Preguntas Eq. 3

Preguntas
¿Cómo son los valores propios de energía de una partícula en un tubo
considerando que el potencial es contante y su movimiento en un solo eje?
Partiendo de:
Y considerando en los extremos:
Entonces:
𝜕2 𝜓
𝜕𝑥 2
+
2𝑚𝐸
ℏ2
𝜓=0
La solución es de la forma:
Cumpliendo con las condiciones de frontera para x=0 tenemos que:
Y por otro lado para x=l:
Aquí C2 no es necesariamente 0 y es lo que queremos, por lo que:
Cada una de estas posibilidades da una solución
Entonces tenemos:
Ahora como
𝑘=
𝑛𝜋
ℓ𝑥
=
√2𝑚𝐸
ℏ
Entonces los valores propios de la energía serán:
¿Cuál es la solución general para este sistema?
Es necesario encontrar C2.
Para esto partiremos de:
Entonces resolvemos la integral:
1=
𝐶22
ℓ𝑥
∫
0
= 𝐶22 [
1 − cos 2𝑘𝑥
𝑑𝑥
2
ℓ𝑥 sin 2𝑛𝜋
−
]
2
4
= 𝐶22
Por lo que tenemos que:
Ahora bien para n soluciones tenemos:
ℓ𝑥
2
O bien:
∞
𝜓 (𝑥 ) = ∑ √
𝑛=1
2
𝑛𝜋𝑥
sin(
)
ℓ𝑥
ℓ𝑥
¿Cuándo es más probable encontrar una partícula?
El modulo al cuadrado de la función de onda nos da la probabilidad de encontrar la
partícula, esto gráficamente lo podemos ver como:
Donde los valores más altos de esta función al cuadrado, da los lugares en los que es
más probable que se encuentre la partícula.
Se ve que en el estado fundamental, la partícula es mucho más probable que se
encuentre en algún lugar en el medio de la tubería que cerca de los extremos.
Y como vemos en los siguientes dos estados de energía más bajos próximos
Las regiones donde es relativamente probable que la partícula se pueden encontrar,
alternan con aquellos en los que es menos probable que se encuentre y cuanto
mayor sea la energía, las más regiones grises existen (que son los lugares en donde
es más probable encontrar la partícula).
Por otra parte, los estados propios de energía son estados estacionarios por lo que
las probabilidades que se muestran en las figuras no cambian con el tiempo.
¿Cómo sería la solución considerando las 3 dimensiones?
No hay una diferencia fundamental entre las tres direcciones de coordenadas por lo
que resulta, que el problema tridimensional tiene funciones propias que son
simplemente productos de los unidimensionales:
Además, los valores propios de energía
del problema tridimensional son
la suma de los de los problemas unidimensionales:
¿En qué consiste el principio de Ehrenfest?
Nos explica cómo varía el valor medio de un observable dado ( ) (cualquier cosa
que se puede medir) con el tiempo, relacionándolo con el conmutador del
hamiltoniano del sistema con el operador hermítico asociado al observable:
Si el operador
a lo siguiente:
no depende del tiempo entonces el teorema de Ehrenfest se reduce
¿Cuál es la definición de < 𝒑 >?
Tenemos que el valor medio de una medición 𝑥 viene dado por:
< 𝑥 >= ∑ 𝑓𝑛 𝑥𝑛
𝑛
Donde 𝑓𝑛 la frecuencia relativa de ocurrencia, o la probabilidad de tener la medición
𝑥𝑛 .
Ahora para el caso continuo:
< 𝑥 >= ∫ 𝑥𝑃𝑑𝑥 (𝑥)
Para el caso del momento obtenemos:
< 𝑝 >= ∫ 𝑝𝑃𝑑𝑝 (𝑝)
Donde 𝑃𝑑𝑝 (𝑝) es la probabilidad de encontrar el momento de la particula en un
rango 𝑑𝑝 alrededor del momento 𝑝.
𝜕
De donde: < 𝑝 >= ∫ 𝑑𝑥 𝜓 ∗ (𝑥)(−𝑖ℎ̃ )𝜓(𝑥)
𝜕𝑥
¿Cómo se define la incertidumbre del momento y por qué se define de esa
forma?
Tenemos que la incertidumbre del momento (∆𝑝) se define de la siguiente forma:
∆𝑝2 =< 𝑝2 > −< 𝑝 >2
Se define de esa forma debido a la definición de la desviación estándar que dice:
𝜎 2 = ∑ 𝑓𝑛 (𝑥𝑛 −< 𝑥 >)2 = ∑ 𝑓𝑛 [𝑥𝑛2 − 2𝑥𝑛 < 𝑥 > +< 𝑥 >2
𝑛
𝑛
Entonces:
𝜎 2 = ∑ 𝑓𝑛 𝑥𝑛 2 − 2 < 𝑥 > ∑ 𝑓𝑛 𝑥𝑛 +< 𝑥 >2 ∑ 𝑓𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝜎 2 =< 𝑥 2 > −2 < 𝑥 >2 +< 𝑥 >2 =< 𝑥 2 > − < 𝑥 >2 =< 𝑥 2 > − < 𝑥 >2
Donde análogamente se hace lo mismo para la incertidumbre del momento. Usamos
esta definición ya que ésta, nos da la desviación de los datos respecto a nuestra
media de nuestra distribución, lo cual para este caso, sería la incertidumbre.
¿Cuál es la razón por la cual el electrón que órbita el núcleo del átomo de
hidrogeno no cae al núcleo?
Supongamos a la función de onda para el átomo en una esfera de radio R
Ahora consideremos el valor de expectación de la energía del átomo
<H> = <Energía cinetica (K)> + <Energia potencial (V)> = <P2/2m> + <-e2/r>
=> <V> ~ -e2/R
Además, 𝛥x ≈ 𝛥y ≈ 𝛥z ~ R
Usando el principio de incertidumbre de Heisenberg
𝛥P𝛥X ≳ ℏ/2
=> 𝛥Px ≈ 𝛥Py ≈ 𝛥Pz ~ ℏ/2R
Luego,
<K> = (1/2m)<Px2 + Py2 + Pz2> = (1/2m)<𝛥Px2 + 𝛥Py2 + 𝛥Pz2> ~ 3ℏ2/8mR2
=> <H> = 3ℏ2/8mR2 -e2/R
si deseamos saber cuál es el mínimo de energía d<H>/dR = 0 <=> R = 3ℏ2/4me2
el valor de R es parecido al radio de Bohr r1= ℏ2/me2
De aquí concluimos que si la energía del átomo se minimiza, se encuentra para un
valor de radio dado R = 3ℏ2/8mR2, si suponemos una distancia pequeña 𝛥X esto
implica por el principio de incertidumbre un valor grande de 𝛥P (<P2/2m> ~
<ℏ2/2m𝛥X2>)
Por tanto, si 𝛥X es pequeño => 𝛥P crece, lo cual mantiene estable al átomo.
¿Qué sucedería si la función de onda del átomo de Hidrogeno con la mínima
energía no se encontrara en una extensión finita del orden del radio de Bohr?
Eso implicaría una violación directa al principio de incertidumbre, pues nos
indicaría que si la distancia a la que el potencial influye fuera mayor, entonces la
energía cinética podría ser muy pequeña y por consiguiente determinaríamos alguno
de estos parámetros con una “infinita precisión”
O en cambio, si suponemos que el principio de incertidumbre no estuviera presente,
la energía cinética no estaría directamente relacionada con la energía potencial, de
modo que ambas energías podrían crecer de forma independiente y por tanto el
átomo no seria estable.