2. 19 Criterios de divisibilidad.

OB ETIVO GENERAL 2
2. 19
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
LAS OPERAGONES
EN Z y Q
Criterios de divisibilidad.
Los múltiplos
por cualquier
de un número son los que se obtienen
otro número entero.
al multiplicar
24 es múltiplo
de 6 porque se puede obtener
30 es múltiplo
de 15 porque se puede obtener
Los divisores
número entre
ser exacta).
de un número son los números enteros obtenidos al dividir dicho
otro número entero, que también será un divisor (la división debe
8 es divisor
de 24, porque la división
Se dice que un número es divisible
pr i mero es múIti plo del segundo).
al multiplicar
dicho número
al multiplicar
24 :8 es exacta
entre
otro
Divisible
entre
2
3
5
10
11
Criterios
o porque 8.3
Si la última
24
del primero
(o el
de divisibilidad
cifra
es cero o par
Cuando la suma de los dígitos que lo
constituyen resulta ser 3 o múltiplo de 3
Cuando la última
=
de reglas que nos permiten
sin necesidad de realizar
la
de divisibilidad
Cuando la última
15 por el 2.
si éste es divisor
Se llaman criterios
de divisibilidad
al conjunto
conocer si un número es o no divisible
por otro,
operación de división.
Tabla que resume los criterios
6 por el 4
cifra
es cero o cinco
cifra
es cero
Si la diferencia
entre la suma de las
cifras
que ocupan la posición par y la
suma de las
que ocupan la posición
impar es O o múltiplo de 11
58
Ejemplos
38,32,486,2824,
500
12,15,18,21,27,
327,426,720,543,
137
80,35,175,1275,
1210
80, 200, 300, 2500
1375, 8052, 3564,
14641
'Q
BJETIVO
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
GENERAL 2
LAS OPERAaONES
EN Z y Q
Ejemplos
pliquemos
3.562 las reglqs
al número
anteriores
de divisibilidad
ero
•
Es divisible
por
2, por finalizar
No es divisible
•
icho
ebe
5.
por
No cumple
par.
el criterio
de divisibilidad
3
es
+
_a diferencia
ao r 11.
5
6
+
de esas sumas (9 - 9
6
+
=
+
9
= O),
Y 5
+
4
=
5.
por
4 = 18 que es múltiplo
número 3.564 cumple el criterio
de divisibilidad
por 3.
Por el criterio
del 11 sumamos las cifras
la y 3a y las cifras
La suma de sus dígitos
3
(o el
en cifra
3, luego el
de
2a y 4a
9
cumpliéndose
el criterio
de divisibilidad
áles son los números primos
iten
r la
os números
primos
son todos
iene como divisores
Son números
siguiendo
si e s divisible
mayores
que 1 que
y la unidad.
.
no e s primo.
Si
el
proceso
continuamos
de
hasta
los números
divisiones
no
Aquí concluimos
comenzando
los criterios
se encuentra
hemos
un cociente
primos,
usarse
Si en el proceso
obtener
probando.
entre
con 3, 5, 7, 11 (pueden
divisiones).
número
estamos
naturales
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,
en orden
ahorrar
en
números
si un número dado es primo
Se va probando
para
el mismo número
primos:
omo saber
aquellos
un
que el número
que el número
de divisibilidad
una división
encontrado
menor
por el 2 y
exacta
división
primo
exacta
con el que
dado es primo.
- emplo
liquemos
la regla
anterior
199 no es divisible
El siguiente
al número
2, 3 Y 5 por no cumplir
entre
número
199 para comprobar
primo
es 7, obteniéndose
No es divisible
entre
11, por no cumplir
No es divisible
entre
13 ni entre
1_7__
199
59 28
3
cociente
el criterio
de divisibilidad.
28 y resto
de divisibilidad
3.
del 11.
17 como puede verse en las divi s io ne s.
19911L
69
si es primo.
los criterios
15
199
17
29
11
12
4
59
el
ETIVO GENERAL 2
•
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
LAS OPERAGONES EN Z y Q
Al dividir
entre 17 se obtiene de cociente
11, que es menor
primo
entre
el que estamos
dividiendo.
Esto nos indica
continuarse.
La conclusión es que 199 es un número primo.
que el número
que no debe
Cuáles son los números compuestos
Los números
compuestos
son aquellos
8 es un número compuesto
porque sus divisores
12 es un número compuesto
6 es un número compuesto
que poseen más de dos divisores.
son: { 1, 2, 4, 8 }
porque sus divisores
porque sus divisores
Al número 1 no se le considera
son: { 1, 2, 3,4,
6, 12 }
son: { 1, 2, 3, 6}
ni número primo ni número compuesto
I
,
;,zIctivid"ad"es para reso{ver ~
1. Sustituye
las interrogaciones
según convenga:
por
a) 45 es ? por 9 b) 4 es ? de 36
2. Dados los números
cada uno.
