 Simetría impar en la fase. La fase de la «Transformada
Discreta de Fourier» tiene simetría impar respecto de la frecuencia N/2.
282
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Figura 13.8: Ilustración del teorema de estacionaridad temporal de la «Transformada Discreta de Fourier».
Teorema 13.17 Simetría par en la parte real. La parte real de la «Transformada Discreta de Fourier» tiene simetría par respecto de la frecuencia N/2.
(13.30)
Re {X (k)} = Re {X (N − k)}
Teorema 13.18 Simetría impar en la parte imaginaria. La parte imaginaria de la «Transformada Discreta de Fourier» tiene simetría impar respecto
de la frecuencia N/2.
(13.31)
Im {X (k)} = Im {X (N − k)}
Teorema 13.19 Estacionaridad temporal de la fórmula de análisis.
La «Transformada Discreta de Fourier» es estacionaria en el tiempo, es decir,
es independiente del origen temporal elegido para analizar una señal discreta
periódica.
F {x (n)} =
N
−1
�
2π
x (n) e−jk N n =
n=0
N −1+α
�
2π
x (n) e−jk N n
(13.32)
n=0+α
Este teorema queda ilustrado en la figura 13.8. En la figura se observa una
señal cuyo espacio muestral consiste de N elementos. Según la formulación 13.32
no importa en que instante se empiece la captura de las muestras.
Para demotrar la validez de este teorema considérese la tarea de retirar el
término α de los límites de la sumatoria.
F {x (n)} =
N −1+α−α
�
2π
x (n + α) e−jk N (n+α)
n=0+α−α
Así, se llega a la siguiente formulación:
F {x (n)} =
N
−1
�
n=0
2π
x (n + α) e−jk N (n+α)
(13.33)
13.6. PROPIEDADES DE LA DFT
283
Figura 13.9: Señal periódica para analizar mediante la «Transformada Discreta
de Fourier».
A continuación se desglosa el término exponencial compleja de la forma
siguiente:
F {x (n)} =
N
−1
�
2π
2π
x (n + α) e−jk N α e−jk N n
(13.34)
n=0
Si el lector observa bien, el término x (n + α) es la función adelantada en α
2π
y el término e−jk N α es un fasor que retrasa la función en α por lo cual se tiene
que:
(13.35)
2π
x (n + α) e−jk N α = x (n)
Así, sustituyendo la ecuación 13.35 en la ecuación 13.34 se logra:
F {x (n)} =
N
−1
�
2π
x (n) e−jk N n
n=0
Que es la ecuación original de la «Transformada Discreta de Fourier».
Para concluir con este teorema hace falta comentar que, las formulaciones
13.32 y 13.33 son muy utilizadas en la demostración de otras propiedades de la
DFT.
La siguiente propiedad se deriva de la estacionaridad temporal de la «Tansformada Discreta de Fourier».
Teorema 13.20 Periodicidad de la «Transformada Discreta de Fourier». El análisis de una señal periódica puede realizarse en cualquiera de sus
periodos.
N
−1
�
n=0
x (n) e
−jk 2π
N n
=
N −1+αN
�
2π
x (n) e−jk N n α�Z
(13.36)
n=0+αN
La figura 13.9 ilustra el caso de una señal periódica en N . A este respecto,
la «Transformada Discreta de Fourier» puede aplicarse en cualquiera de los
periodos, tanto positivos como negativos, de tal señal.
Para demotrar la validez de este teorema considérese la tarea de retirar el
término αN de los límites del miembro derecho de la ecuación 13.36.
284
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
N −1+αN
� −αN
2π
x (n + αN ) e−jk N (n+αN )
n=0+αN −αN
Entonces resulta en:
N
−1
�
2π
x (n + αN ) e−jk N (n+αN )
n=0
Así entones considérese que:
• x (n) es una señal periódica en N por lo cual x (n + αN ) = x (n)
• e−jk N n es una señal periódica en N por lo cual e−jk N (n+αN ) = e−jk N n
2π
2π
2π
Finalmente, si se aplica la periodicidad de las funciones se logra:
N
−1
�
2π
x (n) e−jk N n
n=0
Lo cual valida el teorema 13.20.
