febrero 2006 (2ª semana) - Innova

UNED. ELCHE.
TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.)
e-mail: [email protected]
http://telefonica.net/web/imm
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES DE LA UNED.
MATEMÁTICAS III. Segundo Curso de ADE.
PRUEBA PERSONAL. Febrero 2006. Segunda semana
PRIMERA PARTE: Problemas
Solución.Es una ecuación de Bernoulli. Dividiendo los dos miembros por y2, queda:
xy–2y’ + y–1 – lnx=0; hacemos el cambio y–1 = z → –y–2y’ = z’ y sustituyendo se obtiene:
–xz’ + z – lnx = 0, que es una ecuación lineal. Hacemos z = u·v → z’ = u’v + uv’ de donde
sustituyendo y sacando factor común u: –xu’v – u(xv’ – v) – lnx = 0; haciendo xv’ – v = 0 →
1
 1

→ v = x, y sustituyendo: –x2u’ – lnx = 0 → u’ = − 2 ln x → u =  − 2 ln x dx = (por
x
 x

1
1
partes) = ln x + + C .
x
x
1
Así pues, z = lnx + 1 + Cx, de donde y =
ln x + 1 + Cx
∫
Solución.El recinto, representado en las coordenadas (x, y) y en las coordenadas (u, v)
En coordenadas (x, y)
En coordenadas (u, v)
es un recinto ilimitado, comprendido entre dos paralelas. La integral es infinito.
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Puede ser que haya un error en el enunciado y que donde pone y ≤ 3a, deba poner
x ≤ 3a. En ese caso los recintos respectivamente son:
En coordenadas (x, y)
En coordenadas (u, v)
Del cambio propuesto se deduce :
1 0
x=u 
= 1 ; además x2 + y2 = 2u2 + 2uv + v2, de donde la integral:
 y el jacobiano: J =
1 1
y = u + v
∫
3a
0
a
du
∫ (2u
2
2
)
+ 2uv + v dv =
a −u
∫
3a
0
a
 2
v3 
2
2
u
v
uv
+
+

 du =
3

 a −u
∫
3a
0
4 3
2
2 
 u + au + a u du =
3

3a
 u 4 au 3 a 2 u 2 
81 4
= 
+
+
 = a
3
2 0
2
3
SEGUNDA PARTE: Cuestiones teórico-prácticas
Solución.-
Por el criterio de d’Alembert, lim
n →∞
a n +1
an
n
 n!
(
n − 1) ! 
1
 n 


= lim 
: n −1  = lim 
 = < 1,
n
n →∞
n
→
∞
e
n
 n +1
 (n + 1)

luego la serie es convergente.
Solución.-
∫
(
2
A=−
− 9 x 2 7 − 3x 3
9
)
12
(
2 7 − 3x 3
dx = (inmediata) = − ·
13
9
)
13
+ C.
Solución.y = ln x corta al eje OX en x = 0, luego la integral es:
∫
e
∫
e
ln xdx = (por partes) = [x ln x ] 1 − dx = e – e + 1 = 1.
1
e
1
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Solución.La ecuación diferencial es lineal. Mediante el cambio y = u·v y procediendo como en el
problema 1, se obtiene que v = x. Sustituyendo queda:
120
120
120
u' x − x + 2 = 0 → u' = 1 − 2 → u = x +
+ C . Por tanto y = x2 + Cx + 120. Haciendo
x
x
x
x = 9, y = 3, se obtiene que C = –22. Luego el precio en función de la demanda:
y = x2 – 22x + 120
Solución.4
∫ 200xe
1
− x
2
dx
=
(por
=
partes)
2
4
1

− x
200  − 2xe 2  + 2
 
 2

4
∫e
2
1
− x
2

dx  =


4
1



− x

−2
−1
2
200 − 8e + 4e − 4 e   = 200 − 12e −2 + 8e −1 = (con los datos dados) = 268.


 2 

(
)
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