3. ¿Cuántos múltiplos
4. Escribe
c) 33 es ? de 33
de 237 hay entre
de los divisores
los números
tres
números
de cuatro
7. Escribe
tres
números
de tres
9. Escribe
tres
números
números
de : a) 36
cifras
de treS
de tres
cifras
cifras
b) 35
que sean divisibles
11.Escribe
dos múltiplos
de 11 que Sean primos.
l2.Escribe
dos múltiplos
de 13 que sean primos.
l3.Escribe
dos múltiplos
de 17 que sean primos.
c) 45
positivos
de
a ambos ?
d) 72
de 12, sean divisores
que no terminen
treS múltiplos
14. Usando la
primos.(Investiga
incluyendo
que sean divisibles
10.Escribe
o divisible
5 múltiplos
que Sean divisibles
cifras
divisor
d) todo número es ? de 1
2370 y 23700,
Que siendo múltiplos
6. Escribe
8. Escribe tres
divisibles
por 5.
múltiplo,
24, 45, 31, 65, 25 Y 80. Escribe
el conjunto
5. Calcula todos
las palabras
de 180.
por 2.
por 3.
en cero
y que sean
a la vez por 3 y 5.
de 7 que sean primos.
criba
de Eratóstenes
escribe
dos múltiplos
en qué consiste la criba de Eratóstenes)
60
.
,
.,
de
11 que
Sean
-3JETIVO
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
GENERAL 2
LAS OPERACIONES
EN Z y Q
I
....20 Descomposición
e
_escomponer
de un número en factores
un número
e números
primos
Se divide
en factores
dicho
número.
el número
tantas
primos
consiste
Para ello debemos
primos.
en expresar
adoptar
veceS como sea posible
como producto
las siguientes
por el menor
reglas
número
primo
que lo divide.
A continuación
sucesivamente
El resultado
número
dado,
se divide
hasta
entre
obtener
de todos
el divisor
un cociente
los divisores
los cuales
serán
que le sigue y así
primo
igual a 1.
obtenidos
expresados
son los factores
en forma
primos
de productos
del
de potencia.
mplo
__ scompongamos
en factores
primos
cada uno de los números
siguientes:
, 1050, 588.
120
2
1050
2
588
2
60
2
525
3
294
2
30
2
175
5
147
3
15
3
35
5
49
7
5
5
7
7
7
7
11
111
O = 2.2.2.3.5
20
=
1050
23.3.5
una potencia.
: nente
2.3.5.5.7
=
1050
ese que finalmente,
'zar
=
es el número
588
de
588
primos
la potencia
li
2.2.3.7.7
2.3.52.7
si uno de los factores
La base
=
=
22.3.72
aparece
es el factor
repetido
1I
se suele
que se repite
y el
11
de veceS que lo hace.
,
~
.."JIctivüfad"es para reso{ver ~
-:omponer
en factores
primos
cada uno de los númeroS
_8
b) 320
e) 180
d) 990
_O
j) 2541
k) 2310
R) 6300.
:.501.492
e) 8820
m)
500
f) 1260
n)
600
dados:
g) 616
o)
225
h) 756
p)
1500
r) 214.414.200
61
JU
OBJETIVO
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
GENERAL 2
LAS OPERACIONES
EN Z y Q
Respuestas
a) 27
b ) 26.5
c ) 22.32.5
d) 2.32.5.11
e) 22.32.5.72
f)22.32.5.7
g) 23.7.11
h) 22.33.7
k) 2.3.5.7.11
e) 22.32.52.7
i) 22.3.5.17
n) 23.3.52
j) 3.7.112
o) 32.52
p) 22.3.53
q ) 22.3.11.72.13.113
2.21
m) 22.53
r) 23.32.52.11.72.13.17
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Se llama máximo común divisor
(M.C.D) de varios númeroS
número positivo que sea divisor común de dichos números.
enteros
Se llama mínimo común múltiplo
(m.c.m) de varios
positivo que sea múltiplo común de dichos números.
al menor
Pasos para determinar
•
Se descompone
•
Aquellos
factores
númeroS
el M. c. D Y el m. c. m entre
cada número en sus factores
primos
que se repiten
• . Para determinar
el M.C.D se efectúa
comunes con su menor exponente .
al mayor
número
dos o más números.
primos.
se colocan en forma
de
potencias
el producto
de los factores
primos
Para determinar
el m.c.m se efectúa el producto
comunes y no comuneS con Su menor exponente.
de los factores
primos
.