Teorema 13.21 Invarianza ante la reflexión de los límites de la suma
en el dominio del tiempo.
N
−1
�
2π
x (n) e−jk N n =
−(N −1)
n=0
�
2π
x (n) e−jk N n
(13.37)
n=0
A modo de demostración, considérese trabajar con el miembro derecho de la
ecuación 13.37
−(N −1)
�
2π
x (n) e−jk N n
n=0
Ahora se afectan los límites de tal forma que resulten no negativos. Para tal
tarea se plantea entonces:
−(N −1)+(N −1)
�
n=0+(N −1)
2π
x (n − N + 1) e−jk N (n−N +1)
Realizando las operaciones necesarias
0
�
n=N −1
2π
x (n − N + 1) e−jk N (n−N +1)
Ahora, debe recordarse que tanto la función x (n) como el fasor e−j N n son
periódicos respecto de N :
2π
13.6. PROPIEDADES DE LA DFT
0
�
285
2π
x (n + 1) e−jk N (n+1)
n=N −1
El lector debe observar que los límites de la sumatoria están cambiados
de posición. Para colocar estos límites tal cual corresponde se aprovecha la
propiedad conmutativa de la suma:
N
−1
�
2π
x (n + 1) e−jk N (n+1)
n=0
Finalmente se aprovecha la propiedad de estacionaridad temporal:
N
−1
�
2π
x (n) e−jk N n
n=0
Resultado que corresponde con la «Transformada Discreta de Fourier».
Teorema 13.22 Transformada Conjugada Discreta de Fourier de una
funcion real. La «Transformada Conjugada Discreta de Fourier» de una señal
se obtiene mediante la combinación lineal de los conjugados de las oscilaciones.
F ∗ {x (n)} =
N
−1
�
(13.38)
2π
x (n) ejk N
n=0
A modo de demostración, considérese la fórmula de la «Transformada Discreta de Fourier»:
F {x (n)} =
N
−1
�
2π
x (n) e−jk N
n=0
Aplicando el conjugado a la igualdad se logra:
�N −1
�∗
�
2π
∗
x (n) e−jk N
[F {x (n)}] =
n=0
En cuanto al miembro izquierdo de la igualdad, no se tiene problema matemátio alguno puesto que se puede escribir como:
F ∗ {x (n)}
Ahora se presta atención al miembro derecho de la igualdad: el conjugado
de una suma es la suma de conjugados.
∗
F {x (n)} =
N
−1 �
�
n=0
2π
x (n) e−jk N
�∗
286
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Finalmente, se sabe que el conjugado de un producto es el producto de los
conjugados:
F ∗ {x (n)} =
N
−1
�
2π
x (n) ejk N
n=0
Se debe considerar que en esta última formulación, la señal x (n)es de tipo
real, razón por la cual no se ve afectada por el operador conjugado.
Teorema 13.23 Desplazamiento circular temporal. La «Transformada
Discreta de Fourier» de una señal desplazada en una cantidad α es igual a
la «Transformada Discreta de Fourier» desfasada en α, de la función sin desplazar. Así, si se cuenta con que:
F {x (n)} = X (k)
Entonces
2π
F {x (n � α)} = ejk N α F {x (n)}
(13.39)
En este caso, el lector debe considerar que cualquier deplazamiento temporal,
adelanto o atraso, de una función periódica, es un desplazamiento circular. Por
esta razón se usa el símbolo de suma encerrado en un círculo: ⊕.
