Planos y rectas en el espacio tridimensional.∗

∗
Planos y rectas en el espacio tridimensional.
1.
Planos en el espacio tridimensional.
−
→
Si N es un vector dado diferente del vector cero y P0 es un punto dado, entonces el conjunto de todos los
−−→
−
→
→
−
puntos para los cuales V (P0 P ) y N son ortogonales dene al plano que pasa por P0 y tiene a N como vector
normal.
−−→
Así, V (P0 P ) = (x − x0 , y − y0 , z − z0 )
Recordando que el producto punto entre dos vectores perpendiculares (ortogonales) es cero, tendremos:
−−→ −
→
V (P0 P ) · N = 0
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) · (a, b, c) = 0
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
Encontrando así la forma punto normal de la ecuación de un plano.
Teorema
Si a,b,c y d son constantes no todas iguales a cero, entonces la gráca de la ecuación
ax + by + cz + d = 0
−
→
es un plano cuya normal es el vector N = (a, b, c).
∗ Eduard Rivera Henao. 2014-03-03. Álgebra Lineal.
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1 Planos en el espacio tridimensional.
Ejemplo
Sean P0 (0, 0, 6), Q(0, 8, 0), R(9, 0, 0) tres puntos de un plano en ℜ3 . Encontrar una ecuación cartesiana de
dicho plano.
Sabemos que al hacer producto cruz entre dos vectores de ℜ3 hallaremos un tercer vector perpendicular a ellos,
y por tanto, al plano que los contiene.
−−→
→
−
Uno de los vectores será el que va desde el punto R hasta Q, así, V (RQ) = A = (−9, 8, 0), el otro vector irá
−−→
−
→
desde el punto R hasta el punto P0 , así V (RP0 ) = B = (−9, 0, 6). Haciendo producto cruz entre estos dos vectores
tendremos:
i
A × B = −9
−9
j
8
0
k 0 6 →
−
Así, el vector normal al plano será: N = 6(8, 9, 12).
→
−
Sea un punto P (x, y, z) que pertenece al plano, haremos producto punto entre el vector N y el vector que va
desde P hasta P0 .
−−→ −
→
V ( P P0 ) · N = 0
(x − 0, y − 0, z − 6) · 6(8, 9, 12) = 0
(x, y, z − 6) · 6(8, 9, 12) = 0
Dividiendo entre 6 en ambos lados de la igualdad tendremos:
8x + 9y + 12z − 72 = 0
−
→
Ecuación del plano, de la forma ax + by + cz + d = 0, donde el vector normal será N = (a, b, c).
Aclaración
Dos planos son paralelos si y sólo si sus vectores normales son paralelos; y son perpendiculares si y sólo si sus
vectores normales son perpendiculares.
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2 Rectas en el espacio tridimensional.
2.
Rectas en el espacio tridimensional.
Sea L una recta en el espacio tridimensional que pasa por el punto dado Po (x0 , y0 , z0 ) y que es paralela al vector
−
→
diferente de cero V = (a, b, c).
−−→
→
−
−−→
−
→
Observamos que el vector V (P0 P ) es paralelo al vector V . Así, V (P0 P ) = t V , donde t es un escalar. Esto es:
−−→
−
→
V (P0 P ) = t V
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = t(a, b, c)
Así, x − x0 = ta, y − y0 = tb, z − z0 = tc,
es decir,
x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc, t ∈ ℜ.
Estas se denominan Ecuaciones paramétricas de la recta L, y a medida que el parámetro t varía en el dominio
de los reales, el punto P (x, y, z) describe dicha recta.
Las ecuaciones
son las ecuaciones simétricas de la recta L.
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
a
b
c
Ejemplo
Hallar las ecuaciones paramétrica de la recta que pasa por los puntos P1 (2, 4, −1), y P2 (5, 0, 7). Encontrar el
punto de corte de dicha recta con el plano xy.
−
→
−
→
−−−→
→
−
Con los puntos dados hallaremos el vector V , esto es: V = V (P1 P2 ), así, V = (3, −4, 8). Sabemos además,
→
−
que el vector que va desde el punto P1 hasta un punto P = (x, y, z) debe ser paralelo al vector V , esto es:
−−→
−
→
V (P1 P ) = t V
(x − 2, y − 4, z + 1) = t(3, −4, 8)
Igualando componente a componente tendremos:
x = 2 + 3t, y = 4 − 4t, z = −1 + 8t, t ∈ ℜ.
Ahora, para encontrar el corte de la recta con el plano xy, tendremos encuenta que esto ocurre para valores de
z iguales a cero, así de las ecuaciones paramétricas de la recta L tendremos:
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2 Rectas en el espacio tridimensional.
z = −1 + 8t = 0
8t = 1
1
t= .
8
Así, para valores de t =
1
8
tendremos: x =
19
8 ,
7
y = 72 , y z = 0; Así tendremos el punto ( 19
8 , 2 , 0).
Propuestos
−
→
1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (3,-1,7) y es perependicular al vector N = (4, 2, −5).
2. Sean P (3, −1, 4), Q(3, 3, 2), R(1, 1, −1) tres puntos de un plano en ℜ3 . Encontrar una ecuación cartesiana
de dicho plano. Gracar.
3. Determinar la medida en radianes del ángulo agudo entre los planos: 5x−2y+5z −12 = 0, 2x+y−7z +11 = 0.
→
−
4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2,-3) y es paralela al vector V = (4, 5, −7).
5. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos:
x − 3y − 2z − 4 = 0, y 3x + 2y − 4z − 6 = 0.
6. Determinar las ecuaciones de la recta que contiene los puntos P (−5, −3, 4) y Q(−2, −3, 3).
7. Sean P (3, 2, −1) y Q(1, −2, 4) dos puntos de ℜ3 .
a ) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por estos puntos.
b ) Determinar los puntos en donde la recta corta los planos coordenados.
8. Hallar la ecuación cartesiana del plano que contiene el punto P (3, −1, 2) y es paralelo a los vectores:
−
→
−
→
U = (1, 1, −2), V = (−2, 3, 1).
9. Hallar la ecuación del plano que contiene los puntos P (2, 2, −1), Q(3, 2, 1) y R(0, 1, 0).