•
Ejemplo
Hallar
el M.C.D y el m.c.m de los númeroS 18, 36, Y 120
Descompongamos
18 2
36
los números
2
120
en sus factores
2
9 3
18 2
60
2
3 3
9 3
30
2
1
3 3
1
primos:
15 3
5 5
= 2.32
36 = 22.32
120 = 23.3.5
18
M.C.D (18,32,120)
M.C.D
m.c.m(18,32,20)
1
m.c.m
62
= 2.3.5
= 30
= 23.32.5
=
=
8.9.5
360
~_ = I IVO
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
GENERAL 2
LAS OPERACIONES
EN Z y Q
..Jlctividades para reso{vel ~
__s rrolla
en tu cuaderno
i por simple
2,9
inspección
Y 36
_,4,8,12
, 9 Y 12
etermina
24,48)
(30, 56 Y 60)
g) (540,
actividades:
cuál es el m.c.m y el M.C.D en cada caso
b ) 10, 5 Y 30
c)9,12y18
e) 15, 30 Y 60
f)
h) 5, 50 Y 100
i) 20, 30 Y 100.
8, 12 Y ; S
el M.C.D y el m.c.m en cada uno de los siguientes
a) (6,12,
d)
cada una de las siguientes
360, 180)
esuelve los siguientes
grupos
b) (25, 50,75,125)
c) (54, 340, 215)
e) (12, 72, 90,120)
f) (20,48,64,70)
h)
(860,840,360)
problemas
i)
(84,560
de númer-o s:
Y 330)
usando m.c.m y el M.C.D.
:e tienen tres cursos, constituidos
por 18, 24 Y 36 alumnos respectivamente.
- _=1 es el menor número de lápices que se necesitan para que al repartirlos
--e ellos cada uno reciba un número exacto de lápices?
:e tienen 150 gallinas,
120 pavos y 180 conejos y Se desea encerrar los en
_ s. ¿Cuál es la mayor cantidad de animales que deben encerrarse
en cada jaula
_ que en cada una haya un número exacto de animales?
.c s aviones
hacia Maiquetía,
desde una ciudad cuclquier-c , parten
cada
_ os, y hacia Maracaibo
cada 54 minutos. Si al mediodía pcr+ie r-on juntos,
ora volverán a hacer lo?
42
cc
- un cumpleaños Se desean entregar
a los niños 90 globos, 120 galletas y 180
~-<"'''''elos, de manera tal, que cada uno reciba un número exacto
de globos,
e as y caramelos. ¿Cuál eS la mayor cantidad de niños que pueden recibir
los
r sequio s?
Se desea dividir
-:. aditos iguales.
un rectángulo
de 48 mm de ancho y 60 mm de largo,
¿Cuál ha de Ser el menor número de cuadraditos
posibles?
en
':e desea colocar baldosas en una habitación
de 40 dm de largo por 35 dm de
:~o, de forma que Se emplee un número entero de baldosas cuadradas de la
r dimensión
posible.
verigua el valor de las posibles
sumas de dos números naturales
si su
- ucto es igual a 84. (Sugerencia:
haz la descomposición
en factores
primos y
_o haz todos las combinaciones
posibles de factores)
63
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
OBJETIVO
GENERAL 2
5. Hallar
dos números
tales
que su m.c.d
=
LAS OPERACIONES
=
36 Y su m.c.m
1.980
6. ¿Cuáles serían
números naturales,
los posibles resultados
que se pueden
si su producto es igual a 90?
7. ¿Cuáles serían
números naturales,
los posibles resultados
que se pueden
si su producto es igual a 90?
8. Hallar
dos números
9. Hallar
dos números
su m.c.m.
Calcular
tales
que su m.c.d
tales
m.c.m
=
=
1 Y su m.c.m
que su M.C.D es igual
10. ¿Qué par de númeroS tiene
11. Determinar
=
EN Z y Q
obtener
al sumar
obtener
al sumar
dos
tres
6
a 6 y su producto
es 150.
