EXAMEN DE MATEMÁTICAS. 1º A. 26 de octubre de 2000.

EXAMEN DE MATEMÁTICAS. 1º A.
26 de octubre de 2000.
1º. El nuevo sistema de matriculación de vehículos en España consta de cuatro cifras y tres letras. En las letras no
se utilizan las vocales ni la Ñ ni la Q (ni por supuesto la CH ni la LL), es decir, un total de 20 letras distintas. Razona
las respuestas a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos vehículos pueden matricularse con este sistema? (1 punto)
b) ¿Cuántos vehículos serían en el caso de que las letras no se pudieran repetir? (1 punto)
c) Por último, imagina que el sistema es el mismo de antes (4 cifras y tres letras que pueden repetirse) pero con la
diferencia de que cifras y letras pueden ir mezcladas, por ejemplo 58JP3K5. ¿Cuántos vehículos se podrían
matricular con este sistema? (1 punto)
2º. Contesta de forma razonada a las siguientes cuestiones:
a) Resuelve la siguiente ecuación:
 9   9 

  

 x  1  x  2 
(1 punto)
b) Calcula el sexto término del desarrollo de la siguiente potencia:
a
2
 2ab3

20
(1 punto)
3º. Realiza las siguientes operaciones mostrando todos los pasos intermedios que emplees:
a) Simplificar al máximo la siguiente expresión, racionalizando el resultado: (1 punto)
a
b

1
a

1
b

b
a
b) Efectúa las siguientes operaciones, de forma que no quede ningún radical en el denominador y simplificando
todos lo posible: (1 punto)
1
a
ab2
1
1
 3b

4
4a a
ab2
c) Simplifica todo lo posible la siguiente expresión: (1 punto)
m
3
m2
6
m5
4º. Un reloj da una campanada en los cuartos, dos campanadas en las medias, tres campanadas en los tres cuartos
y cuatro campanadas a las horas en punto. Además, en las horas en punto da también tantas campanadas como
indique el número de la hora que es. ¿Cuántas campanadas da este reloj a lo largo del día? Razona la respuesta.
(1 punto)
5º. Una espía le cuenta un secreto a tres personas a las 8 de la mañana, con la condición de que no deben
contárselo absolutamente a nadie. A las 8’30, cada una de estas personas se lo ha contado a otras tres bajo la
misma condición. A las 9 de la mañana cada una de estas nueve personas se lo cuenta a otras tres. Si esta situación
se sigue manteniendo cada media hora y se supone que no hay cruces (es decir, no hay dos personas que le
cuenten el secreto a la misma persona), ¿cuánta gente estará enterada del secreto a las 8 de la tarde? Escribe el
resultado de forma exacta y en notación científica con 3 cifras decimales. ¿De qué orden de magnitud estamos
hablando? ¿Sería esto posible? ¿Por qué? Razona la respuesta. (1 punto)
SOLUCIONES
1a) Una matrícula, por ejemplo, 1225 BBF, es una agrupación de cuatro cifras elegidas de entre un total de 10 posibles, siendo distintas dos
matrículas que tengan cifras diferentes, o que tengan las mismas cifras en distinto orden. Como además las cifras pueden repetirse, se trata de
variaciones con repetición: VR104 = 104 = 10.000. Con las letras sucede lo mismo, por lo que con las letras las agrupaciones pueden ser VR 203 =
203 = 8.000. Relacionando letras con números resulta que el total de coches que pueden matricularse por este sistema son 8.000 x 10.000, es
decir, un total de 80.000.000 de vehículos.
1b) Si las letras no pudieran repetirse las agrupaciones de letras serían V 203 = 20 x 19 x 18 = 6840, lo que nos daría un total de 68.400.000
vehículos.
1c) Volviendo al caso inicial pero pudiendo entremezclar cifras y letras habría que multiplicar los 80.000.000 de vehículos obtenidos en el apartado
a) por todas las maneras posibles de mezclar 4 cifras con 3 letras. Si representamos las posiciones ocupadas por las cifras por una C y las
posiciones ocupadas por las letras por una L, se trata de saber de cuántas maneras diferentes pueden escribirse expresiones como éstas:
CCLCLLC, CCCLLLC, LCLLCCC, etc. Es decir cuántas agrupaciones distintas pueden formarse con 7 elementos donde uno se repite 4 veces y
otro se repite 3 veces. Se trata por lo tanto de permutaciones con repetición: PR 74,3 =
7!
7  6  5  4  3  2 1

