Bien, tenemos esta bella ecuación d dt ∂L ∂ ˙ θ1 − ∂L ∂θ1 = 0 (1

Bien, tenemos esta bella ecuación
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ θ̇1 ∂θ1
(1)
donde
2
1
1
2
2
L = ml2 θ˙1 + θ˙2 + mp K θ˙1 − θ˙2 + mgl(cos(θ1 ) + cos(θ2 ))
2
2
y mp es la masa de la bombilla. . .
Ahora, si desarrollamos la ecuación (1), como depende de θ1 ,θ2 , θ˙1 , θ˙2 ,
obtenemos dos ecuaciones
d
dt
d
dt
!
∂L
−
∂ θ˙1
!
∂L
−
∂ θ˙2
∂L
=0
∂θ1
∂L
=0
∂θ2
Luego, entonces, luego de hacer las derivaciones correspondientes, obtenemos dos ecuaciones de movimiento
(2)
(3)
ml2 θ¨1 + mp K θ¨1 − θ¨2 + mgl sin(θ1 ) = 0
ml2 θ¨2 − mp K θ¨1 − θ¨2 + mgl sin(θ2 ) = 0
(4)
Ahora, si linealizamos esto, haciendo θ1 , θ2 mucho menores que 1; y
sumamos (2) con (3), y luego restamos (2) con (3), obtenemos
ml2 θ¨1 + θ¨2 + mgl(θ1 + θ2 ) = 0
ml2 + 2mp K
θ¨1 − θ¨2 + mgl(θ1 − θ2 ) = 0
1
Pero estas ecuaciones son dos ecuaciones de oscilador armónico
simple;
q
en efecto, si consideramos η = θ1 + θ2 , ξ = θ1 − θ2 , ω1 = g/l, y ω2 =
q
mgl/(ml2 + 2mp K), tenemos
η̈ + ω12 η = 0
ξ¨ + ω22 ξ = 0
(5)
(6)
(7)
Luego, podemos encontrar fácilmente las soluciones para estas ecuaciones
diferenciales.
Para η
η(t) = A cos(ω1 t) + B sin(ω1 t)
y para ξ
ξ(t) = C cos(ω2 t) + D sin(ω2 t)
Entonces, como η = θ1 + θ2 , y ξ = θ1 − θ2 , podemos reemplazar estos
valores en las dos ecuaciones anteriores, y obtendremos un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas, θ1 y θ2 , que nos arroja como resultado

θ1 (t) =
1
A cos
2

1
θ2 (t) = A cos
2
r
r
g
t + B sin
l
r
g
t + B sin
l
r
g
t
l
g
t
l
v
u
u

+ C cos t
v
u
u

− C cos t
ml2
mgl
+ 2mp K
mgl
2
ml + 2mp K
v
u
u


t + D sin t

v
u
u


t − D sin t

que son las soluciones generales de nuestro problema; las soluciones particulares vendrán dadas por los valores de las constantes A, B, C, D, que, por
supuesto, son obtenibles, considerando que salen de un bello sistema 4 × 4,
que hay que resolver. . .
Con eso finalizamos el trabajo teórico
2

ml2
mgl
t
+ 2mp K

mgl
t
2
ml + 2mp K