150 Y su suma es igual a ~5?
un número n que cumpla lo siguiente:
M.C.D(n, 40}
=
80
Respuestas
b ) m.c.m:30
1. a) m.c.m: 36 M.C.D: 3
d) m.c.m: 24
g) m.c.m:36
M.C.D: 2
M.C.D: 3
2. a) M.C.D: 6
m.e.m:
M.C.D: 5
c) m.c.m:36
e) m.cm:
60 M.C.D: 15
f) m.c.m:36
h)m.c.m:
100
i) m.c.m:300
M.C.D: 5
48
b) M.C.D
=
180
M.C.D: 3
M.C.D:4
=
m.c.m
M.C.D: 10
1.080
c ) M.C.D
=
1
m.c.m
=
394740
d) M.C.D
=
2 m.c.m
=
840
e) M.C.D
=
6
m.e.m
=
360
f) M.C.D
=
2 m.c.m
=
6.720
g) M.C.D
=
180
m.c.m
=
1080
h) M.C.D
=
20
i) M.C.D
=
2
=
18.840
3. a) 72
b) 30
4.85,44,31,19,25
5.1.980
m.c.m
c ) 18 h 18min
d) 30
Y 20
Y 396
64
e) 12
m.c.m
f) 56
=
108.360
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
OBJETIVO GENERAL 2
~
os
es
EJERCICIOS
En cada una de las proposiciones
~)2y6
o.
DE AUTOEVALUACIÓN
selecciona
· El número 191906 es múltiplo
la alternativa
del par de números
b)2y3
2. Dos números
tro es:
tienen
!J) 42
=
M.C.D
15 Y m.c.m
) Divisible
números
por 2
d)2yll
180. Si uno de los números
b) Divisible
consecutivos
por 3
es 60 el
d)60
expresiones
c) n + 5
naturales
-. La suma de las edades
- ficiente
saber que:
siguientes:
de 3, una de las siguientes
b) n + 3
· La suma de tres
correcta
e) 45
n es múltiplo
e) n .+ 2
=
EN Z y Q
~
c)3yll
b ) 75
3. Si un número
entre 3
LAS OPERAaONES
eS divisible
d) n
+
21
es siempre:
c) Un número par
de A y B es 60 años. Para saber
d) El M..C.D
la edad
de B, es
_) La edad de A es el doble de la de B
b ) La edad de A es par Y la de B impar
e) La edad de B es menor que la de A
d) La edad de B es mayor que la de A
· Si la edad de A es el doble
_ ad de A es:
:.)12
que la de B, y ambas suman 36 años, entonces
b)10
El término
que completa
:.) 4x4
c)ll
la igualdad
44
=
b ) 16x4
la
d) 24
? es:
e) 4+4+4 +4
d)16x16
Entre dos ciudades A y B hay una distancia
de 1260 KM. Si para ir de A a B el
: imer día se recorren
62 km, el segundo día se recorren
12 veceS más yel
ercer día se recorren
123 km, para llegar faltan:
:'J 197 km
b) 331 km
Una docena de frutas tienen
da una debe ser vendida a:
- 350 Bs
un valor de 3624
b) 450 Bs
. La suma de la tercera
-
c ) 1063 km
327
parte
d) 1457 km
Bs. Para ganar 48 Bs por unidad,
c) 743 Bs
d) 755 Bs
de 48 con el cubo de -7 es:
b ) -327
e) 359
d) 37
espuestas
1). d
2).c
3) b
4) b
5) a
6) d
7) d
8) b
9) a
10) b
65
OBJETIVO GENERAL 2
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
CURIOSIDADES
¿Sabes
de dónde
de igualdad?
se originó
¿Quién fue Pitágoras?
(=)
fue un filósofo
y
matemático
griego que vivió
en el siglo VI a.C, el cual,
después de muchos viajes, se
instaló por un tiempo en la
ciudad
griega
de Crotona,
donde logró
constituir
una
comunidad de filósofos
que
influyeron
en el gobierno de
la ciudad, hasta el momento
en que el pueblo se reveló e
incendió su sede.
La gran idea de hacer dos rayas
horizontales
paralelas para designar la
igualdad
es
obra
de
un
gran
matemático llamado Robert Recorde.
en 1557, un libro que
el
nombre
de
El
agudízador del íngenío
En él expl i ca
que eligió ese signo por que dos cosas
no pueden ser más iguales que dos
rectas paralelas.
11
If
Las ecuaciones
años.
datan
•
de hace
4000
Los babilonios
(hoy Irak),
los
cuales tienen 4.000 años de historia,
conocían la resolución de ecuaciones,
pues eran un pueblo muy culto
y
organizado para su época.
¿Sabes de dónde proviene
de la palabra álgebra?
el nombre
Como casi todas las palabras actuales
que inician con "al", el término álgebra
es de or igen árabe. Se le debe a un
matemático,
que vivió en el siglo IX,
llamado AI-Khwarizmi,
el cual escribió
una obra que sirvió a los matemáticos
occidentales durantes muchos años.
