Poisson

La distribución de Poisson
• Introducción
• La distribución de Poisson
• Propiedades
• Ejemplos
• Aproximación gaussiana
Técnicas experimentales de Física General
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Introducción:
Desintegraciones radiactivas
Se sabe que una fuente radiactiva emite partículas alfa a un
ritmo de 1.5 por minuto. ¿Si medimos el número de
partículas alfa emitidas en dos minutos ¿ Cuál es el resultado
promedio esperado?¿Cuál es la probabilidad de observar
x = 0,1, 2,3, 4 ? ¿y la probabilidad de que x ≥ 5 ?
Experimentos de contar sucesos
Distribución de Poisson
Pµ ( x) =
Si en promedio esperamos
µx
x!
e− µ
µ sucesos, la probabilidad de
obtener x, viene dada por Pµ ( x)
µ
= Número medio de sucesos esperados
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Probabilidad de observar x sucesos
cuando el promedio es
x
3 −3
P3 ( x) = e
x!
µ = 1.5 × 2 min = 3
Sucesos observados x
0
1
2
3
4
Probabilidad
5%
14%
22%
22%
17%
Pr ob( x ≥ 5) =100% − (5 + 15 + 22 + 22 + 17)% = 19%
Distribución de Poisson para un valor medio de µ = 3
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La distribución de Poisson
λ=
λt =
λ dt =
(1 − λ dt ) =
Prob. por unidad de intervalo de ocurrir un suceso
Sucesos en un tiempo t
Prob. de que ocurra un suceso en
Prob. de que no ocurra nada en
dt
dt
Hipótesis fundamental
La probabilidad λ es tan pequeña que en el intervalo dt no
pueden producirse dos o más sucesos
¿Cuál es la probabilidad de que ocurran x sucesos en un
intervalo de t + dt?
px (t + dt ) = px (t )(1 − λ dt ) + px −1 (t )λ dt
dpx
= λ [ px −1 − px ]
dt
px =
( λt )
x!
x
e
− λt
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µ = λt
= 
→
=
µx
x!
e− µ
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Propiedades
☛ Condición de normalización
∞
∑ Pµ ( x) = 1
x =0
☛ Valor medio
∞
∞
µx
x =0
x =0
x!
x = ∑ xPµ ( x) = ∑ x
e− µ = µ
☛ Desviación típica
∞
σ 2 = ∑ ( x − x )2 Pµ ( x) = µ
x =0
σ= µ
Cuando realizamos un experimento de contar sucesos
y obtenemos un valor x , el resultado con su error es:
x± x
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Ejemplos
Más desintegraciones radiactivas
Un estudiante observa que una muestra de Torio emite 49
partículas en 30 minutos ¿Cuál es la tasa de emisión?¿Cuál
es la tasa en partículas por minuto?
(Part. en 30 minutos ) = 49 ± 49 = 49 ± 7
R=
49 ± 7
= 1.6 ± 0.2 part/min
30
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Ejemplo
En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero
pone un huevo al día. Si se recogen los huevos cada hora
¿Cuál es el número medio de huevos que se recogen en cada
visita? ¿Con qué probabilidad encontraremos x huevos
para x = 0,1, 2,3 ? ¿y la probabilidad de que x ≥ 4 ?
Promedio : µ = 1× 18 / 24 = 0.75 huevos / hora
Sucesos observados x
Probabilidad(%)
0
1
2
3
47.2 35.4 13.3 3.3
x≥4
0.8
Distribución de Poisson para un valor medio de µ = 0.75
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Aproximación gaussiana
☛ Diferencias entre ambas distribuciones
Poisson
Variable discreta
No es simétrica
Un parámetro ( µ )
Gauss
Variable continua
Simétrica
Dos parámetros ( X , σ )
☛ Sin embargo:
Pµ ( x) ≈ GX ,σ ( x), cuando µ es grande
con
X =µ
y σ= µ
Distribuciones de Gauss y de Poisson para un valor medio de µ = 9
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Ejemplo
Consideremos la distribución de Poisson para µ = 64
☛ ¿Cuál es la probabilidad de obtener 72 sucesos?
Según Poisson:
(64)72 −64
Prob(72) = P64 (72) =
e = 2.91 %
72!
Según Gauss:
Prob(72) = G 64,8 (72) =
1
e
8 2π
−
( 72−64) 2
2×82
= 3.02 %
☛ ¿Cuál es la probabilidad de obtener 72 o más sucesos?
Según Poisson:
Prob(x ≥ 72) = P64 (72) + P64 (72) + ... = 17.3 %
Según Gauss:
Prob(x ≥ 72) = PG ( x ≥ 71.5) = PG ( x ≥ X + tσ ) = 17.4%
con
t=
x− X
σ
=
71.5 − 64
= 0.9375
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