RESUMEN CAMPO GRAVITATORIO

RESUMEN CAMPO GRAVITATORIO
Leyes de Kepler
1.a Los planetas describen órbitas elípticas, estando el Sol en uno de los focos (ley de las
órbitas). Se termina así con las órbitas circulares, la más antigua premisa que hasta ese momento
unía al sistema copernicano con el modelo griego.
2.a El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos
iguales (ley de las áreas).
3.a Los cuadrados de los períodos de revolución son proporcionales a los cubos de las distancias
promedio de los planetas al Sol (ley de los períodos).
La ley de gravitación universal de Newton dice que dos masas puntuales M y m, separadas a
una distancia r, se atraen con una fuerza gravitatoria directamente proporcional a las masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:
F = G M s m p /r 2
F = G M s m p /r 2 u r
Esta ecuación también es válida para masas esféricas. En este caso, la distancia r es la distancia
entre los centros de las esferas. G es una constante que se denomina constante de gravitación
universal, y es igual a
G = 6'67 . 10-11 Nm2/kg2
La intensidad del campo gravitatorio Q que crea una masa M en un punto es la fuerza
gravitatoria que experimenta la unidad de masa en dicho punto.
F
m
g= =-G 2 u r
m'
r
La fuerza gravitatoria que experimenta una masa m inmersa en un campo gravitatorio es:
F = m' g
El campo gravitatorio que crea una masa M puntual a una distancia r de su centro es directamente
proporcional a la masa M e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r:
F
m
g= =-G 2 u r
m'
r
La ecuación también es válida si la masa es esférica (un planeta, por ejemplo), siempre que r sea
mayor que su radio.
Como cualquier campo de fuerzas, el campo gravitatorio se representa mediante líneas de fuerza.
El principio de superposición nos dice que, cuando en una zona del espacio hay varias masas,
cada una produce la intensidad de campo que produciría si estuviera sola. La intensidad de campo
resultante es igual a la suma de las intensidades de campo individuales:


m
g T = g1 +g 2 +g3 + ... = Σgi= Σ  -G 2i u ri 
ri


El campo gravitatorio terrestre cerca de su superficie vale g = 9,81 N/kg y coincide con la aceleración de la gravedad g.
La fuerza gravitatoria es conservativa. Por eso el trabajo Wf que realiza, cuando una masa m se
mueve desde un punto A a otro B, puede calcularse como la diferencia de una función de la posición
llamada energía potencial (Ep):
WFcons =-ΔEp = -(Epf – Epi) = Epi -Epf
WAB =G
 Mm   Mm 
Mm Mm
-G
=E pA -E pB  -G
  -G

rB
rA
rA  
rB 

EpA
EpB
El valor de la energía potencial gravitatoria de un sistema depende de la situación,
arbitraria, a la que asignemos el valor E p = 0.
E pA =-G
Mm
cuando E p  0
rA
La energía potencial gravitatoria del sistema formado por la Tierra y una masa m a una altura
pequeña, h, sobre su superficie es
Ep = m.goh si Ep = 0 en la superficie de la Tierra (pequeñas alturas)
La energía potencial de un sistema de masas m1,m2, m3... es igual a la suma de las energías potenciales de todas las parejas posibles:
mm
mm
mm
E p =-G 1 2 -G 1 3 -G 2 3
r12
r13
r23
Movimiento de cuerpo bajo la acción de fuerzas centrales gravitatorias: órbitas
Puesto que la partícula se mueve en el seno de un campo de fuerzas conservativo, su energía
mecánica debe ser constante, es decir, habrá de verificarse la ecuación:
M m 1
M m
1
mv02 - G T = mv2 - G T
2
RT
2
r
Se denomina velocidad de escape a la mínima velocidad inicial con que hay que lanzar un objeto
hacia arriba, desde la superficie de un planeta, para que el objeto no vuelva a caer. Es igual a
M m
vescape = G T = 1,12.104 m/s
RT
Velocidad de revolución de un satélite alrededor de un planeta
M
v= G
r
El período de revolución de un satélite que gira en torno a un planeta de masa M en una órbita circular de radio r es igual a
r3
T=2π
GM
Los valores de energía cinética, potencial y mecánica de un satélite de masa m que gira en torno de un
planeta de masa M en una órbita circular cerrada de radio r son:
2
1
1 
M
1 Mm
E c = mv 2 = m  G   E c = G
2
2 
r 
2
r
1 Mm
Mm
E m =E c +E p = G
-G
2
r
r
1 Mm
E m =- G
2
r
Como puede verse, se cumplen las relaciones siguientes:
1
E m = E p ; Em=-Ec;
Ec=-1/2 Ep
2
Mm
E p =-G
r
ΔEM = EM2 - EM1
Wcampo1-2=- ΔEp; W1-2<0
Ep=-GMm/RT
Ec=12mvo2
F
Wnave1-2= ΔEp; W1-2>0
Δr
Fex
vo
Ep=-GMm/r1
Ec=12mv12
∞
RT
r1
Ep= 0
Ec= 0??
Ep=-GMm/r2
Ec=12mv22
r2
Se cumple en los lanzamientos desde la superficie de la Tierra
M m 1
M m
1
mv02 - G T = mv2 - G T
2
RT
2
r
El segundo término, depende de en que orbita se encuentre: órbita 1:
M m
1 2
mv 1 - G T
2
r1
M m
1 2
1 M m
1 M m
la Ep= - G T
la EM =Ec +Ep=  G T
mv1 = G T
2
2
r1
2
r1
r1
M m
1
1 M m
1 M m
La Ec en la órbita 2: mv22 = G T
la Ep= - G T
la EM =Ec +Ep=  G T
2
2
r2
2
r2
r2
La Ec en el Infinito: la que lleve (cero si se detiene en el ∞ Ep en el infinito cero
La Ec en la órbita 1:
Ec1 > Ec2 > Ec3 > ……
Ep1 < Ep2 < Ep3 < ……<∞
EM1 < EM2 < EM3 < ……<∞
Si quiero pasar de una orbita 1 a 2 he de aportar ΔEM = EM2 - EM1
Para pasar de la órbita 1 a la 2 el trabajo realizado por las fuerzas del campo W1-2=- ΔEp; W1-2<0
Para pasar de la órbita 1 a la 2 el trabajo realizado por las fuerzas externas de la nave: W1-2= ΔEp
W1-2>0