AI-Khwarizmi designaba la íncógnita de
sus ecuaciones con el nombre de sahy,
que significa
la cosa, palabra ésta
uSada por los algebristas
italianos. Es
ésta una de las razones por las cuales
las operaciones para conocer el valor
de la incógnita
fuera
conocido en
Europa como el arte de la cosa.
66
EN Z y Q
HISTÓRICAS)
el signo
El escribió,
bautizó
con
LAS OPERACIONES
-:
Pitágoras
formuló
el famoso
teorema
que hoy lleva
su
nombre, inventó una tabla de
multiplicar.
También se dedicó
a estudiar la relación entre la
música y las matemáticas.
Los pitagóricos
creen en la
armonía de las esferas:
que
los
cuerpos
celestes
Se
mueven regulados
por
una
armonía universal y que ese
movimiento produce música.
Dijo
Nikolay Ivanovich
Lobachevsky
matemático
r-uso del
snX1X
J,
No hay nínguna rama de la
ma t emát ica, por
abstracta
que
sea,
que
no pueda
aplicarse algún día a los
fenómenos del mundo real.-jJ
OBJETIVO
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
GENERAL 2
3
3.1
RESOLVER PROBLEMAS EN
EN Z y Q
Q
Operaciones en Q
En este
objetivo
acionales
tales
acionales,
para
dichas
trabajaremos
como
con operaciones
suma,
finalmente
resta,
resolver
en el
multiplicación,
ecuaciones
conjunto
de
númeroS
y potenciación
división
y problemas
en Q
los
de
que conduzcan
ecuaciones.
=n grados
anteriores
has
epasar para continuar
_'guientes
aspectos:
.-Da
LAS OPERACIONES
un
ejemplo
trabajado
adelante.
de
una
con
Para
operaciones
ello
debes
y nombra
fracción
en
Q,
responder
sus
las
cuales
en tu
elementos.
cuaderno
¿Cómo
fracción?
_.- ¿Qué condición
debe poseer
el denominador
.- ¿Qué es una fracción
impropia?
.- ¿Qué es una fracción
propia?
::;.- ¿Qué es una fracción
mixta?
Da tres
Da tres
Da tres
de una fracción?
ejemplos
ejemplos.
cómo conviertes
una fracción
mixta
T> Explica
cómo conviertes
una fracción
impropia
::: - ¿Cómo amplificas
en una fracción
en una fracción
una fracción?
.. - ¿C'6mo simplificas
.- ¿Cómo obtienes
.
ejemplos.
~ - Explica
una fracción?
varias
- ¿Qué son fracciones
: - ¿Cómo compruebas
fracciones
que sean equivalentes?
irreducibles?
si dos fracciones
son equivalentes?
67
debes
impropia.
mixta
lees
los
esa
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
OBJETIVO GENERAL 2
,
,
)2lcti'Vicfacfes
1. Convierte
para reso{'Ver
las siguientes
9
a)
LAS OPERAGONES EN Z y Q
fracciones
7
"5
b)
2. Convierte
en sus correspondientes
9
3'
c)
las siguientes
fracciones
4'"
mixtas
fracciones
17
d)
8
15
4'"
e)
"'5
en fracciones
mixtas:
f)
"3
impropias:
1
c)
3. Simplifica
las siguientes
"'16
60
f)
90
c)
las siguientes
g)
operaciones
b) + +C:J
a)f-f
-+2
3
3
8
5. Aplica
42
36
d)
225
72
24
4. Efectúa
f)
12
b)
18
e)
fracciones:
20
36
a)
17
360
"54
144
h)
360
y si es posible simplifica
c) 5++
d) 3~-f
5 5J 3
[4"-7""5
el
el resultado.
e) 1- 3+
-5
24
la propiedad
distributivo
b)
f[f- (T-+)]
f)(l2..-2-+2..) 724
6. Efectúa
al
(-Tr
las siguientes
3
operaciones:
),-2
b ) ( -4"
el
(-fr(-ff
68
2
5
2
~_= IIVO
GENERAL 2
RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO
LAS OPERACIONES
EN Z y Q
1
2+4+
3
f) __
..••
5"""'l1:-2+-
3+
2
--1
4
1
(1-~)+(f~)
(+-+({+ ~)
-1
i)
1
3
1 +- .
3
j) 2+ -----!1~ - 2+ ---~1!"'""
1+
1
2 -_
5-
2
- z cada una de las operaciones
que se indican y simplifica
f)
3
el resultado.
4
-
5
1
b) 2"3
11
17
c)
5'
b)
"3
1
4
e) 2-
3
e)
"2
2
d) 3
5
13
d) 3
69
. 3
e) 34
23
e)
3"
1
1
2-1
4"
2
3-2
3-1
-+---+2
uestas
) l-
2 +2
2
f) 23