A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente:
F {x (n � α)} =
N
−1
�
2π
x (n + α) e−jk N n
n=0
Realizando las operaciones necesarias para dejar la función f (n) sin desplazar:
N −1+α
�
n=0+α
Resolviendo:
2π
x (n − α + α) e−jk N (n−α)
N −1+α
�
2π
2π
x (n) e−jk N n ejk N α
n=0+α
Es posible extraer el fasor, función de α dado que no es función de n.
2π
ejk N α
N −1+α
�
2π
x (n) e−jk N n
n=0+α
Aplicando la primera propiedad de estacionaridad temporal:
13.6. PROPIEDADES DE LA DFT
2π
ejk N α
287
N
−1
�
2π
x (n) e−jk N n
n=0
Resultado que es coincidente con la propiedad a demostrar.
Teorema 13.24 Modulacion compleja. Multiplicar una función temporal
por una oscilación compleja implica un espectro desplazado en la frecuencia de
la oscilación. Así, si se cuenta con que:
F {x (n)} = X (k)
Entonces
�
�
2π
F x (n) ejM N n = X (k � M )
(13.40)
El lector debe considerar que dos situaciones respecto de este teorema:
• Debido a la periodicidad del espectro, cualquier desplazamiento es del tipo
circular.
• La formulación indica que primero debe calcularse la función F (k) y luego
debe desplazarse en M ,
A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente:
−1
� N�
�
2π
2π
2π
x (n) ejM N n e−jk N n
F x (n) ejM N n =
n=0
Ahora se reúnen los dos términos exponenciales de la forma siguiente:
�
F x (n) e
jM 2π
N n
�
=
N
−1
�
2π
x (n) e−j(k−M ) N n
n=0
Esto implica un cambio en la variable de transformación de k a k − M .
�
�
2π
F x (n) ejM N n = X (k − M )
Debido a que el espectro es periódico, el desplazamiento en frecuencia es
circular
�
�
2π
F x (n) ejM N n = X (k � M )
Resultado que es coincidente con la propiedad a demostrar.
288
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Teorema 13.25 Reflexión temporal. La «Transformada Discreta de Fourier» de una señal real y reflejada es la «Transformada Conjugada de Fourier»
de la función sin reflejar.
(13.41)
F {x (−n)} = F ∗ {x (n)}
A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente:
F {x (−n)} =
N
−1
�
2π
x (−n) e−jk N n
n=0
Ahora se modifican los límites de la sumatoria para modificar el término
x (−n) de forma que resulte x (n).
F {x (−n)} =
De esto resulta:
(N −1)×(−1)
�
n=0×(−1)
F {x (−n)} =
F {x (−n)} =
�
n
x −
−1
−(N −1)
�
�
2π n
−1
e−jk N
2π
x (n) ejk N n
n=0
−(N −1)
�
2π
x (n) ejk N n
n=0
Ahora se aprovecha propiedad de «invarianza respecto de la inversión de los
límites»:
F {x (−n)} =
N
−1
�
2π
x (n) ejk N n
n=0
Finalmente, se tiene que la fórmula resultante es la «Transformada Conjugada Discreta de Fourier» vista en una sección anterior.
F {x (−n)} = F ∗ {x (n)}
Teorema 13.26 Inversión temporal y desplazamiento.
Teorema 13.27 Inversión de fórmula (transformada inversa por transformada directa).
Teorema 13.28 Dualidad (doble cambio de variable).
13.6. PROPIEDADES DE LA DFT
289
Teorema 13.29 Convolución circular. La «Transformada Discreta de Fourier» de una convolución circular es numéricamente igual al producto de las
transformadas de las funciones.
