3° E.M.

Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas
Unidad de Aprendizaje:
La Parábola
Capacidades/Destreza/Habilidad:
Curso:
3° E.M.
Racionamiento Matemático/ Aplicación / Calcular, Resolver
Valores/ Actitudes:
Respeto, Solidaridad, Responsabilidad / Trabajo en equipo,
Cumplimiento
ALGEBRA
Aprendizajes Esperados: Grafiquen y determinen las ecuaciones
algebraicas de la parábola a partir de elementos dados de ella
Recursos TICs:
Presentación de la unidad a través de POWERPOINT
Evaluación de proceso:
Corrección de tareas, interrogaciones, trabajo en clases
Tiempo: 4 bloques
Profesor Responsable: Miguel Fernández Riquelme
Unidad:
La Parábola
Definición: Función Polinómica.
Nombre:_________________________________________________CURSO:______
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LA PARÁBOLA
Se le llama parábola al lugar geométrico (conjunto de puntos) cuyas distancias
a un punto fijo F y a una recta fija d, llamados foco y directriz respectivamente,
sean iguales.
Ecuación en forma principal
Deducción de la ecuación principal de la parábola
Consideremos que para todo punto P de la parábola se debe cumplir que: PF =
PD
A partir de la fórmula de la distancia tenemos que:
PD 
x  (p))  y  y 
PD 
x  p2
y
PF 
PF 
2
2
 x p
x  p2  y  02
x  p2  y 2
Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:
PD  PF  x  p 
x  p2  y2
Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene
x  p2  x  p2  y 2
x 2  2px  p 2  x 2  2px  p 2  y 2
x 2  2px  p 2  x 2  2px  p 2  y 2
2
Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:
y2  4px
Ecuación principal de la parábola de vértice
en el
origen y sus ramas a la derecha.
y2 = 4px

Análogamente podemos deducir:
La ecuación de la parábola con vértice en el
y sus ramas a la izquierda es:
y2 = - 4px
origen

La parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos
para su descripción, mismos que se definen a continuación:
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• VÉRTICE: Punto (V) de la parábola
• EJE DE SIMETRIA: recta determinada por el foco y el vértice
• FOCO (F): Punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el eje
de simetría al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice.
• DIRECTRIZ (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una
distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola.
• DISTANCIA FOCAL: Magnitud (p) de la distancia entre vértice y foco, así como
entre vértice y directriz.
• CUERDA: Segmento que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la
parábola.
• LADO RECTO (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Ahora para las parábolas que van hacia arriba y con vértice en (0, 0) la
ecuación es:

x2 = 4py

y para las parábolas que van con sus ramas hacia abajo y con vértice en (0, 0)
la ecuación es
x2 = -4py

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Ahora si el vértice de la parábola se ubica en el punto (h, k) entonces se
produce una traslación del origen, es decir para la parábola
y2 = 4px que tiene su vértice en el origen y ramas a la derecha quedaría (y 0)2 = 4p(x – 0)  luego la traslación del vértice en el punto (h, k) quedaría:
(y - k)2 = 4p(x - h)
Ejemplo. (y - 2)2 = 0,5(x + 3) 
Ecuación de la parábola con vértice (-3, 2) y
sus ramas hacia la derecha.
Para la parábola que tiene sus ramas hacia la izquierda y vértice en (h, k) la
ecuación será
(y - k)2 = - 4p(x - h)
Ejemplo. (y + 4)2 = 0,5(x + 3) 
Ecuación de la parábola con vértice (-3, 2) y
sus ramas hacia la izquierda.
Para la parábola que tiene sus ramas hacia arriba y vértice en (h, k) la ecuación
será
(x - h)2 = 4p (y - k)
Ejemplo. (x - 3)2 = 0,3(y + 2) 
Ecuación de la parábola con vértice (3, -2) y
sus ramas hacia arriba.
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Finalmente para la parábola que tiene sus ramas hacia arriba y vértice en (h, k)
la ecuación será
(x - h)2 = - 4p(y - k)
Ejemplo. (x + 2)2 = 0,3(y - 5) 
Ecuación de la parábola con vértice (3, -2) y
sus ramas hacia abajo.
EJERCICIOS
1. Determinar, la ecuación principal , indicando las coordenadas del
foco y la ecuación de la directriz.
a. 6y 2 – 12x = 0
b. 2y 2 = - 7x
c. 15x 2 = -42y
2. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
(Resolver los ejercicios con * )
* a. De directriz x = -3, de foco (3, 0).
b. De directriz y = 4, de vértice (0, 0).
* c. De directriz y = -5, de foco (0, 5).
d. De directriz x = 2, de foco (-2, 0).
e. De foco (2, 0), de vértice (0, 0).
* f. De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
g. De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).
* h. De foco (3, 4), de vértice (1, 4).
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3. Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones
de las directrices de las parábolas:
a. y 2 – 6y – 8x + 17 = 0
b. x 2 – 2x – 6y – 5 = 0
c. y = x 2 – 6x + 11
4. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la
recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).
5. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los
puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).
Tarea
1. Usando la definición, hallar la ecuación de la parábola que tiene su foco
en F(2,0) y su directriz es la recta de ecuación x = -2.
2. Dada la parábola que tiene por ecuación x2 = -6y, encontrar las
coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva
y trazar la gráfica.
3. Dado el punto B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B pasa la
parábola
y
Determine el foco y la ecuación de la directriz
4. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz
la recta de ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2).
6. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y
dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:
3x2 – 3x – 24y – 1 = 0
7. Hallar la ecuación general de la parábola que tiene su foco en F(8, 4) y su
directriz es la recta de ecuación x = -4.
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