Contenido 1. Ecuaciones de Hamilton 1.1 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton 1.2 Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación 1.3 Procedimiento de Routh 1.4 Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales 1.5 Principio de Mínima Acción 1 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 1/21 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Principios fudamentales El método Hamiltoniano no es superior ni aporta información adicional al sistema bajo estudio respecto al formalismo Lagrangiano, sin embargo tiene sus ventajas: Formalismo Hamiltoniano Formalismo Lagrangiano • 2n grados de libertad: qi ’s y • n grados de libertad: qi ’s • n ecuaciones de movimiento de pi ’s • 2n ecuaciones de movimiento segundo orden: d ∂L ∂L dt ∂ q̇i − ∂qi = 0 de primer orden • ∴ se necesitan de 2n cond. • ∴ se necesitan de 2n cond. iniciales para determinar el movimiento del sistema. iniciales para determinar el movimiento del sistema. • el estado del sist. se representa • el estado del sist. se representa como un punto en un espacio de configuración n-dimensional. como un punto en un espacio fase 2n-dimensional. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 2 /21 2/21 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Transformación de Legrende En el formalismo Hamiltoniano las 2n variables correspondientes son: • Coordenadas generalizadas: qi ∀ i = 1, 2, . . . , n • Momentos conjugados: pi = ∂L(qj , q̇j )/∂ q̇i ∀ i = 1, 2, . . . , n donde el set (q, p) se le conoce como variables canónicas. La transición del formalismo Lagrangiano (q, q̇, t) al Hamiltoniano (q, p, t) se realiza mediante Transformaciones de Legrende Consideremos una función de dos variables f (x, y), tal que su diferencial total sea ∂f ∂f df = dx + dy = udx + vdy, ∂x ∂y Ahora, cambiando la base (x, y) a (u, y) tal que ahora una nueva función dg se exprese en términos de du y dy, por tanto definimos, g = f − ux, ⇒ dg = df − udx − xdu, ⇒ dg = vdy − xdu 3 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 3/21 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Transformación de Legrende Comparando el resultado anterior de dg con la diferencial total, dg = vdy − xdu = ∂g ∂g ∂g ∂g dy + du, ∴ v = , x=− ∂y ∂u ∂y ∂u Aplicando la transformación de Legrende a L(q, q̇, t) tal que nos arroje H(q, p, t), dL = ∂L ∂L ∂L ∂L ∂L dqi + dq̇i + ⇒ ṗi = , dt, pero pi = ∂qi ∂ q̇i ∂t ∂ q̇i ∂qi 1 ∂L dt. ∂t Construyendo H(q, p, t) en función de L(q, q̇, t), ∴ dL = ṗi dqi + pi dq̇i + H(q, p, t) = q̇i pi − L(q, q̇, t), 1 sust. pi en d/dt(∂L/∂ q̇i ) − ∂L/∂qi = 0. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 4 /21 4/21 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Ecuaciones de Hamilton obteniendo la diferencial total de H(q, p, t), dH = q̇i dpi + pi dq̇i − dL = q̇i dpi − ṗi dqi − pero, dH = ∂L dt ∂t ∂H ∂H ∂H dpi + dqi + dt ∂pi ∂qi ∂t Relacionando términos obtenemos 2n relaciones conocidas como las ecuaciones canónicas de Hamilton, q̇i = ∂H ∂H , ṗi = − ∂pi ∂qi las cuales constituyen el set de 2n ecuaciones de movimiento de primer orden que reemplazan las n ecs. de segundo orden (provenientes del formalismo Lagrangiano). 5 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 5/21 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Notación simpléctica Las ecuaciones de Hamilton se pueden expresar en una forma compacta, construyendo un vector columna η con 2n elementos de la sig. manera, ηi = qi , ηi+n = pi , ∀ i ≤ n. igualmente generamos el vector columna ∂H/∂η, ∂H ∂η = i ∂H , ∂qi ∂H ∂η = i+n ∂H , ∀ i ≤ n. ∂pi Finalmente, definimos una matriz J de 2n × 2n, " # " 0 1 0 −1 J= , J̃ = −1 0 1 0 # donde 0 es la matriz n × n con todos los elementos cero, y 1 es la matriz unidad de n × n, cumpliendo J las sig. propiedades, J̃J = JJ̃ = 1, J̃ = −J = J−1 , J2 = −1, |J| = +1. 6 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 6/21 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Notación simpléctica Por tanto, con las definiciones anteriores podemos expresar las ecuaciones de Hamilton de una manera mas compacta, η̇ = J ∂H ∂η Como ejemplo, expresemos el sistema de dos variables (q1 , p1 ), (q2 , p2 ), q̇1 0 0 q̇ 0 0 2 = ṗ1 −1 0 ṗ2 0 −1 1 0 0 0 0 ∂H/∂q1 1 ∂H/∂q2 , 0 ∂H/∂p1 0 ∂H/∂p2 lo cual cumple con lo obtenido anteriormente, q̇i = ∂H ∂H , ṗi = − . ∂pi ∂qi 7 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 7/21 Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación Coordenadas cíclicas en el Hamiltoniano Recordemos que en el caso de la formulación Lagrangiana se consideraba a una coordenada qj cíclica si no aparecía explícitamente en L, por tanto, d de dt ∂L ∂ q̇j ⇒ ! − ∂L =0 ⇒ ∂qj ∂L = cte. ∂ q̇j ∂H ∂L = ṗj = − = cte. ∂ q̇j ∂qj ∴ una coordenada cíclica también estará ausente en el Hamiltoniano y el momento conjugado será una cantidad conservada. Ahora, para el caso de la dependencia temporal, recordemos que del Hamiltoniano llegabamos a lo siguente, ∂H ∂L =− , ∂t ∂t 8 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 8/21 Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación Conservación de la energía Analizando de la diferencial total dH(p, q, t), dH = ⇒ ∴ dH dt dH dt = = ∂H ∂H ∂H dpi + dqi + dt ∂pi ∂qi ∂t ∂H ∂H dpi ∂H dqi ∂H + + = q̇i p˙i − ṗi q̇i + ∂pi dt ∂qi dt ∂t ∂t ∂H ∂L =− , ∂t ∂t Entonces, observamos que, • si L 6= L(t), ⇒ H 6= H(t) ∴ H es una cte. de movimiento. • si el potencial es conservativo (V = V (q)) ⇒ H = T + V . IMP: las cond. anteriores no son mutuamente necesarias y suficientes!! • Un sistema puede tener H =cte. pero H 6= T + V , o . . . • . . . puede ser que H = T + V , pero H = H(t), ⇒ H 6= cte. 9 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 9/21 Procedimiento de Routh Aplicación a sistemas con coordenadas cíclicas Cuando tenemos alguna coordenada cíclica, digamos qn , hemos visto que el efecto en ambos formalismos, Formalismo Lagrangiano Formalismo Hamiltoniano L = L(q1 , . . . , qn−1 ; q̇1 , . . . , q̇n ; t) ∴ aún tenemos un problema de n variables (las q̇i siguen apareciendo completas!) H= H(q1 , . . . , qn−1 ; p1 , . . . , pn−1 ; α; t) al ser qn cíclica ⇒ pn = α = cte, por lo que tenemos n − 1 coord. y una cte. de integración α, q̇n = ∂H . ∂α El procedimiento de Routh, consiste en aplicar la transformación Hamiltoniana sólo a las coord. cíclicas, tratando las demás en el formalismo Lagrangiano. 10 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 10/21 Procedimiento de Routh Definición Si tenemos que las coord. cíclicas son qs+1 , . . . , qn , definimos una función R, conocida como Routhiano, R(q1 , . . . , qn ; q̇1 , . . . , q˙s ; ps+1 , . . . , pn ; t) = X pi q̇i − L, i=s+1 lo cual significa básicamente, R(q1 , . . . , qn ; q̇1 , . . . , q˙s ; ps+1 , . . . , pn ; t) = Hcycl (ps+1 , . . . , pn ) − Lnoncycl (q1 , . . . , qn ; q̇1 , . . . , q˙s ) en donde tenemos para las s coord. no-cíclicas las ecs. de Lagrange, d dt ∂R ∂ q̇i − ∂R = 0, ∀ i = 1, . . . , s, ∂qi y para las n − s coord. cíclicas las ecucaciones de Hamilton, ∂R ∂R = −ṗi = 0, & = q̇i , ∀ i = s + 1, . . . , n. ∂qi ∂pi 11 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 11/21 Procedimiento de Routh Ejemplo: problema de Kepler En el problema de Kepler tenemos una partícula que se mueve en un plano bajo la influencia de una fuerza f (r) ∝ 1/r2 proveniente de un potencial central general V (r) = −k/rn ⇒ el Lagrangiano es, L= m 2 k (ṙ + r2 θ̇2 ) + n , 2 r Observamos que la coord. cíclica es θ, siendo el momento conjugado pθ , por tanto el Routhiano será, k m 2 (ṙ + r2 θ̇2 ) − n , 2 r ∂L pθ = mr2 θ̇ → θ̇ = mr2 ∂ θ̇ 2 pθ 1 k − mṙ2 − n . 2 2mr 2 r R(r, ṙ, pθ ) = pθ θ̇ − L = pθ θ̇ − ∀ pθ = ⇒ R(r, ṙ, pθ ) = 12 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 12/21 Procedimiento de Routh Ejemplo: problema de Kepler (cont.) Ahora, para hallar las ecs. de movimento, aplicamos el formalismo Lagrangiano para las coord. no-cíclica r, d dt ∂R ∂ ṙ − ∂R p3 nk = 0, ⇒ r̈ − θ 3 + n+1 = 0. ∂r mr r aplicando ahora las ecsuaciones de Hamilton a la coord. cíclica θ, ∂R = −ṗθ = 0, ∂θ ∂R pθ = θ̇ = , ∂pθ mr2 ⇒ pθ = mr2 θ̇ = l = cte. resultado que se había obtenido previamente, pero mediante un procedimiento mas largo!!! 13 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 13/21 Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales Principio de Hamilton modificado En cálculo de variaciones estudiamos el principio de Hamilton en el espacio de configuraciones, δI ≡ δ Z t2 L(q, q̇, t)dt = 0 ∀ δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0 t1 Ahora, deseamos expresar lo anterior en términos del Hamiltoniano, H = pi q̇i − L(q, q̇, t), ⇒ L(q, q̇, t) = pi q̇i − H(p, q, t) entonces obtenemos el principio de Hamilton modificado en el espacio fase, δI ≡ δ Z t2 [pi q̇i − H(p, q, t)] dt = 0. t1 Ahora imponemos que la acción I sea estacionaria bajo variaciones independientes de q y p y fijo en los extremos, pi → pi + 1 ηi (t), 3 δpi (t1 ) = δpi (t2 ) = 0 qi → qi + 2 ξi (t), 3 δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = 0 14 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 14/21 Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales Principio de Hamilton modificado calculando la variación en el principio de Hamilton modificado, Z t2 ∂H ∂H pi δ q̇i + q̇i δpi − δpi − δqi dt = 0 ∂pi ∂qi t1 analizando el primer término, d d pi δ q̇i = pi (δqi ) = (pi δqi ) − ṗi δqi , dt dt sustituyendo, Z t2 d ∂H ∂H (pi δqi ) − ṗi δqi + q̇i δpi − δpi − δqi dt = 0 dt ∂pi ∂qi t1 Z t2 Z t2 ∂H ∂H ⇒ d [pi δqi ] + −ṗi δqi + q̇i δpi − δpi − δqi dt = 0 ∂pi ∂qi t1 t1 integrando el primer término, ⇒ Z t2 t1 d [pi δqi ] = pi δqi |tt21 = pi (t2 )δqi (t2 ) − pi (t1 )δqi (t1 ) = 0 15 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 15/21 Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales Principio de Hamilton modificado Entonces sólo nos queda el segundo término, Z t2 t1 ∂H ∂H −ṗi δqi + q̇i δpi − δpi − δqi dt = 0 ∂pi ∂qi agrupando, Z t2 t1 ∂H q̇i − ∂pi ∂H δpi − ṗi + ∂qi δqi dt = 0 como tenemos que las qi ’a y pi ’s son coordenadas independientes, entonces δqi ’a y δpi ’s también lo son, por tanto, q̇i − ∂H ∂H = 0, & ṗi + = 0. ∂pi ∂qi las cuales representan a las ecuaciones de Hamilton, q̇i = ∂H ∂H , & ṗi = − . ∂pi ∂qi 16 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 16/21 Principio de Mínima Acción Variación ∆ El principio de mínima acción involucra la variación ∆ que tiene menos restricciones que la variación δ, • la variación de la trayectoria puede tener limites diferentes en t que la trayectoria original, • puede haber variación en las coordenadas q de los límites. ⇒ qi (t, α) = qi (t, 0) + αηi (t), ∀ ηi (t1 ), ηi (t2 ) 6= 0. Evaluando la variación ∆ de la integral de acción, Z t2 ∆ t1 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Ldt ≡ Z t2 +∆t2 t1 +∆t1 L(α)dt − Z t2 L(0)dt t1 Mecánica Clásica − M.C. Física 17 /21 17/21 Principio de Mínima Acción Variación ∆ La variación se compone de dos partes, • Cambio en el integrando en la trayectoria alterna pero con los límites en t de la original. • Cambio en los límites de la integral de la trayectoria original, por tanto, podemos expresar la variación ∆ también de la sig. manera, Z t2 Z t2 Ldt = ∆ t1 t1 Z t2 = δLdt − Z ∆t1 Z ∆t2 L(0)dt + t1 L(0)dt t2 δLdt − L(t1 )∆t1 + L(t2 )∆t2 t1 la variación de la primera integral se realiza como en el caso del principio de Hamilton, excepto que δqi (t1 ), δqi (t2 ) 6= 0, Z t2 δLdt = t1 Z t2 ∂L t1 d − ∂qi dt ∂L ∂ q̇i ∂L t2 δqi dt + δqi = pi δqi |tt21 . ∂ q̇i t1 en donde el primer término corresponde a la ecuación de Lagrange. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 18 /21 18/21 Principio de Mínima Acción Variación ∆ Por tanto, la variación queda como, Z t2 ∆ t1 Ldt = L(t2 )∆t2 − L(t1 )∆t1 + pi δqi |tt21 = (L∆t + pi δqi )|21 Expresando ahora la variación ∆ en términos de ∆qi , ∴ ∆qi (2) = qi (t2 + ∆t2 , α) − qi (t2 , 0) = qi (t2 + ∆t2 , 0) − qi (t2 , 0) + . . . . . . + αηi (t2 + ∆t2 ) = qi (t2 , 0) + q̇i (t2 , 0)∆t2 + . . . . . . − qi (t2 , 0) + αηi (t2 ) + . . . . . . + αη̇i (t2 )∆t2 ∆qi (2) = q̇i (2, 0)∆t2 + δqi (2). en donde se ha usado, δqi (2) = qi (t2 , α) − qi (t2 , 0) = αηi (t2 ). Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 19 /21 19/21 Principio de Mínima Acción Variación ∆ reescribiendo la variación de la integral de acción, Z t2 Ldt = ∆ t1 (L∆t + pi δqi )|21 = (L∆t − pi q̇i ∆t + pi ∆qi )|21 = ([L − pi q̇i ] ∆t + pi ∆qi )|21 = (pi ∆qi − H∆t)|21 Lo anterior debe cumplir con las siguientes restricciones, • se consideran sistemas donde L 6= L(t), H 6= H(t), ⇒ H es una cantidad conservada. • la variación ∆ es tal que H se conserva en todas las trayectorias. • las trayectorias alternas deben cumplir que ∆qi (t1 ), ∆qi (t2 ) = 0, aún manteniéndose ∆t 6= 0. ⇒ ∆ Z t2 Ldt = −H(∆t2 − ∆t1 ). t1 20 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /21 20/21 Principio de Mínima Acción Variación ∆ Bajo las mismas condiciones anteriores, vemos que la integral de acción también se expresa como, Z t2 Z t2 Ldt = t1 t1 Z t2 = (pi q̇i − H) dt pi q̇i dt − H(t2 − t1 ) t1 aplicando la variación ∆ al resultado anterior, Z t2 Z t2 Ldt = ∆ ∆ t1 Z t2 pero, ∆ ⇒ pi q̇i dt − H(∆t2 − ∆t1 ) t1 Ldt = −H(∆t2 − ∆t1 ), t1 Z t2 pi q̇i dt = 0. ∆ t1 lo cual representa al principio de mínima acción Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 21 /21 21/21