 35 . Lo que nos daría un
4! 3! 4  3  2  1  3  2  1
total de 35 x 80.000.000 = 2.800.000.000 vehículos.
2a) Si dos números combinatorios son iguales y tienen igual su parte superior,
 m  m
     , las únicas posibilidades para que la anterior
 n   p
igualdad sea cierta son: 1ª: que n y p sean iguales, 2ª: que n+p sea igual a m (propiedades de los números combinatorios). En nuestro caso la
primera posibilidad nos lleva a la ecuación x - 1 = x - 2, o sea, -1 = -2. Como esto es un absurdo, esta posibilidad no es cierta en este caso. La
segunda posibilidad nos lleva a la ecuación x – 1 + x – 2 = 9, o sea: 2x – 3 = 9, 2x = 12, x = 6.
2b) Usando la fórmula del Binomio de Newton, el sexto término del desarrollo será (recuerda que empieza a contarse en 0):
 20 2
  a
5
   2ab    20 519 4183 217116 a
a
3a)

b
3b)
3c)
1
a

1
b
20  5
b

a
ab2
1
1
 3b

4
4a
a
1
a
m
3
m2
6
m5 
3
3

ab2 
5
a a b a b b
ab
b
3b 1
b
a 


2a
2
a
a
m3  m 2 6 m5  6 m5 6 m5  6
a 
6
30

 25  a 5  b15   496128 a 35 b15
a  b a  b
ab
b
3b
a 
2a
2a
a 
b
a

a  b 
a
a b
ab

ab
b  3b  2b
b
a 
a
2a
a
m30  m5  36 m35
4) En cada hora, el reloj da 1 + 2 + 3 + 4 = 10 campanadas relacionadas con los cuartos. Además da tantas campanadas como indique la hora.
Por tanto, la primera hora da 11 campanadas, la segunda da 12, la tercera 13 y así sucesivamente. Se trata por lo tanto de una progresión
aritmética cuyo primer término vale 11 y cuya diferencia es 1. Tenemos que hallar la suma de los doce primeros términos (correspondiente a las
primeras 12 horas del día) y multiplicar el resultado por 2 (mañana y tarde). Calculamos primero el 12º término de la progresión:
a12 = a1 + 11 d = 11 + 11 = 22. La suma será: S12 =
a1  a12
11  22
12 
12  33 6 198. Con lo que el resultado total serán 198 x 2,
2
2
es decir, 396 campanadas al día.
5) Antes de las 8 de la mañana sólo una persona conoce el secreto. A partir de esa hora, 3 nuevas personas lo conocen. Media hora después 9
nuevas personas lo conocen. Tras otra media hora, otras 27 personas lo conocen, y así sucesivamente. Tenemos, pues, una sucesión de
números: 1, 3, 9, 27, … en la que cada término es el triple del anterior. Es decir, se trata de una progresión geométrica cuyo primer término es 1
y en la que la razón vale 3. Desde las 8 de la mañana hasta las 8 de la tarde han pasado 12 horas, o sea, 24 medias horas. Como empezamos a
contar a las 8 y también terminamos a las 8 resulta que la progresión tiene 25 términos y lo que se trata es de calcular cuántas personas conocen
el secreto a esa hora, es decir, tenemos que calcular la suma de los 25 términos de la progresión:
S 25 
a1  r 25  a1 1 325  1 8472886094
43 1


 423.644.30
4.721 4,2361011
r 1
2
2
Estamos hablando de un orden de magnitud de cientos de miles de millones de personas, lo cual no sería posible porque la población total del
planeta es de aproximadamente 6.000.000.000 de personas.