(13.42)
F {f (n) � g (n)} = F {f (n)} F {g (n)}
A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente:
F {f (n) � g (n)} =
N
−1
�
n=0
2π
x (n) � g (n) e−jk N n
Desarrollando la fórmula de la convolución circular
F {f (n) � g (n)} =
−1
N
−1 N
�
�
n=0 m=0
2π
x (m) y (− (m − n)) e−jk N n
Aplicando la factorización a la doble suma (consulte el apéndice E) resulta
F {f (n) � g (n)} =
N
−1
�
x (m)
m=0
N
−1
�
n=0
2π
y (n − m) e−jk N n
Ahora se aplica la propiedad de desplazamiento temporal:
F {f (n) � g (n)} =
N
−1
�
2π
x (m) e−jk N m Y (k)
m=0
El término exponencial puede entrar a la sumatoria dado que es factor común
�
�N −1
�
−jk 2π
m
N
x (m) e
Y (k)
F {f (n) � g (n)} =
m=0
Resolviendo la sumatoria
F {f (n) � g (n)} = X (k) Y (k)
Que es el resultado buscado.
Teorema 13.30 Correlación circular. La «Transformada Discreta de Fourier» de una convolución circular es numéricamente igual al producto de las
transformadas de las funciones, siendo una de ellas conjugada.
F {x (n) � �y (n)} = X (k) Y ∗ (k)
(13.43)
Se sabe que la correlación guarda la siguiente relación con la convolución:
x (n) � �y (n) = x (n) � y (−n)
290
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Así, aplicando la «Transformada Discreta de Fourier a ambos miembros de
la igualdad anterior se logra:
F {x (n) � �y (n)} = F {x (n) � y (−n)}
Entonces es posible calcular la operación en el miembro derecho de la igualdad anterior:
F {x (n) � �y (n)} = X (k) Y ∗ (k)
Que es el resultado buscado.
Teorema 13.31 Parseval. El calculo de la potencia de una señal periódica en
el dominio de n es numéricamente igual al cálculo de la potencia en el dominio
de k.
s {x (n)} =
N −1
N −1
1 �
1 � 2
x (n) = 2
X (k) X ∗ (k)
N n=0
N
(13.44)
k=0
A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente:
s {x (n)} =
N −1
1 �
x (n) x (n)
N n=0
Si se considera que x (n) puede expresarse como una «Transformada Discreta
Inversa de Fourier».
s {x (n)} =
N −1
N −1
2π
1 �
1 �
x (n)
X (k) ejk N n
N n=0
N
k=0
Aplicando la factorización de la primer sumatoria
s {x (n)} =
N −1
N
−1
�
2π
1 �
X
(k)
x (n) ejk N n
2
N
n=0
k=0
Si se observa, la sumatoria sobre n es una transformada conjugada.
s {x (n)} =
N −1
1 �
X (k) X ∗ (k)
N2
k=0
Ecuación que es el resultado buscado
13.7. EL PERIODOGRAMA
13.7
291
El periodograma
Del teorema de Parseval se obtiene la siguiente relación:
(13.45)
X (k) X ∗ (k)
La ecuación 13.45 se denomina la «función densidad espectral de energía»
o simplemente, el priodograma. Esta relación es importante para el ćalculo del
espectro de cierto tipo de señales aleatorias.: una señal eleatoria, al ser una señal
potencia, no tiene «Transformada de Fourier», pero si la respectiva autocorrelación resulta en una señal enegía, entonces el espectro de la mencionada señal
aleatoria se define como el espectro de su autocorrelación.
13.8
Transformadas de Funciones
13.8.1
Pulso unitario
(13.46)
F {δ (n)} = 1
13.8.2
Pulso unitario desplazado
F {δ (n � α)} = ejk N α
(13.47)
F {A} = N Aδ (k)
(13.48)
2π
13.8.3
13.8.4
Constante
Pulso rectangular
jk 2π
N
F {GM (n)} = e
13.9
Ejercicios
M
2
�
�
M +1
sen k 2π
� N2π 21 �
sen k N 2
1. Dada la siguiente combinación lineal, calcule el espectro.
�
�
�
�
�
�
1
2π
1
2π
2π
n + sen 3 n + sen 5 n
sen
16
3
16
5
16
(13.49)
(13.50)
292
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER