LOS PROBLEMAS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

Gobierno del Estado de México
Secretaría de Educación Cultura y Bienestar Social
Subsecretaría de Educación Media Superior y Superior
Dirección General de Educación Media Superior
Escuelas Preparatorias Oficiales
del Estado de México
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Material reproducido para fines académicos, prohibida su
reproducción sin la autorización de los titulares de los
derechos.
Art. 148 de la Ley Federal de Derechos de Autor.
Directorio
Lic. Arturo Montiel Rojas
Gobernador Constitucional del Estado de
México
Ing. Alberto Curi Naime
Secretario de Educación, Cultura y
Bienestar Social
Ing. Agustín Gasca Pliego
Subsecretario de Educación Media Superior
y Superior
Profra. Martha Martínez Díaz
Directora General de Educación Media
Superior
Mtro. Marco Antonio Trujillo Martínez
Subdirector de Bachillerato General
5
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
PRESENTACIÓN
¡Joven estudiante!
La Subdirección de Bachillerato General tiene a bien dirigirse a tÍ, para
hacerte saber que una de sus mayores preocupaciones estriba en ofrecerte con
calidad el servicio educativo que recibes en las Escuelas Preparatorias
Oficiales, con fundamento en las políticas emanadas del Gobierno del Estado
de México.
Por ello, el documento que tienes en tus manos representa el cumplimiento
a uno de los grandes compromisos establecidos a través del Plan Maestro al
inicio del período de mi gestión y que a la letra dice: “Renovar los enfoques
pedagógicos en el diseño de los métodos de enseñanza y los contenidos propios
del nivel”.
Así, la “Antología” o “Cuaderno de Trabajo” que tienes en tus manos es
producto de la colaboración de los catedráticos del nivel y de asesores expertos
que, sumando esfuerzos, hoy consolidan para tÍ este trabajo.
¡La tarea no fue fácil!, sobre todo si se toma en cuenta el dinamismo de la
ciencia y la tecnología y el pronto desfase de los conocimientos; pero el propósito
no es sustituir la bibliografía especializada, las fuentes de consulta de primera
mano, ni las contribuciones que los mismos profesores, compañeros tuyos o
especialistas día a día incorporan en las sesiones de clase, en los eventos
académicos y en la vida misma.
Esta aportación es un apoyo sistemático de información de acuerdo a los
temas del programa de estudio de la materia de Geometría Analítica; por lo cual,
puedes considerarlo un pilar en el desempeño diario de tu formación.
Esperando que aproveches el contenido al máximo, te deseo éxito en tu
vida de estudiante.
Cordialmente
Mtro. Marco Antonio Trujillo Martínez
6
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Integración de materiales y
elaboración.
Zona Escolar No. 12 de
Bachillerato General
Compiladores
Profr. Martín López Márquez
(Coordinador General)
Colaboradores
Profra. Ma. Del Socorro Margarita Olivares
Vargas
Profra. Leticia García Rodríguez
Profra. Eva Morales Hurtado
La Antología de Geometría Analítica
se edita por la Subdirección de
Bachillerato General perteneciente a
la Dirección General de Educación
Media Superior de la SECyBS, en el
mes de junio de 2003 en las oficinas
centrales de la misma dependencia.
El desarrollo de esta actividad estuvo a
cargo del Mtro. Marco Antonio Trujillo
Martínez.
La edición consta de 250 discos compactos.
7
Geometría Analítica
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
INDICE
Página
UNIDAD I CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Conceptos básicos……………………………………………………………….
El plano cartesiano……………………………………………………………….
Los problemas de la Geometría Analítica……………………………………..
Condición necesaria y suficiente……………………………………………….
Distancia entre dos puntos……………………………………………………...
División de un segmento en una razón dada………………………………….
Pendiente………………………………………………………………………….
Ángulo entre rectas………………………………………………………………
Paralelismo y perpendicularidad………………………………………………..
Problemas de aplicación………………………………………………………...
La pendiente de la tangente como característica de una curva…………….
UNIDAD II
LA RECTA
La recta……………………………………………………………………………
Ecuación punto pendiente………………………………………………………
Ecuación de la recta en forma simétrica………………………………………
Forma General de la ecuación de la recta…………………………………….
Forma normal de la ecuación de la recta……………………………………...
Familia de rectas…………………………………………………………………
Solución de problemas de aplicación…………………………………………..
UNIDAD III
4
9
12
13
15
22
26
28
31
31
31
33
33
42
44
48
55
55
LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia y el círculo……………………………………………………
Ecuación ordinaria de la circunferencia……………………………………….
Ecuación general de la circunferencia…………………………………………
Ecuación de la circunferencia dados tres puntos……………………………..
Familias de circunferencias……………………………………………………..
Tangentes y secantes en la circunferencia……………………………………
Problemas de aplicación………………………………………………………...
UNIDAD IV
60
68
71
71
71
71
73
LA PARÁBOLA
Definición de la parábola………………………………………………………...
Elementos…………………………………………………………………………
Ecuación de la parábola…………………………………………………………
8
77
78
79
91
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ecuación general de la parábola……………………………………………….
Ecuación de la parábola dados tres puntos…………………………………...
Tangentes y secantes de la parábola………………………………………….
Familias de parábolas……………………………………………………………
Problemas de aplicación………………………………………………………...
UNIDAD V
97
97
97
104
LA ELIPSE
Definición de la elipse……………………………………………………………
Elementos de la elipse…………………………………………………………..
Ecuación ordinaria de la elipse…………………………………………………
Ecuación general de la elipse…………………………………………………..
Ecuación de la elipse dados tres puntos………………………………………
Tangentes y secantes a la elipse………………………………………………
Problemas de aplicación………………………………………………………..
UNIDAD VI
Geometría Analítica
110
110
115
118
118
121
122
LA HIPÉRBOLA
Definición de hipérbola…………………………………………………………..
Elementos…………………………………………………………………………
Ecuación de la hipérbola………………………………………………………...
Forma general de la hipérbola………………………………………………….
Ecuación de la hipérbola dados tres puntos…………………………………..
Tangente y secante a la hipérbola……………………………………………..
Familias de hipérbolas…………………………………………………………..
Solución de problemas de aplicación………………………………………….
Bibliografía
9
124
124
127
135
135
139
139
140
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
INTRODUCCIÓN
El estudio de la geometría esta presente a lo largo de nuestra vida,
en las formas y figuras que la naturaleza nos otorga, basta con mirar alrededor
para observar la gran diversidad de ellas. En la construcción existen diversas
formas de obras arquitectónicas de épocas antiguas y modernas, las cuales
guardan un equilibrio geométrico perfecto. Como las imponentes pirámides de
Egipto, Teotihuacan, la Muralla China, la Torre Eiffel, que son iconos
representativos de cada país.
Los primeros conocimientos geométricos que el hombre utilizo eran
un conjunto de reglas practicas, la cual proporciono los elementos básicos para la
comprensión de otras disciplinas, de ahí que su significado se derive de dos
vocablos griegos: GEOS (tierra) y METRON (medida), es decir, “medida de la
tierra” , por lo que su aplicación inicial fue en la agricultura, la astronomía y la
navegación, por los babilonios, egipcios, romanos, y chinos.
A lo largo de la historia la Geometría ha sido desarrollada y
enriquecida por diversos personajes de diferentes culturas como:
Los Babilonios: inventores de la rueda, cultivaron la astronomía y
conociendo que el año tiene aproximadamente 360 días dividen la circunferencia
en 360 partes iguales obteniendo el grado sexagesimal.
Los Egipcios: la base de su civilización fue la agricultura, en donde
los reyes de Egipto dividían las tierras en parcelas, mismas que eran medidas,
cuando el Nilo en sus crecidas periódicas se llevaba parte de las tierras, en donde
los agrimensores tenían que rehacer las divisiones y calcular cuanto debían
pagar al dueño de la parcela por concepto de impuesto, ya que este era
proporcional a la superficie cultivada. Como también en la construcción de la
Gran Pirámide se muestra precisión en sus dimensiones y en su perfecta
orientación, aplicando la geometría y la astronomía.
Los Griegos: con los matemáticos griegos la geometría inicia como
ciencia deductiva, dando sus aportaciones:
10
SBG
Geometría Analítica
Tales de Mileto.- Siglo VII a. C., uno de los siete sabios y fundador
de la escuela Jonica, sus estudios lo encauzaron a resolver ciertas cuestiones
como:
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México




la determinación de distancias inaccesibles
la igualdad de los ángulos de la base en triángulo isósceles
el valor del ángulo inscrito
la demostración de los teoremas que llevan su nombre, relativos a la
proporcionalidad de segmentos determinado en 2 rectas cortadas por
un sistema de paralelas.
Euclides: Siglo IV a. C., en su obra “Elementos” que contiene 13
capítulos llamados libros, aporta la base de los conocimientos matemáticos, en
donde construye la Geometría partiendo de definiciones, postulados y axiomas,
con los cuales demuestra teoremas.
Libro I: Relación de igualdad de triángulos
Teorema sobre rectas paralelas
Suma de los ángulos de un polígono
Igualdad de las áreas de triángulos o paralelogramos de igual
base y altura.
Teorema de Pitágoras
Libro II: Conjunto de relaciones de igualdad entre áreas de triángulos
rectángulos que conducen a la relación geométrica de ecuaciones de segundo
grado.
Libro III: Circunferencia y Angulo inscrito
Libro IV: Construcción de polígonos regulares inscritos o circunscritos
a una circunferencia
Libro V: Teorema general de la medida de magnitudes bajo forma
geométrica, hasta los números irracionales.
Libro VI: Proporciones y Triángulos semejantes
Libro VII, VIII, IX : Aritmética, proporciones, máximo común divisor y
números primos
11
SBG
Geometría Analítica
Libro X : Números inconmensurables bajo la forma geométrica a
partir de los radicales cuadráticos.
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Libro XI, XII : Geometría del espacio, relación entre volúmenes de
prismas y pirámides, cilindro y cono, proporcionalidad del volumen de una esfera
al cubo del diámetro
Libro XIII: Construcción de cinco poliedros regulares
Platón: Siglo IV a. C. divide a la geometría en elemental y superior,
en donde la primera comprendía todos los problemas que se podían resolver con
regla y compás, y la segunda estudiaba tres problemas no resolubles con regla y
compás, tal es el caso de:
La cuadratura del círculo
La trisección del ángulo
La duplicación del cubo
Pitágoras de Samos: siglo VI a. C., fundo en Crotona, Italia la
escuela pitagórica, y quien desarrollo la demostración del teorema de Pitágoras y
el descubrimiento de los números irracionales. La insignia de los pitagóricos era el
pentáculo también llamado triple triangulo se consideraba un símbolo universal de
salud, belleza y amor.
Arquímedes de Siracusa: 287 – 212 a. C., calculo el valor
aproximado de π, el área de la elipse, el volumen del cono, de la esfera, estudio la
espiral de Arquímedes que sirve para la trisección del ángulo.
René Descartes: filosofo francés, (1596 –1650), introduce el
concepto de geometría analítica.
El campo de estudio de la geometría se clasifica en:
Geometría Euclidiana: estudia las figuras que se pueden trazar en
un plano.
Geometría Analítica: estudia las figuras con recursos algebraicos,
utilizando la posición de los cuerpos en un espacio llamado plano cartesiano.
12
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Geometría Diferencial: estudia los espacios con ayuda del calculo
infinitesimal.
Geometría no Euclidiana: estudia figuras que se pueden trazar en
un plano sin considerar válidos los postulados de Euclides, geometría hiperbólica y
elíptica.
13
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Unidad I
14
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
CONCEPTOS BÁSICOS.
Para el estudio de la geometría es necesario tener presente los
siguientes conceptos:
Punto: es la marca más pequeña que podemos dibujar o la huella
que deja un lápiz en el papel, el cual tiene posición, pero no tiene longitud ni
anchura. Se denota con letras del abecedario mayúsculas.
Ejemplo:
Punto
A

B
Línea: es una sucesión infinita de puntos, la cual tiene longitud,
extensión, dimensión pero no tiene anchura. Se denota con letras del abecedario
minúsculas. Las líneas pueden ser, rectas, curvas, quebradas o mixtas.
Ejemplo:
Línea recta: es una sucesión de puntos en un plano, la cual se
prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos y en la misma dirección.
Ejemplo:
A
B
Semirrectas: es la porción de una recta limitada por un punto fijo
llamado origen, se denota con una letra mayúscula para el punto de origen y otra
letra mayúscula para cualquier punto localizado sobre la semirrecta.
Ejemplo:
15
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
D
E
Segmento: es la porción de una recta limitada por dos puntos fijos
llamados origen y extremo, se denota AB
Ejemplo:
A
B
Plano cartesiano
Recta Numérica
Consideramos sobre un segmento dirigido hacia dos polos opuestos
(derecha e izquierda), señalando un punto situado arbitrariamente denotado con el
“0” al que se llama origen; los puntos a la derecha del origen están asociados a
números positivos ( 1,2,3,...... ) y los situados a la izquierda a números negativos
( -1, -2, -3, ......).
16
SBG
Geometría Analítica
Al interceptarse dos rectas en un punto en forma perpendicular, se
tendría una recta XX’ y otra YY’, recibiendo el nombre de ejes. De tal manera que
la recta XX’ se denomina ejes de las abscisas y la recta YY’ se denomina eje de
las ordenas; el punto de intercepción de ambos ejes es el origen del sistema. Los
ejes pertenecen a un plano, al cual dividen en cuatro regiones llamadas
cuadrantes y que se numeran en el orden indicado en la siguiente figura:
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Y
II
Cuadrante
(-,+)
I
Cuadrante
(+,+)
X’
X
0
III
Cuadrante
(-,-)
IV
Cuadrante
(+,-)
Y’
Coordenadas
Cada punto P del plano tiene asociado un par de números e
inversamente a cada par ordenado de números le corresponde un punto denotado
P (x , y).
En donde “x” representa la distancia del punto P al eje vertical de la
abscisa y “y” representa la distancia del eje horizontal de la ordenada denominado
plano cartesiano.
Localización de un punto en el plano
17
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejercicios:
1. Localiza los siguientes puntos en un plano cartesiano, indicando en que
cuadrante se encuentra.
A (3,2)
B(-1,-1)
C(1/3, -2)
D(2,7)
E(0,-1)
F(-5 ¾ , 4)
G(-9/2 , -7/3)
18
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
H(O,  )
Geometría Analítica
I( - 3 , 0)
2. Unir los puntos M (4, 7), N(-1, 3), P(-6, -1) demostrando que se encuentran en
línea recta.
3. Los puntos A(-9, -2), B(2, -2), C(5, 5), D(-6, 5) son vértices de un
paralelogramo.
4. Qué el punto 0’ (-2, -3) es el centro de la circunferencia que pasa por los
puntos a(-6, 1), D(2, 1), C(-6, -7).
5. Localiza en un plano cartesiano tres puntos arbitrarios que formen los vértices
de un triángulo isósceles.
Los problemas de la geometría analítica.
La geometría analítica se ocupa de los problemas en cierto sentido
complementarios:

Primer problema: consiste en encontrar la ecuación de una curva definida
por una propiedad geométrica, es decir hay un número infinito de pares de
valores de “x”, “y” que satisfacen una ecuación. Cada uno de tales pares de
valores reales se toma como las coordenadas (x, y) de un punto en el
plano.
Ejemplo: y = x2 - 4
19
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Del ejemplo anterior se observa que los valores de “x” satisfacen la
ecuación dada. Es decir el conjunto de los puntos y solamente de aquellos puntos
cuyas coordenadas satisfagan una ecuación se llama gráfica de una ecuación o
lugar geométrico

Segundo problema: es representar geométricamente las ecuaciones en
dos o tres variables, ilustrando así sus propiedades. Es decir a partir de una
figura geométrica o la condición que deben cumplir los puntos de la misma,
determinar su ecuación.
Al considerar una curva plana (la circunferencia), posee la propiedad
única de que todos sus puntos están a igual distancia de un punto fijo llamado
centro en su plano, la condición que deben cumplir sus puntos es satisfacer la Ley
particular de la curva.
Ejemplo: Hallar la ecuación del lugar geométrico cuyo centro C (-3, -5) y radio r = 7
Las coordenadas fueron introducidas por Descartes y Fermat en el
siglo XVII. El uso de coordenadas permitió resolver múltiples problemas
geométricos por medio del álgebra, convirtiéndose desde entonces en un
instrumento indispensable de la matemática en general.
20
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Condición necesaria y suficiente.
La frase “condición necesaria suficiente” se utiliza en la aplicación de
algunos teoremas, los cuales, pueden presentar una condición necesaria pero no
suficiente y viceversa, o ambas.
Por ejemplo, si un triángulo es isósceles, los ángulos opuestos a los
lados iguales son iguales; en este teorema, si un triángulo es isósceles
necesariamente se verifica que los ángulos opuestos a los lados iguales son
iguales. Por lo tanto la existencia de dos ángulos iguales es una condición
necesaria para que el triángulo sea isósceles.
También se establece en este teorema que la existencia de dos
ángulos iguales es una condición suficiente para que un triángulo sea isósceles.
Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea
isósceles es que dos de sus ángulos sean iguales.
¿Cuál es la condición necesaria suficiente para que un triángulo sea
equilátero? Es que sea equiángulo o que las tres alturas sean iguales.
Distancia entre dos puntos.
Si se desea calcular la longitud que hay entre 1 y 6 en la siguiente
recta horizontal:
Lo hacemos con una simple resta 6 – 1 = 5 unidades
Si la recta es vertical y se desea calcular la longitud entre 1 y 7 como
se ve en la figura:
21
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
La distancia entre estos dos puntos también se calcula con una
diferencia 7 – 1= 6.
Pero sino conocemos los valores de los puntos, es decir si deseamos
calcular la longitud x entre los puntos x1 y x2, y encontrar una expresión que
generalice todos los casos.
Como se ve en la recta numérica.
Tenemos que x = x2 - x1
Por lo que se deduce que para el eje vertical es lo mismo la longitud y
entre los puntos y1 y y2 se obtiene con la siguiente expresión:
y = y2 - y1
Pero ahora si tenemos en el plano cartesiano dos puntos
cualesquiera, como se ve en la figura:
22
SBG
Geometría Analítica
Para obtener una expresión que de manera general proporcione la
distancia entre los puntos P1( x1 , y1 ) y P2( x2 , y2 ), formamos un triángulo
rectángulo
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Por el teorema
tenemos que:
de
Pitágoras
c 2 = a 2 + b2
Sustituyendo los valores de a = x2 - x1, b = y2 - y1 y c = d‫׀‬p1p2 ne ,‫׀‬
Pitágoras tenemos:
d p p 
2
1 2
 x 2 - x1   y2 - y1 
2
2
Pasando el cuadrado como radical:
d p1p2 =
Fórmula para calcular la distancia
entre dos puntos cualesquiera del
plano cartesiano
(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Ejemplo: Calcular la longitud del punto A ( -3 ,-5) y B (2, 6),
sustituyendo en la formula de distancia entre dos puntos tenemos:
d AB = (2 - (- 3))2 + (6 - (- 5))2
23
Gráfica
en
el
plano
cartesiano para comprobar
midiendo con una regla.
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Realizando operaciones:
d AB = (2 + 3)2 + (6 + 5)2
d AB = (5)2 + (11)2
d AB = 25 + 121
d AB = 146
d AB = 12.08cm
Ejemplo: Calcula el perímetro
C(-2,5).
del
triángulo
24
con
vértices
A(-2,-3),B(6,1),
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Solución: Por trigonometría tenemos que el perímetro de cualquier
triángulo es P = L+L+L
d AB = (6 + 2)2 + (1+ 3)2
d AB = (- 2 - 6)2 + (5 - 1)2
d AB = (- 2 + 2)2 + (5 + 3)2
d AB = (8)2 + (4)2
d AB = (- 8)2 + (4)2
d AB = (0)2 + (8)2
d AB = 64 + 16
d AB = 64 + 16
d AB = 64
d AB = 80
d AB = 80
d AB = 8
Sustituyendo tenemos que P = 8.94 cm. +8.94+8 = 25.88 cm., las
longitudes de los lados indican también que es un triángulo Isósceles.
Ejercicios:
1. Localice los puntos A(-2,-3), B(-2,0), C(-2,4), y verifique las siguientes
igualdades mediante situaciones numéricas.
AC+ CB = AB,
BA + AC = BC,
25
AB + BC = AC
SBG
Geometría Analítica
2. En los siguientes ejercicios localice los pares de puntos y calcular la distancia
entre ellos.
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
a)
c)
e)
g)
(5,3),(1,4)
(-3,5),(5,-4)
(0,0),(-5,-7)
(-6,5),(-2,-3)
b)
d)
f)
h)
(3,4),(-3,5)
(-1,-1),(0,9)
(-3,-5),(6,-1)
(-5,-1),(-1,-6)
3. En los siguientes ejercicios trazar el triángulo con los vértices dados
encuentre las longitudes de los lados.
a) A(3,5), B(5,2), C(1,1)
c) A(-4,1), B(-5,-2), C(0,1)
y
b) A(-3,5), B(-5,-2), C(1,2)
d) A(0,0), B(-8,-2), C(-5,-6)
4. En los siguientes ejercicios dibuje el triángulo con vértices dados y muestre
que:
a) A(6,2), B(2,-3), C(-2,2)
b) A(1,3), B(10,5), C(2,1)
c) A(-2,0), B(2,0), C(0,2√3)
es un triángulo Isósceles.
es un triángulo rectángulo.
Es un triángulo equilátero
5. Muestre que los puntos A(1,-1), B(5,2), C(2,6) y D(-2,3), son los vértices de un
cuadrado y calcular también la longitud de sus diagonales para demostrar que
son iguales.
6. Determine si los puntos (-5,6), B(2,5), y (1,-2) tienen la misma distancia con
respecto (-2,2).
7. Si (x,4) de (5,-2) y (3,4), encuentre x.
8. Si (-3,y) de (2,6) y (7,-2), encuentre y.
9. Encuentre el punto sobre el eje y que equidista de (-4,-2) y (3,1)
Áreas de polígonos
En geometría analítica se puede calcular el área de cualquier
polígono si conocemos sus vértices con el siguiente determinante.
x1
1
A = x2
2
x3
y1 1
y2 1
y3 1
26
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Donde:
Geometría Analítica
A = área del polígono.
(x n, y n ) = son los vértices del polígono.
Para resolver el determinante se repiten los dos primeros renglones
abajo del último, y se multiplica el diagonal. Hay que recordar que cuando se
multiplica en diagonal de arriba abajo hacia arriba se le cambia el signo a los
resultados
x1 y1 1
x2 y2 1
A=
1
1
x 3 y 3 1 = [(x1)(y 2 )(1) + (x 2 )(y 3 )(1) + (x 3 )(y1)(1) - [(x 2 )(y1)(1) + (x1)(y 3 )(1) + (x 3 )(y 2 )(1)]]
2
2
x1 y1 1
x2 y2 1
El ejemplo anterior es para un polígono de tres vértices, pero si el
polígono tiene 4 a la formula se le incrementa un renglón (x4, y4,1), si tiene 5 se
incrementa otro renglón y así sucesivamente, pero para resolver el determinante
únicamente se repiten los dos primeros.
También debemos de tener en cuanta que si los vértices se toman en
el sentido de las manecillas del reloj el resultado del área será negativo y en el
sentido contrario a las manecillas del reloj será positivo. Así que primero hay que
ubicar los puntos en el plano cartesiano para tomarlos en orden al sustituirlos en la
formula.
Ejemplo: Calcular el área del triángulo cuyos vértices son A(-2,2), B(-2,6), C(3,2).
27
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Sustituimos los datos en la formula del determinante.
-2
3
1
A = -2
2
-2
3
2
2
6
2
2
1
1
1
1 = [(- 2)(2)(1) + (3)(6)(1) + (- 2)(2)(1) - [(3)(2)(1) + (- 2)(6)(1) + (- 2)(2)(1)]]
2
1
1
1
[- 4 + 18 - 4 - 6 + 12 + 4]
2
1
= [20]
2
= 10 U2
=
Otra forma de comprobar el resultado es obtener A = bh/2, como se
analizo en trigonometría A = (5)(4) / 2 = 10 U2.
Ejercicios:
1. En los siguientes ejercicios dibuje el polígono y calcule su área.
a) A(4,5), B(3,2), C(2,1)
b) A(-2,6), B(-,-2), C(1,3)
c) A(-4,3), B(-5,-2), C(0,0), D(3,7)
d) A(0,0), B(-8,-2), C(-5,-6), D(7,1)
e) A(1,8), B(-5,6), C(-5,-7), D(-2,-5), E(7,0)
2. En el cuadrilátero cuyos vértices son A(1,1), B(-5,-2), C(-5,-6), D(7,-2),
calcular el área. Dividir el cuadrilátero en los triángulos ABC y ACD, calcular el
área de cada uno y demostrar que la suma es equivalente al área total.
3. En el polígono de vértices A(2,2), B(0,6), C(-5,-4), D(-2,-3), E(1,-5), F(4,1),
calcular el perímetro y el área.
División de un segmento de recta
28
SBG
Geometría Analítica
Para calcular el punto medio de un segmento de recta utilizamos la
siguiente formula.
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
x=
x1 + x 2
2
y
y=
y1 + y 2
2
Si se desea dividir el segmento en tres o más partes iguales
utilizamos la siguiente formula.
y = y1 + r(y2 - y1)
x = x1 + r( x2 - x1),
Donde r es la razón, si 0< r < 1, el punto buscado se halla dentro del
segmento de recta, si r > 1, el punto buscado se halla fuera del segmento de recta,
es decir después del segundo punto, y si r es negativo el punto buscado se
encuentra antes del primer punto.
Ejemplo: Calcular el punto medio del segmento de recta A(-3,-4), B(4,2).
x=
-3+4
-4+2
, y=
2
2
x=
1
, y = -1
2
Ejemplo: Calcular las coordenadas que dividen en segmento de recta M(-4,5),
N(2,1). En r = 1/3, r = 2/3
29
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
y = y1 + r (y 2 - y1)
x = x1 + r( x 2 - x1),
para r =
x = - 4+
1
3
1
(2 - (- 4)),
3
y = 5+
1
(1 - 5)
3
1
(2 + 4)
3
y =5+
1
(- 4)
3
x = -4 +
x = -4 + 2
y =5-
x = -2
y=
Gráfica en el plano cartesiano para comprobar.
30
4
3
11
= 3.66
3
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
para r =
x = - 4+
2
3
2
(2 - (- 4)),
3
y = 5+
2
(1 - 5)
3
2
(2 + 4)
3
y =5+
2
(- 4)
3
x = -4 +
x = -4 + 4 = 0
y =5-
8 7
=
3 3
Para comprobar analíticamente que la recta esta dividida en tres
partes iguales, hay que calcular la distancia entre cada uno de los puntos para
verificar que son iguales. Si la recta se tiene que dividir en cuatro partes
iguales r = 1/4, r = 1/2, r = ¾ y así sucesivamente.
Ejercicios:
1. Encuentre las coordenadas del punto medio de cada par de puntos.
a) (2,1), (-4,3)
c) (-7,-11), (5,12)
b) ( 3,2), (2,7)
d) (4,6), (-3,-2)
2. Encuentre las coordenadas de los puntos medios de los lados de cada
triángulo cuyos vértices son.
a) (1,2), (2,4), (5,2)
c) (3,3), (2,5), (-1,-2)
b) (8,3), (2,-3), (6,-5)
d) (-1,-6), (-3,-5), (-2,-2)
3. Encuentre las coordenadas del punto medio de la hipotenusa del triángulo
rectángulo de vértices (2,2), (6,3), (5,7), y muestre que el punto medio
equidista de los tres vértices.
31
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Unidad II
32
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Pendiente de la recta.
La inclinación que tiene una recta con el eje “x” se conoce con el
nombre de pendiente de la recta, es decir, la pendiente es la tangente
trigonométrica del ángulo que una recta forma con la dirección positiva del eje de
las x; y se representa por m. y puede ser únicamente de cuatro formas:
Pendiente positiva
Pendiente negativa
Pendiente nula Pendiente indefinida
Como se observa en las figuras anteriores la pendiente es muy
importante ya que la utilizamos en nuestra vida cotidiana o tenemos relación con
ella por ejemplo:
En el techo de la casa es muy usual dejar cierta pendiente para que
el agua corra y no estanque ya que por este motivo empiezan las filtraciones o en
la bolsa de valores también es utilizada para indicar cuanto esta al alza o a la baja,
en la venta del petróleo, entre otros.
Ejemplo: Obtener la inclinación de la recta que pasa por los puntos (-1,5) y (7,-3)
m = y2 – y1 = -3 –5 = -8 = -1
Tangente –1 = 135º
33
SBG
x2 – x1
7–(-1)
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
8
Geometría Analítica
Ejercicios:
Utilizando las pendientes probar que AB y C están sobre una recta.
1. A(3,-5)
B(0,-2)
C(-3,1)
2. A(0,5)
B(4,0)
C(8,-51)
3. A(-6,-6)
B(1,5)
C(8,16)
4. A(3,3)
B(-1,4)
C(3,3)
5. A(-2,-3)
B(2,-1)
C(10,3)
Ángulos que forman dos rectas.
Dos rectas que se cortan r1 y r2 forman ángulos suplementarios, cada
uno de los cuales puede ser tomado como el ángulo que forman dichas rectas.
Definimos el ángulo que forman r1 y r2 como aquél que se mide por la
amplitud de la rotación de r1 (en sentido contrario al movimiento de las manecillas
del reloj) en torno del punto de intersección hasta colocarse sobre r2.
Ejemplo:
34
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Obtener los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A (6,3), B (-4,5) y
C (-7,-2)
Primero
determinamos las pendientes de cada lado:
mAB 
53
2
1


 4  6  10
5
mBC 
52
7

47 3
Para calcular el ángulo A, tenemos que m2 
m AC 
5
1
y m1 
13
5
Usando la fórmula y sustituyendo tenemos.
tan A 
m2  m1
1  m2 m1
5  1
5 1 25  13 38
  

13  5 
13
5  65  65  38
tan A 

5
65  5
60 60
 5  1 
1      1 
65
65
65
 13  5 
 38 
A  tan1    32.35
 65 
Para calcular el ángulo B, tenemos que m2 
Usando la fórmula y sustituyendo tenemos.
35
1
7
y m1 
5
3
3 2 5

6  7 13
SBG
tan B 
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
m2  m1
1  m2 m1
Geometría Analítica
1 7
 3  35
 38
 38

38
5 3
tan B 
 15  15  15  
7
15  7
8
8
  1  7 
1
1    
15
65
15
 5  3 
 38 
B  tan1     78.11
 8 
B  180  78.11  101.89
Para calcular el ángulo C, tenemos que m2 
7
5
y m1 
3
13
Usando la fórmula y sustituyendo tenemos.
tanC 
m2  m1
1  m2 m1
7 5
91  15
76
76

3 13  39  39  39  76
tanC 
35
39  35 74 74
 7  5 
1     1 
39
39
39
 3  13 
 76 
C  tan1    45.76
 74 
Para verificar que los resultados son correctos, la suma de los
ángulos interiores de un triángulo es de 180°.
A  B  C  180
32.35  101.89  45.76  180
Paralelismo y perpendicularidad.
Si dos rectas son paralelas, el ángulo que forman es de 0, o
cumplen la condición:
m1 = m 2
36
SBG
Geometría Analítica
Dos rectas son perpendiculares entre si, el ángulo que forman al
cruzarse es de 90, o si cumplen la condición:
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
m1  m2 = -1
Estos conceptos son utilizados en el tendido de vías del tranvía, en la
instalación de cables que conducen electricidad, en la construcción de las casas
habitación para cuadrar las ventanas, puertas, closets, entre otros.
Ejercicio: resuelve correctamente los siguientes problemas.
1. Con las condiciones anteriores demuestra que los vértices A(3,3), B(3,-1),
C(1,-1), (1,3), son los vértices de un cuadrado.
2. Muestre que los siguientes puntos, A(3,0), B(7,0), C(5,3), (1,3), son los vértices
del paralelogramo ABCD.
3. Verifique que el triángulo formado por los puntos A(4,-4), B(4,4), C(0,0), es
rectángulo.
4. Una sección transversal de una cabaña de 6 m de ancho es un triángulo
isósceles. Si la pendiente del lado es de 1.75 y hay un segundo piso a 2.4 m
sobre la planta baja, ¿Cuál es el ancho del segundo piso?
Ecuación punto pendiente de la recta.
Pendientes de una línea recta es una medida de su declive, es decir,
de su desvío con respecto a la horizontal.
Ecuación de una recta:
Ecuación que se satisface por las coordenadas de todos los puntos
de la recta. Es decir, que si un punto es de la recta sus coordenadas satisfacen la
ecuación y recíprocamente, si las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación
el punto pertenece a la recta.
37
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ecuación de la recta que pasa por un punto:
La expresión corresponde a la ecuación de la recta que pasa por un
punto, cuando es condicionada su pendiente. Llamamos m a una pendiente
cualquiera.
y - y1= m (x-x1)
Ejemplo: Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,6) y cuya
pendiente es 3.
2
y - y1 = m (x-x1)
y – 6 = 3 (x-2)
2
2(y – 6)= 3 (x -2)
2y - 12 = 3x - 6
3x - 2y + 6 = 0
38
SBG
Geometría Analítica
Ejemplo: La ecuación de la recta que pasa por el punto A (-3,4) y tiene una
pendiente 3 es:
4
y - y1 = m (x-x1)
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
y - 4 = 3 (x-(-3));
4
4 (y - 4) = 3 (x + 3)
4y -16 = 3x +9;
3x - 4y 9+16 = 0
3x - 4y +25 = 0
Ejercicios: Conocido un punto de una recta y la pendiente, obtener la ecuación
correspondiente:
1. ( 3, 4),
2. (-3, -8),
3. ( 6, 2),
4. (5, -2),
m=2
m = -4
m = -3
8
m= 2
3
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Estas expresiones corresponden a la ecuación de la recta que pasa por dos
puntos.
y - y1 = y1 - y2 (x - x1)
x1 - x2
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta apoyada en los puntos (-3,3) y (2,1).
39
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
y - y1= y1-y2 (x - x1)
x1-x2
y - 3= 3-1 (x - (-3))
-3-2
y - 3= 2 (x + 3)
-5
- 5 (y - 3) =2 (x + 3)
-5y + 15 = 2x + 6
2x + 5y + 6 –15 = 0
2x + 5y – 9 = 0
Hallaremos la pendiente:
m = y2 - y1
x2 - x1
=
1- 3
2-(-3)
=
-2 = -2
2+3
5
y – 3 = 2 ( x - (-3))
5
y 3 = -2 ( x + 3 )
5
5(y–3)=-2(x+3)
5y – 15 = - 2x - 6
2x + 5y – 15 + 6 = 0
2x + 5y – 9 = 0
40
=
-2
5
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (3, 4) y B (-2, 1).
y- y1 = y1 - y2 ( x - x1 )
x1 - x2
y- 4= 4-1 (x–3)
- 3 (-2)
y- 4= 3 (x–3)
3+2
y- 4= 3 (x–3)
5
5(y–4)=3(x–3)
5y – 20 = 3x - 9
3X - 5Y – 9 + 20 = 0
3x + 5y + 11 = 0
Hallar la pendiente:
m = y2 - y1 ( x - x1 )
x2 - x1
=
41
1- 4=
-2-3
-3 =3
-5 5
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejercicios: Obtener la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos.
1. ( 3 , 4 ),
(1,6)
2. (-1 , 2 ),
( 3 , -2 )
3. ( 4 , 0 ),
(2,3)
4. ( 0 , 2 ),
(-3 , 0 )
5. (2, 1), (1, 1)
3 2
2 3
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si una recta AB corta el eje de las Y en el punto P1 (0, b), se tiene:
y-b =m(x–0)
Simplificando
y = mx + b
42
SBG
Geometría Analítica
Esta expresión corresponde a la forma simplificada de la ecuación de
la recta. La ecuación de una recta puede expresarse en la forma simplificada
transformándola en otra equivalente donde la variable Y se encuentra despejada.
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplo: Expresar en forma simplificada la ecuación 3x – 4y = 12 y obtener los
valores de las constantes.
3x - 4y = 12
3x – 12 = 4y
4y = 3x - 12
y = 3x - 12
4
y = 3x - 3
4
m= 3
4
b=-3
43
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Es importante hacer notar que b es la distancia que hay entre el
origen y el punto de intersección de la recta con el eje de las yy’ y se llama
ordenada al origen.
La distancia entre el origen y la intersección es la recta con el eje
xx’ se denomina abscisa al origen y se representa por a. Dada la ecuación de
una recta haciendo x = 0 se obtiene el valor de a, y haciendo y = 0 se obtiene el
valor de b.
La determinación de la abscisa y la ordenada al origen permite
construir la recta con mayor facilidad.
Ejemplo: Dada la ecuación 4x + 5y + 20 = 0 obtener las coordenadas al origen y
construir la recta.
4x + 5y + 20 = 0
4x = - 5y - 20
x = - 5y - 20
4
x = -5 y - 5
4
a =-5
4x + 5y + 20 = 0
5y = - 4x - 20
y = 4x - 20
5
y=-4x -4
5
b =-4
44
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejercicios: Obtener los valores de la abscisa y ordenada al origen, trazar la recta
correspondiente y expresar la ecuación en la forma general, simplificada y
simétrica.
1. 2x - 5y + 20 = 0
2. 3x + 6x + 12 = 0
3. 2x + 8y + 3 = 0
4. -4x + 3y + 24 = 0
5. 2x + 7y = 22
Ecuación de la recta en forma simétrica:
Es aquella que viene dada en función de los segmentos a y b (en
magnitud y signo) que determina sobre los ejes de coordenadas.
45
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Esta ecuación, que se aplica solamente, a las rectas que cortan al los
dos ejes coordenados, es de la forma:
x+ y= 1
a b
Ejemplo: Expresar en su forma simétrica la ecuación de la recta 6x – 3y = 18.
6x - 3y = 18
6x - 3y = 18
18 18 18
x + y
18 18
6 -3
=
1
x + y =1
3 -6
Ejemplo: Escribir en su forma simétrica la ecuación de la recta 3x + 2y – 6 = 0
3x + 2y – 6 = 0
3x + 2y = 6
3x + 2y = 6
6
6
6
x + y =1
46
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
6
3
Geometría Analítica
6
2
x + y=1
2
3
Ejercicios: Escribir en la forma simétrica las ecuaciones de las rectas:
1. 4x + 3y – 12 = 0
2. 2x - 3y + 6 = 0
3. 4x + 3y + 18 = 0
4. 2x + 8y +3 = 0
Forma General de la ecuación de la recta:
47
SBG
Geometría Analítica
La ecuación de una recta es una ecuación de primer grado con dos
variables. Recíprocamente toda ecuación de primer grado, con dos variables,
representa una recta.
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
La ecuación general de primer grado es de la forma:
Ax +By +C = 0
A, B, C son constantes, donde A y B son diferentes de 0.
Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre B y despejando y,
resulta:
y=- Ax - C
B
B
M=- A
B
si B ≠ O
B = - C si C ≠ O y B ≠ O
B
Ejemplo: Expresar en forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto
(O, 2) y es paralela a la recta de la ecuación 3x = 4y – 24 = 0
3x - 4y - 24 = 0
- 4y = - 3x + 24
-4
-4
-4
y = 3x - 6
4
m=- A
B
=
3
4
Luego, la ecuación será:
y-2= 3 (x–0)
4
48
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
y- 2= 3 x-0
4
4 ( 3x - y + 2 = 0)
4
12x - 4y + 8 = 0
4
3x - 4y - 8 = 0
Despejando a “x” y “y” en ambas ecuaciones, obtendremos:
3x - 4y – 24 = 0
-4y = - 3x + 24
y=3x-6
-4
A (0, 6)
3x = 4y + 24
x=4y+8
3
x=8
y=0
B = (8, 0)
3x - 4y + 8 = 0
-4y = - 3x - 8
y=-3x+2
4
x=0
y=2
C (0,2)
3x = 4y - 8
x= 4y- 8
3
3
49
Geometría Analítica
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
x=-8
3
y=0
D ( -8, 0)
3
3x - 4y – 24 = 0
-4y = - 3x + 24
y=3x–6
4
Ejercicios:
50
Geometría Analítica
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4, -5), y es paralela a la
recta de la ecuación 5x - 2y -10 = 0
2. Encuentra la ecuación de los lados del triangulo A (3, 4), B (-2, 2), C (1, -4) y
represéntalas en la forma general y su trazo correspondiente.
3. Dada la ecuación 6x + 12y + 24 = 0 encuentra la recta paralela que pasa por
el punto (0, 6 )
51
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Dadas las ecuaciones
(1) Ax + By +C = 0
(2) x cos x + y sen x – p = 0
forma general
forma normal
Dividiendo la ecuación (1) entre una constante K, se tiene:
(3)
Ax+By+C=0
K
K
K
Comparando (2) y (3), observamos que:
cos x = A ,
K’
sen x = B , -p = C
K’
K
Pero:
A2 + B2 = cos2 x + sen2 x = 1
K2 K2
Luego:
A2 + B2 = K2
Por tanto:
(4)
k= +
A2 + B2
52
Geometría Analítica
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Sustituyendo (4) en (3), resulta:
(5)
Ax + By +C
+
0
A2 +B2
Que
forma normal.
Como
=
permite transformar una ecuación de la forma general a la
-p = C
K
Debe tomarse para el radical
+
A2 +B2
signo contrario al de C.
Ejemplo: Expresar en la forma normal la ecuación 3x + 4y -12 = 0
3x + 4y -12 = 0
32 +42
k=+
=+
9 +16
= +
25
= + 25
53
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
(Se tenia para K signo contrario al de C)
Dividiendo la ecuación entre 5 resulta:
3x + 4y – 12 = 0
5
3 x + 4 y –12 = 0
5
5
5
Sustituyendo (4) en (3), resulta:
(6)
Ax + By +C
+
0
A2 +B2
Que
forma normal.
Como
=
permite transformar una ecuación de la forma general a la
-p = C
K
Debe tomarse para el radical
+
A2 +B2
Ejemplo: Expresar en la forma normal
signo contrario al de C.
la ecuación 3x + 4y -12 = 0
3x + 4y -12 = 0
32 +42
k=+
=+
9 +16
= +
25
= + 25
54
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
(Se tenia para K signo contrario al de C)
Dividiendo la ecuación entre 5 resulta:
3x + 4y – 12 = 0
5
3 x + 4 y –12 = 0
5
5
5
Luego:
cos  = 3 , sen  = 4 , p = 12
5
5
5
 Mide entre 00 y 900, por que seno y coseno son positivos.
X = 53º 8’
Ejercicios: Transformar la ecuación de la recta 3x +4y –15= 0 de la forma general
a la forma normal.
1. Dada la ecuación 6x + 8y +25 = 0 en la forma general trasforma la ecuación a
la forma normal
2. Dada la ecuación 2x +6y +8 = 0 en la forma general transformar la ecuación a
la forma normal.
55
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Distancia de un punto a una recta:
Dado un punto de coordenadas conocidas, es posible encontrar su
distancia a una recta de ecuación dadas, utilizando la forma normal de la
ecuación de la recta.
Sea P1 (x1, y1) el punto de coordenadas conocidas y de la distancia a
la recta AB.
La ecuación de la recta AB en su forma normal es
(1) x cos + y sen – p = 0
Considerando que:
P1M
OX
MR
ON
Luego:
(2)
p + d= OR + RS
Pero como:
(3)
OR = OM cos  = X1 cos  X
(4)
RS = P1M cos (90o –  ) = y1 sen 
56
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Sumando (3) y (4) miembro a miembro, resulta:
OR + RS = X1 cos  +Y1 sen 
Por igualdad (2) se tiene:
p + d = X1 cos  + Y1 sen 
Despejando d se obtiene:
d = X1 cos  + Y1 sen  - p
d = Ax1 +By1 + C
_
A2 +B2
Ejemplo: obtener la distancia del punto (4, 6) a la recta 3X + 4Y –12 = 0
Solución
d = 3(4) +4(6) - 12
9 +16
d = 12 +24 - 12
5
d = 24 = 4.8
5
57
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejercicios:
1. Obtener la distancia del punto P (5,7) a la recta 3X – 5Y + 4 = 0
2. Obtener la distancia del punto P (-1, 3) a la recta X + Y – 4 = 0
3. Obtener la distancia del punto P (2,-4) a la recta 2X +3Y +- 6 = 0
4. Obtener la distancia del punto P (-5,8) a la recta x + 2y +5 = 0
5. Obtener la distancia del punto P (0,0)
58
a la recta 3x +2y – 12 = 0
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Solución de problemas de aplicación:
1. Trazar la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones:
2. y = 3x
3. y = 3x + 4
4. x + y =2
1 3
5. y + x = 0
6. y = 1 x - 2
2
7. x + y =1
2 4
8. 3x + y = 1
9. x –3y + 4 = 0
10. Ecuaciones de los ejes y de las rectas paralelas a los ejes, determinar la
ecuación de la recta cuya pendiente es – 4Y y que pasa por el punto de
intersección de las rectas 2X + Y – 8 = 0 y 3X – 2Y + 9 = 0 trazar la gráfica.
11. Determinar la ecuación de la recta de pendiente m = 1 ordenada al origen
b = 2 determinar la ecuación de otra recta que tiene por coordenadas al origen
b = 6 y a = -2 trazar otras dos rectas y determinar el punto donde se cortan.
12. Trazar la recta que pasa por el punto (-1,2) de
pendiente m = 1
2
13. Una recta pasa por el punto (3, - 6) y es perpendicular a la recta definida por
los puntos (4,1) y (2,5) encontrar las ecuaciones de estas dos rectas el punto
donde se cortan y sus intersecciones con los ejes de coordenadas.
59
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
14. La pendiente de una recta que pasa por el punto P (3, 2) es igual a ¾. Situar
dos puntos sobre esta recta que disten 5 unidades de P. Comprobarlo con la
gráfica.
15. Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento
cuyo extremos son
A (-2, -3) y B (0, -1). Usar esta ecuación para probar que los puntos (- 4,1)
Y (1,- 4) y pertenecen a dicha mediatriz.
16. Determinar la distancia de punto (6, - 1) a la recta 3x+1= Y así como la
distancia del punto (5,2) a la recta. 3x – 4y + 6 = 0.
17. Determinar
las ecuaciones de
las rectas paralelas a la
3y = 0, que pasan a la distancia 10 del punto (- 1, 2)
recta x +
18. Trazar el triangulo de vértices A (4, 0), B (2, 4) y C (8, - 4).
a) Determinar las ecuaciones de sus lados
b) Determinar las ecuaciones de sus medianas
c) Determinar el punto donde se cortan las medianas o baricentro
Familia de líneas rectas:
La totalidad de las rectas que
geométrica se llama familias o haz de rectas.
satisfacen como única condición
Para comprender mejor este concepto consideramos todas las rectas
que tienen pendientes 5, la totalidad de estas rectas forman una familia de rectas
paralelas, teniendo toda la propiedad teniendo toda la propiedad común de que su
pendiente es igual a 5.
Analíticamente esta familia de rectas puede representarse por la
ecuación:
y = 5x + k
60
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
En donde k es una constante arbitraria que puede tomar todos los
valores reales. Para cada recta existe una ecuación que cumple la condición de la
pendiente 5.
y = 5x + k
(1) y =5x + 0
(2) y =5x +2
(3) y =5x + 5
Como otro ejemplo consideraremos todas las rectas que pasan por
el punto (2, 3). Según la ecuación de la recta esta familia de rectas puede
representarse analíticamente por la ecuación:
y – 3 = k (x -2)
En donde k es una pendiente arbitraria a la que puede asignar
cualquier valor real. Podamos alterar la fórmula de rectas alternando un valor
61
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
particular a la constante arbitraria a k. Teniendo en cuenta su importancia, se le
da k un nombre especial; se le llama “parámetro de la fórmula”.
Ejercicio:
y – 3 = k (x -2)
k = -1
k=1
k=0
k = -2
k=2
Ejercicios:
1. Escribir la ecuación de la fórmula de rectas que son paralelas a la recta
2x – 7y + 2 = 0. Dibuje 3 rectas paralelas, especificando en cada caso el valor
del parámetro aplicado.
2. Escribe la ecuación de la fórmula de rectas que son perpendiculares a la
recta 3x + 2y – 7 = 0. Dibuje 3 elementos de la familia, especificando en cada
caso el valor del parámetro aplicado.
62
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Unidad III
63
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Definición de circunferencia.
La circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los
puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del
centro a cualquier punto de la circunferencia se le llama radio.
Un círculo es el espacio interior delimitado por la circunferencia.
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r.
Sea la circunferencia de centro O(0,0) y radio r. Aplicando el método
de los lugares geométricos, tendremos:
1. Sea el punto P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia .
2. La condición que establece que P es de la circunferencia oP  r .
3. Traduciendo analíticamente (fórmula de la distancia entre dos puntos)
r  x 2  y 2 ó x 2  y 2  r 2 , que es la ecuación cartesiana de la
circunferencia de centro el origen y radio r.
64
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplo: La ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 4.
Aplicando la fórmula anteriormente obtenida y sustituyendo.
x2  y2  r 2
x 2  y 2  4
2
x 2  y 2  16
Ejercicios: Hallar las ecuaciones de las siguientes circunferencias.
a) C 0,0 r  3 ,
b) C 0,0 r  2
c) C 0,0 r  2
1
5
Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es x 2  y 2  25
Cuando la ecuación solo tiene x 2  y 2 indica que el centro es el origen C 0,0 y
r 2  25 , entonces r  25  5 .
65
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejercicios: Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias.
1. x 2  y 2  144
2. x 2  y 2 
4
9
Ecuación
coordenados y radio.
3. x 2  y 2  100
4. x 2  y 2 
16
121
una circunferencia de centro en uno de los ejes
Primer caso. El centro se localiza sobre el eje “x”.
Si llamamos h a la abscisa del centro, sus coordenadas serán C h,0 ó C  h,0 .
Si Px, y  es un punto cualquiera de la circunferencia. Donde CP  r
x  h2  y 2  r
x  h 2  y 2  r 2
66
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejemplos: La ecuación de la circunferencia de centro C 4,0 y r  3
x  h 2  y 2  r 2
x  42  y 2  32
x 2  8 x  16  y 2  9
x 2  y 2  8 x  16  9  0
x 2  y 2  8x  7  0
67
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
La ecuación de la circunferencia de centro C  3,0 y r  5
x  h 2  y 2  r 2
x  32  y 2  52
x 2  6 x  9  y 2  25
x 2  y 2  6 x  9  25  0
x 2  y 2  6 x  16  0
Ejercicios:
Determina la ecuación de cada circunferencia con su respectiva gráfica.
1. C 2,0 r  2
2. C 3,0 r  2
1
2
3. C4,0 r  0.25
4. Determina las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya
2
ecuación es: x  3  y 2  16
2
5. Aplicando la fórmula x  h  y 2  r 2 , el resultado es C 3,0 y r  4 .
68
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
6. Determina las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya
2
ecuación es: x  2  y 2  2
7. Aplicando la fórmula x  h  y 2  r 2 , el resultado es C  2,0 y r  2 .
2
Ejercicios:
Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias.
1.
x  42  y 2  64
2.
x  82  y 2  25
69
3.
x  32  y 2  18
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
d) x  5  y 2  13
e)
2
x  6  y 2  4
f)
2
2
2
25

2
x    y 
3
4

Segundo caso. El centro se localiza sobre el eje “y”.
Si llamamos k a la ordenada del centro, sus coordenadas serán C 0, k  ó C 0,k  .
Si Px, y  es un punto cualquiera de la circunferencia. Donde CP  r
x2  y  k   r
2
x2  y  k   r 2
2
Resuelve los siguientes ejercicios y gráfica.
1. C 2,0 r  2
2. C 3,0  r  1
4. C 3,0 r  3
5. C 4,0 r  2
3. C 4,0  r  0.25
1
2
1
2
70
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplo: Hallar el centro y el radio de la siguientes circunferencias cuyas
ecuaciones se indican.
 x  2 2  y 2  2
 x  h 2  y 2  r 2
C  2,0 r  2
x  32  y 2  16
 x  h 2  y 2  r 2
C 3,0 r  4
Ejercicios. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias.
a) x  42  y 2  64
d) x  62  y 2  4
b) x  82  y 2  25
e) x  52  y 2  3
c) x  32  y 2  18
Segundo caso.
El centro se localiza en el eje “y”.
Si llamamos K a la ordenada del centro, sus coordenadas son de la forma C 0, k  ,
resultando la ecuación siguiente: x 2   y  k 2  r 2
Ejemplos:
La ecuación de la circunferencia de centro 0,4  r  5 es:
x 2   y  4 2  5 2
x 2   y  42  25
x 2  y 2  8 y  16  25  0
x2  y 2  8y  9  0
La ecuación x 2   y  12  7 , representa una circunferencia, entonces obtenemos
como centro 0,1 y r  7 .
Ejercicios:
1. x 2   y  32  8
2. x 2   y  22  3
4. x 2   y  62  5
5. x 2   y  52  2
71
3. x 2   y  52  4
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ecuación de la circunferencia, cuando el centro es un punto cualquiera del plano
cartesiano.
Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia.
Sea h, k  el centro r el radio y Px, y  un punto cualquiera de la circunferencia.
 x  h 2   y  k 2
r
Ecuación ordinaria de una circunferencia de radio r
cualquiera C h.k  del plano.
y de centro un punto
Ejemplo: Hallar el centro y el radio de las siguientes ecuaciones.
x  22   y  32  25
 x  h 2   y  k 2  r 2
C 2,3, r  5
x  42   y  22  16
 x  h 2   y  k 2  r 2
C  4,2, r  4
72
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejemplo: Hallar las ecuaciones de las circunferencias cuyo centro y radio se
indican.
C 4,2 , r  4
C 5,3, r  7
x  h    y  k   r
 x  4 2   y  2 2  4 2
 x  h 2   y  k 2  r 2
 x  5  2   y  3 2  7 2
x 2  8 x  16  y 2  4 y  4  16  0
x 2  10x  25  y 2  6 y  9  49  0
x 2  y 2  8x  4 y  4  0
x 2  y 2  10x  6 y  15  0
2
2
2
Ejemplo: Hallar el centro y el radio de la siguiente circunferencia.
x  22   y  32  25
x  h 2   y  k 2  r 2
C 2,3, r  5
x  52   y  92  36
 x  h 2   y  k 2  r 2
C  5,9 , r  6
Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como centro 2,3 , o
sea h, k  y pasa por el punto A2,4  .
Para conocer el radio obtenemos la distancia entre el centro y el punto por donde
pasa la circunferencia.
r
x 2  x1 2   y 2  y1 2
r
2  22  4  32
42  7 2
r
r  16  49
r  65
73
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Aplicando la ecuación ordinaria de la circunferencia y sustituyendo se obtiene.
x  h2   y  k 2  r 2
2
x  22   y  32   65
x 2  4 x  4  y 2  6 y  9  65  0
x 2  y 2  4 x  6 y  52  0
Ejercicios:
Hallar las ecuaciones de las siguientes circunferencias.
1
2. C  3,  r  3
1. C2,3 r  5

2 1
2
4. C   ,  r 
 3
2
3. C   ,4  r 
1
 2
2

3
2
1 1
5. C   ,  r  3
 2
3
3
Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias.
6. x  32   y  22  4
7. x  32   y  22 
25
4
9. x  42   y  32 
e) x  62   y  32 
2
4
4
9
8. x  32   y 12  0
Dada la ecuación de una circunferencia en su forma general hallar
las coordenadas del centro y el radio.
Convirtiendo la ecuación general a la forma ordinaria
Completando los trinomios cuadrados perfectos.
74
x  h2   y  k 2  r 2
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplos: Hallar las coordenadas del centro y el radio de las siguientes
circunferencias.
x 2  y 2  4x  6 y  9  0
x 2  4 x  4  y 2  6 y  9  9  4  9
x  22   y  32  4
C  2,3 r  2
Otro procedimiento es usar las siguientes fórmulas partiendo de la
ecuación general de la circunferencia.
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
x 2  y 2  4x  6 y  9  0
donde: D = 4, E = 6 y F = 9
h
h
r
1
2
D
,
2
4
 2 ,
2
k
E
2
y
r
1
D 2  E 2  4F
2
y
k


6
2
42  62  49  1
2

3
16  36  36 
1
4
16   2
2
2
De tal forma que las coordenadas del centro son 2,3 y r  2 .
75
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Hallar las coordenadas del centro y el radio de las siguientes circunferencias.
x 2  y 2  4x  2 y  4  0
x 2  4x  4  y 2  2 y  1  4  4  1
x  22   y  12  9
C 2,1 r  3
Otro procedimiento es usar las siguientes fórmulas partiendo de la
ecuación general de la circunferencia.
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
x 2  y 2  4x  2 y  4  0
donde: D = -4, E = -2 y F = -4
h
D
E
1
, k   y r  D 2  E 2  4F
2
2
2
4 4
h  
 2,
 2  2
r
1
2
2 2
k  
  1
 2  2
 42   22  4 4  1
2
16  4  16 
y
1
6
36   3
2
2
De tal forma que las coordenadas del centro son 2,1 y r  3 .
Nota: Si el coeficiente de los términos cuadráticos ( x 2 y y 2 ) no es la unidad,
antes de completar los trinomios cuadrados perfectos se dividen toda la ecuación
por dicho coeficiente.
76
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplo: Hallar las coordenadas del centro y el radio de las siguientes
circunferencias.
4 x 2  4 y 2  4 x  16 y  19  0
4 x 2  4 y 2  4 x  16 y  19  0
4
19
2
2
x  y  x  4y 
0
4
1
19 1
x2  x   y2  4y  4 
 4
4
4
4
2
1

2
 x     y  2  9
2

1

C  ,2  r  3
2

Otro procedimiento es usar las siguientes fórmulas partiendo de la
ecuación general de la circunferencia.
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
x2  y 2  x  4y 
19
0
4
donde: D  1 , E  4 y F  
h
D
E
1
, k   y r  D 2  E 2  4F
2
2
2
 1 1
h     
 2 2
r
1
2
19
4
k 
,
4
 2
2
 12  42  4  19   1

4
77
2
1  16  19 
y
1
6
36   3
2
2
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
1
De tal forma que las coordenadas del centro son  ,2  y r  3 .
2

Para comprobar si una ecuación pertenece a una circunferencia real,
imaginario o sólo son las coordenadas de un punto se toma en cuenta lo siguiente:
Si
D 2  E 2  4F  1  circunferencia real
Si
D 2  E 2  4F  1  circunferencia imaginaria
Si
D 2  E 2  4F  0  circunferencia nula o círculo punto
Ejemplo: Comprobar
circunferencia.
si
la
ecuación
x 2  y 2  6x  2 y  6  0
D  6 , E  2 y F  6 , sustituyendo los valores en
representa
D 2  E 2  4F tenemos:
D 2  E 2  4F 

62   22  46
 36  4  24
La circunferencia es real.
 16
4  1
Comprobar si la ecuación x 2  y 2  4 x  2 y  5  0 representa una circunferencia.
D  4 , E  2 y F  5 , sustituyendo los valores en
78
D 2  E 2  4F tenemos:
una
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
D 2  E 2  4F 

 42  22  45
 16  4  20
La circunferencia se reduce a un solo punto.
 0
0  0
Ejercicios.
Hallar las ecuaciones de las siguientes circunferencias.
1. C 0,0 r  3
5. C2,3 r  5
1
2. C  3,  r  3
6. C   ,4  r 

1
 2
2

2 1
2
3. C  ,  r 
7. C 3,1 r  2
4. C2,0 r  2
8. C 0,5 r  5
 3
2
3
3
2
1
4
Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias.
1. x 2  y 2  4
2. x 2  y 2 
9
16
3. x  62   y  82  25
4. x  72   y  32 
4
49
1
5. x  52   y  92 
9
25
6. x  32   y  22 
4
2
2
7. x  3   y 1  0
9. x  42  y 2 
1
4
2
2
10. x  y  8 y  0
11. x 2  y 2  6 x  2 y  2  0
12. x 2  y 2  6 x  8 y  9  0
13. x 2  y 2  8x  4 y  11  0
14. 2x 2  2 y 2  8x  6 y  7  0
15. 9x 2  9 y 2  36x  54y  118  0
16. 4x 2  4 y 2 16x  24y  27  0
17. 4x 2  4 y 2  4x  24y  33  0
8. x 2   y 12  2
79
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Unidad IV
80
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Introducción.
Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse de la
intersección de un plano con un cono circular recto. La intersección del cono con
un plano perpendicular a su eje se conoce como circunferencia. Si el plano se
inclina ligeramente, la curva resultante es una elipse. Si el plano interseca ambas
mitades, o ramas del cono, la curva es una hipérbola. Finalmente cuando el plano
es paralelo a una recta sobre el cono, la curva de la intersección es una parábola.
La geometría analítica en ocasiones se considera el estudio
particularizado de las tres grandes curvas: Parábola, Elipse e Hipérbola. Esto se
debe a Menecmo (Siglo lV A. C.) a quien se le atribuye la invención de dichas
curvas. Menecmo descubrió la parábola intento por encontrar la arista de un cubo
cuyo volumen sea el doble del cubo dado (duplicación del cubo) solo con regla y
compás, que después se comprobó que es imposible resolver.
Posterior a Menecmo, Arquímedes amplió el campo de estudio de
estas tres curvas. Apolonio de Perga por su parte, concibió las secciones cónicas
como resultado de la intersección de un plano con un cono circular ya sea
rectangular o no. Si el plano es paralelo a un elemento y a la intersección se
extiende indefinidamente a lo largo de una parte del cono sin cortar a la otra,
entonces se forma una parábola. No se conoce como pudo haber llevado las
secciones cónicas a un plano.
Kepler, siglos después ( 1609 ) señaló detalles de la teoría abstracta
que Apolonio había pasado por alto, como la existencia de un foco para la
parábola.
Fue Fermat, años después ( 1601 – 1666 ), contemporáneo de
Descartes, quien utilizando la notación de Viete, demuestra en su breve tratado
titulado “Ad Locos Planos et Sólidos Isagoge” ( Introducción a los lugares
geométricos planos y sólidos ), que la parábola como lugar geométrico se puede
expresar por la ecuación
a2 ± x 2 = b y y que
y = xn si n es positivo
representa una parábola y si es negativo representa una hipérbola en su tratado
titulado “ Método para hallar máximos y mínimos ”
81
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Isaac Newton (1642 – 1727), hizo estudios y descubrimientos de
gran trascendencia; cabe mencionar que describió el tiro parabólico, llamado así
porque en este movimiento se describe una parábola.
La parábola tiene diversas aplicaciones, pues tiene propiedades
notables: si se dispone de un manantial de luz en su foco, con un espejo
parabólico los rayos son reflejados en forma de un haz de luz o bien, si el espejo
recibe hondas electromagnéticas las refleja concentradas en el foco. Estas
propiedades se emplean en la construcción de faros de automóviles y en las
antenas parabólicas.
Definición
Es el conjunto de los puntos que están a la misma distancia de una
recta fija, llamada directriz, y de un punto fijo del plano que no pertenece a la recta
y se llama foco
Geométricamente se describe como la curva que resulta al
interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono.
Elementos fundamentales de la parábola.
Eje de la parábola: Es la recta que pasa por el foco y por el punto de
la parábola llamado vértice. La posición del eje determina la posición de la
parábola; hay parábolas horizontales, verticales o inclinadas, según que el eje sea
horizontal, vertical o inclinado. La parábola siempre es simétrica con respecto a su
propio eje. ( EE´)
Directriz: Recta perpendicular al eje de la parábola y está a la misma
distancia del vértice que el vértice del foco. ( DD´)
Lado recto: Recta que une dos puntos de la parábola, que pasa por
el foco y es perpendicular al eje de la parábola. ( LR )
Radio focal: Distancia que hay entre el foco de una parábola y
cualquier punto de la misma.
82
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Vértice: Punto medio del segmento AF
Cuerda: Segmento de dos puntos cualesquiera de la parábola ( CC´)
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco ( BB´)
Ecuación de una parábola.
Ahora deducimos la ecuación de una parábola con foco F ( 0, p) y la
directriz y = - p, donde p > 0. Entonces vemos que el eje de la parábola está a lo
largo del eje y, como lo muestra la figura. El origen es necesariamente el vértice,
puesto que está situado en al eje a p unidades tanto del foco como de la directriz.
Si el punto P( x, y ) es un punto sobre la parábola, entonces la distancia de P a la
directriz es:
d1 = y - ( - p ) = y + p
ecuación 1
Usando la fórmula de distancia, encontramos la fórmula de P al foco:
d1 = d ( P, F ) =
( x  0) 2  ( y  p) 2
Igualando la ecuación 1 y la ecuación 2, tenemos que:
( x  0)  ( y  p) 2
2

y p
Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando, obtenemos:
x 2  ( y  p) 2  ( y  p) 2
83
ecuación 2
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
x 2  y 2  2 py  p 2  y 2  2 py  p 2
x 2  4 py
Esta ecuación se refiere a la ecuación en forma estándar de la
parábola con foco (0, p) y directriz y = - p para p > 0
Ecuación de la parábola
x 2  4 py
84
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Formas estándar para parábolas con vértice en el origen
Ecuación
cartesiana
Vértice
X2
(0,0)
X2
=
Eje
Foco
Lado
Recto
Directriz
X=0
(0 , p )
4p
Y = -p
4 px
La parábola
se abre hacia
Hacia arriba si
p>0
Hacia abajo si
p<0
= - 4 py
Y2 =
Y2
4 py
.
(0,0)
Y=0
(p,0)
4p
X = -p
Hacia
la
derecha si p>0
Hacia
la
izquierda si p<0
= - 4 px
Ejemplo
Encuentre la ecuación en forma estándar de la parábola con directriz
y = 2 y foco ( 0 , -2). Grafique la parábola.
85
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
En la figura se ha trazado la gráfica con directriz y = 2 y foco
en el punto ( 0, -2).
Vemos que la ecuación es de la forma:
x2 = 4py
Puesto que p = - 2, y comparando con la tabla anterior la parábola
abre hacia abajo y la ecuación debe ser : x2 = 4 ( -2) y
o
x2 = -8 y
Para hacer la gráfica de la parábola, primero marcamos el vértice en
( 0, 0), el foco y luego la directriz que está a la misma distancia que del vértice al
foco; es decir y = 2, entonces:
X2 = - 8 ( -2) = 16
o
x = ± 4
Así obtenemos el valor de x que es ± 4. Ubicamos los puntos sobre
el eje de las “x” y a la altura del foco, marcamos los puntos ( 4, -2 ) y ( -4 , -2 )
que están situados sobre la parábola.
Ejemplo: Encuentre el foco, el vértice, la directriz y el eje de la parábola
y2 = - 6 x. Haga la gráfica e indique el foco y la directriz.
La ecuación tiene la forma y2 = 4 p x. Así el vértice está en el
origen, el eje focal es x, y
el dato de p lo obtenemos de la siguiente manera:
4p = - 6, o p = - 3 / 2
Observa en la tabla anterior que p<0, por la tanto, la parábola se
abre hacia la izquierda, el foco es ( -3 / 2 , 0), y la directriz es x = 3 / 2.
Para hacer la gráfica de la parábola, consideramos a
Entonces:
y2 = - 6 ( - 3/2) = 9
o
86
Y = ± 3
x = - 3 / 2.
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Así, los puntos ( -3 / 2 , ± 3 ) están colocados sobre la parábola,
como se muestra en la figura.
Ecuación de la parábola
y2   6 x
Ejemplo: Escribir la ecuación de la parábola con foco en ( 0, 5) y directriz y = 5. Hacer su grafica. Como el foco está sobre el eje Y en ( 0, 5 ), entonces es una
parábola vertical con las ramas hacia arriba y vértice en ( 0, 0 ) por lo que su
ecuación es de la forma x2 = 4py. Por definición, p es la distancia del vértice
a l foco, entonces p = 5, sustituyendo este valor en x2 = 4py tenemos lo
siguiente:
X2 = 4 py
X2 = 4( 5 ) y
X2 = 20 y
Por lo tanto, la ecuación de la parábola con foco en ( 0 , 5 ) y directriz
y = - 5 es x2 = 20 y. Para hacer la gráfica, tabulamos algunos puntos; en este
caso conviene darle valores a la y y encontrar los correspondientes valores de la
x.
87
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Es decir; si y = 5, entonces
x2 = 20 ( 5) = 100
Geometría Analítica
o x = ± 10
Tr
gonometría
Ejemplo: Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje
“x” pasa por el punto (3,6), determinar la ecuación de la parábola, las
coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto;
trazar la gráfica correspondiente. De acuerdo a las condiciones dadas en el
2
problema, tenemos que la ecuación de la parábola es de la forma y  4 px ;
como la curva pasa por el punto (3,6), sus coordenadas deben satisfacer dicha
ecuación de la parábola, es decir:
y 2  4 py
(6) 2  4 p (3)
36  12 p
p
36
12
88
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Si p = 3, la ecuación de la parábola es:
y 2  4 px
y 2  4(3) x
y 2  12 x
La gráfica es la siguiente:
89
Geometría Analítica
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejercicios:
Para cada una de las siguientes parábolas con vértice en el origen, hallar las
coordenadas del foco, directriz, lado recto y la gráfica.
1. V ( 0, 0 ) directriz y = - 5 / 2
2. V ( 0, 0 ) pasa por el punto P ( 3, - 2)
3. V ( 0, 0 ) lado recto 7 unidades y abre hacia la izquierda.
4. V ( 0, 0) Foco en ( 4, 0 )
5. V ( 0, 0 ) Foco en ( 0, - 5 )
6. V ( 0, 0 ) Directriz x = - 5
90
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Parábola con vértice en (h, k )
Suponga que la parábola se traslada tanto horizontal como
verticalmente, de modo que su vértice está en el punto ( h, k ) y su eje es la recta
vertical x = h. La forma estándar de la ecuación de está parábola es:
(x  k )  4 p( y  k )
2
De igual manera, la ecuación estándar de una parábola con vértice
(h, k) y eje de la recta horizontal y = k es:
( x  y )  4 p ( x  h)
2
91
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
En la figura anterior ilustramos los cuatro tipos de parábolas que
pueden resultar de tomar p positivo o negativo, y el eje ya sea horizontal o vertical.
Formas estándar para parábolas con vértice en el punto (h, k)
Ecuación
Ordinaria
Vértice
Eje
Foco
(x-h)2 = 4p(y – k)
(h, k )
X = h (h,k+p)
Lado
recto
4p
Directriz
La parábola se
abre
Y=k-p
Hacia arriba si
p>0
Hacia abajo si
p<0
(y – k) = 4p ( x – k )
( h, K)
Y = k (h+p,k)
4p
X=h-p
Hacia
la
derecha si p>0
Hacia
la
izquierda si p<0
92
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplo: Hallar vértice, lado recto, foco, ecuación de la directriz y trazar la
parábola cuya ecuación es:
x 2  4x  4 y  4  0
Dejamos del lado izquierdo de la igualdad los términos en x , como
se muestra a continuación:
x 2  4x  4 y  4
Sumamos 4 en ambos miembros de la igualdad, para que del lado
izquierdo quede un trinomio cuadrado perfecto, como se muestra a continuación:
x 2  4x  4  4 y  4  4
x 2  4x  4  4 y  8
( x  2) 2  4 ( y  2)
Para obtener el vértice de esta parábola, primero se despeja x del
primer término y y, así nuestros valores son V(2, -2). Ahora como 4p= 4, tenemos
que p=1. Si observamos la tabla que se presentó anteriormente la ecuación de la
directriz es y = k – p, por lo tanto, y tiene un valor de: y = -2 -1 = -3 y las
coordenadas del foco son (2, -1). Concentrando los datos en la tabla anterior,
obtenemos:
Ecuación
ordinaria
Vértice
Eje
Foco
(x - 2) 2 = (y + 2 )
(2, -2 )
X=2
(2, -1)
93
Lado
recto
1
directriz
Y = -3
la parábola se
abre hacia arriba
ya que p > 0
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
La gráfica es la siguiente:
Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (2,3), eje paralelo al eje
de las coordenadas y que pasa por el punto (4,5).
La parábola tiene su eje paralelo al eje de las ordenadas, por lo
tanto, su ecuación es de la forma siguiente:
( x  h) 2  4 p( y  k )
Las coordenadas del vértice y del punto por el que pasa la parábola
deben satisfacer la ecuación, es decir:
94
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
(4  2) 2  4 p (5  3)
de donde 2 2  4 p (2)
o sea
4  8p
es decir
1
p
2
1
( x  2) 2  4 ( y  3)
2
Entonces la ecuación de la parábola es:
( x  2) 2  2( y  3)
"
O bien:
Despejando “x” y “y” de ambos términos, el valor del vértice es
( 2 , 3 ). El foco tiene un valor de (2, 3 +0.5), es decir (2, 3.5). La directriz y es
igual a: y = 3 – 0.5 = 2.5
Concentramos los resultados en la tabla:
Ecuación
ordinaria
(x-2)2 = 2 (y – 3)
Vértice
Eje
Foco
( 2, 3 ) X = 2 (2,3.5 )
La gráfica es la siguiente:
95
Lado
recto
1/2
Directriz
Y = 2.5
La parábola se
abre hacia
arriba, ya que
p>0
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejemplo: Hallar el vértice, lado recto, foco ecuación de la directriz y trazar la
parábola cuya ecuación es:
x 2  4x  4 y  4  0
Dejamos de lado izquierdo de la igualdad los términos en X;
haciendo esto nos queda:
x 2  4x  4 y  4
x 2  4x  4  4 y  4  4
x 2  4x  4  4 y  8
( x  2) 2  4 ( y  2)
El vértice está en el punto (2, -2 ), el lado recto es igual a 4. Como
4p = 4, tenemos que p = 1, por lo tanto, la ecuación de la directriz es y = -3 y las
coordenadas del foco son (2, -1).
Ecuación
Ordinaria
Vértice
Eje
Foco
Lado
recto
(x - 2)2 = 4 (y +2)
(2, -2 )
X=2
(2, -1)
4
La gráfica es la siguiente:
96
Directriz
Y= -3
La parábola se
abre hacia arriba
si p>0
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplo: Hallar el vértice, lado recto, foco, ecuación de la directriz y trazar la
parábola cuya ecuación es:
y 2  6 y  8x  7  0
y 2  6 x  8 x  7
y 2  6 y  9  8 x  7  9
( y  3) 2  8 x  16
( y  3) 2  8 ( x  2)
Como el término del eje x es negativo, las ramas de la parábola se
extienden hacia la izquierda.
De la ecuación 4p = - 8,
Ecuación
Ordinaria
Vértice
Eje
entonces p = -2.
Foco
(y+3)2 = -8 (x - 2) ( 2, -3 ) Y = -3 (2-2, -3)
( 0 , -3 )
La gráfica es la siguiente:
97
Lado
recto
8
Directriz
X = 2 – (-2)
X =2 +2 = 4
La parábola se
abre hacia la
izquierda
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en ( 2, - 3 ), eje
paralelo al eje x, y pasando a través del punto (3,1).
Si usamos la información de la tabla: Formas estándar para
parábolas con vértice en el punto (h, k), la ecuación debe ser la siguiente:
( y  k ) 2  4 p ( x  h)
Puesto que el vértice es (2, -3 ), concluimos que h = 2 y k = -3. Si el punto ( 3, 1 )
está en la gráfica, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación, sustituimos tales
valores y obtenemos el valor de p.
( y  3) 2  4 p ( x  2)
(1  3) 2  4 p (3  2)
( 4 )2  4 p (1)
16  4 p
p
16
4
p4
Y por lo tanto, la ecuación de la parábola es:
( y  3) 2  16 ( x  2)
98
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ecuación
ordinaria
(y +3) = 16 ( x – 2 )
Vértice
( 2, 3)
Eje
Foco
y =- 3 (2+4,3)
(6,-3 )
La gráfica se presenta a continuación:
99
Lado
recto
16
Geometría Analítica
Directriz
X=2–4
X= -2
La parábola se
abre hacia
la
derecha si p>0
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejercicios.
Para cada parábola encuentre los elementos faltantes. Haga la gráfica de las
ecuaciones.
( y  3) 2  8( x  2)
( x  2) 2  y  0
x 2  6 x  y  11  0
x 2  2x  4 y  3  0
y 2  4 y  4x  3  0
y 2  4 y  6x  8  0
Encuentre la ecuación de la parábola que satisfaga las condiciones dadas.
Foco (0, 7) directriz y  7
Foco (0,  5) directriz y  5
3
3 
Foco  , 0  directriz x   0
2
2 
Foco (2, 3) directriz y  3
Foco (1, 2) vértice (7, 2)
Vértice (5, 1) directriz y  7
Vértice (1,4) directriz x  0
100
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ecuación de la parábola dados tres puntos
Las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de la parábola,
( x  h) 2  4 p( y  k )
( y  k ) 2  4 p( x  h)
y
contienen tres constantes arbitrarias independientes, que son: h, k y p; de la
misma manera, las ecuaciones de la parábola en forma general,
x2 
D
E
F
x y 0
A
A
A
y
y2 
D
E
F
x y 0
C
C
C
Contienen también tres constantes arbitrarias e independientes, que son:
D E F
, y
A A A
Para la primera ecuación y
D E F
, y
C C C
Para la segunda ecuación.
Dadas las ecuaciones anteriores, la ecuación de la parábola en cualquiera de sus
formas (segunda ordinaria y general) se obtiene al determinar los valores de las
tres constantes respectivas.
Dadas tres condiciones independientes que den lugar a tres ecuaciones
independientes, las cuales están en función de las tres constantes arbitrarias y
que al resolver el sistema anterior, se demuestra que geométrica y analíticamente
la ecuación de la parábola queda perfectamente determinada.
101
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplo: Determinar la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al
eje “y” y que pasa por los tres puntos L (-2, 9 ), M ( 0, 1) y N ( 3, 4 ).
Con base a las condiciones del problema, emplearemos la ecuación de la
parábola en su forma general.
Ax 2  Dx  Ey  F  0
de donde se reduce a:
x2 
D
E
F
x y 0
A
A
A
se igualan los siguientes términos:
D' 
D
,
A
E' 
E
A
y
F
F
A
Por lo tanto, la ecuación se puede expresar en la forma
x  D' x  E' y  F '  0, en donde las tres condiciones por determinar son: D’,
E’ y F’.
2
Como los tres puntos dados pertenecen a la parábola, sus
2
coordenadas deben satisfacer la ecuación x  D' x  Ey  F  0
Al aplicar la conclusión anterior, obtenemos las tres ecuaciones
siguientes correspondientes a los puntos dados:
x 2  D' x  E ' y  F '  0
Para L (-2, 9)
(2) 2  D' (2)  E 46 (9)  F '  0
  2 D'9 E ' F '  4
102
ecuación 1
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
x 2  D' x  E ' y  F '  0
Para M (0, 1)
(0) 2  D' (0)  E (1)  F '  0
 E ' F '  0
ecuación
2
x 2  D' x  E ' y  F '  0
Para N ( 3, 4 )
(3) 2  D' (3)  E ' (4)  F '  0
9  3D'4 E ' F '  0
 3D'4 E ' F '  9
ecuación
3
Si resolvemos por suma o resta las ecuaciones 1 y 3, obtenemos:
Si la ecuación 1 se multiplica por 3 y la ecuación 3 se multiplica por 2 resulta:
3 (-2 D’ + 9 E’+ F’ = - 4 )
2 ( 3 D’ + 4 E’+ F’ = - 9 )
________________________
- 6D’ + 27E’ +3F’ = -12
6D + 8E’ +2F’ = -18
De las ecuaciones anteriores obtenemos la cuarta ecuación:
35 E’ + 5F’ = - 30
Ecuación 4
Si se aplica el mismo método a la ecuaciones 2 y 4, obtenemos:
103
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Si la ecuación 2 se multiplica por –35, resulta:
- 35 ( E’ + F’ = 0 )
- 35 E’ - 35 F’ = 0
35 E’ + 5F´ = - 30
___________________
- 30 F’ = - 30
F' 
 30
1
 30
Al sustituir el valor de F’ en la ecuación 2, resulta:
E’ + F’ = 0
E’ + 1 = 0
 E '  1
al sustituir los valores de E’ y F’ en la ecuación 3, resulta:
3D’ +4E’ +F’ = -9
3D’ +4(-1) + 1 = -9
3D’ – 4 + 1 = -9
3D’ - 3 = -9
3D’ = -9 +3
D' 
6
3
 D'  2
Si se sustituyen los valores de las constantes D’, E’ y F’, en la
ecuación de la parábola en su forma general, resulta:
x2 + D’x + Ey + F’ = 0
x2 + ( -2)x + (- 1 )y + 1 = 0
 x2 - 2x -y + 1 = 0
104
Esta es la ecuación de la parábola
en su forma general.
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Al transformar la ecuación general de la parábola en su segunda
fórmula ordinaria, tenemos:
x 2  2x  y  1  0
Al ordenar los términos, tenemos:
x 2  2x  2 y  1
Al completar cuadrados en x, tenemos:
2
 2

x  2x      y  1   
 2

2
x  2x  1  y  1  1
2
2

2
2
Al factorizar, tenemos:
( x – 1)2 = y
Segunda forma ordinaria de la parábola.
De la ecuación anterior, tenemos que las coordenadas del vértice son:
V ( 1, 0 )
De la misma ecuación, tenemos que 4p = 1
Por lo tanto,
p
1
4
Como p > 0, la parábola se abre hacia arriba.
Las coordenadas del foco son F ( h, k + p ).
105
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
1   1 
 
 F 1,  0    1, 
4   4 
 
La ecuación de la directriz es:
y=k-p
y 0
1
1

4
4
Como el vértice
 1
 están sobre el eje de
 4
V(1,0) y el foco F 1,
simetría de la parábola, al ser éste paralelo al eje y, tenemos que la ecuación es:
x = h o x = 1.
La longitud del lado recto es: L.R.= 4 p
1
4
L.R.= 4  = 1
La gráfica se muestra a continuación.
106
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejercicios:
1. Encontrar las ecuaciones de las parábolas horizontales que pasan por los
puntos:
(-2, 4), (-3, 2) y ( 2,-4).
(-1, 1), (-1, -1) y ( -5, 0 )
(1, 0 ), (-19, -2) y (-14, 3 )
Encontrar el vértice, lado recto, foco, la ecuación de la directriz y la gráfica.
2. Encontrar las ecuaciones de la parábola vertical que pasa por los puntos:
(1, 0), (-3, 28), (2, 3)
(-1, 0), (- 2, -5), (3, 0)
Así como el vértice, lado recto, foco, la ecuación de la directriz y la gráfica.
107
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Aplicaciones de la parábola.
La parábola tiene muchas propiedades interesantes que la hacen
apropiada para ciertas aplicaciones. El diseño de espejos para telescopios y
ciertos sistemas de alumbrado se basan en un propiedad de reflexión importante
de las parábolas. En la siguiente figura se observa como un rayo de luz de un
punto fuente localizado en el foco de una parábola será reflejado a lo largo de una
recta paralela al eje.
Así, la forma de la superficie reflejarte en la mayoría de los
reflectores, los faros delanteros del automóvil y las luces intermitentes se obtienen
rotando la parábola alrededor de su eje. La fuente de luz se coloca en el foco.
Entonces, teóricamente, el resultado de este diseño es un rayo de luz paralelo al
eje.
Por supuesto, en realidad ocurrirá alguna dispersión de luz, puesto
que no hay un punto de fuente de luz.
108
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Por el contrario, si un rayo de luz que entra es paralelo al eje de una
parábola, será reflejado a lo largo de una recta que pase a través del foco.
Telescopios reflexivos, platos de satélite y antenas de radar utilizan esta propiedad
colocando la lente del telescopio y el equipo receptor para la antena en el foco de
un reflector parabólico.
Ejemplos: Una antena parabólica tiene un diámetro de un metro. Si tiene una
profundidad de 20 cm., ¿a qué altura debemos colocar el receptor?, es decir, ¿a
qué distancia está el foco del vértice?
Colocamos los ejes cartesianos de manera que el vértice de la
parábola esté en el origen y su eje coincida con el eje y. Entonces, la ecuación
es:
X2 = 4py
Debemos determinar el valor de p, que es la distancia del foco al
vértice.
Como el diámetro de la antena es un metro y ésta tiene una
profundidad de 20 cm., entonces, los puntos ( 0.5, 0.2) Y ( -0.5, 0.2) están en la
parábola, Sustituimos ( 0.5, 0.2) en la ecuación de la parábola y despejamos p.
(0.5) 2
= 4p (0.2)
0.25
= 0.8 p
p =
0.3125
Por lo que las coordenadas del foco son F( 0, 0.3125 ), así que
debemos colocar el receptor a una altura de 31.25 cm sobre el vértice.
La aplicación de las parábolas también se puede realizar en los
puentes colgantes, por ejemplo, si un cable carga peso homogéneo mucho mayor
109
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
que el peso del propio cable, éste toma la forma de una parábola. Esta propiedad
se utiliza en los puentes colgantes, como el Golden Gate, en la bahía de San
Francisco, en Estados Unidos. Tal como se muestra en la figura.
Si las torres de un puente colgante tienen una separación de 400
metros y los cables están atados a ellas a 200 metros arriba del piso del puente, ¿
qué longitud debe tener el puntal que está a 50 metros de la torre?. Supongamos
que el cable toca el piso en el punto medio V del puente.
Escogiendo el sistema de coordenadas como la sugiere la figura
anterior, tenemos que la ecuación de la parábola es x 2 = 4py. Debemos
encontrar p. Como el punto (200, 200) está en la parábola, resolvemos:
2002 = 4p (200)
Obteniendo p = 50. Así, la ecuación de la parábola es:
x2 = 200 y
Queremos encontrar ahora la segunda coordenada del punto de la parábola cuya
primera coordenada es x = - 150.
110
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Resolvemos
Obteniendo
(- 150)2
y
Geometría Analítica
= 200 y
225
 112.5
2
Así, la altura del puntal que está a 50 metros de la torre es de 112.5 metros.
111
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejercicios:
Un puente tienen una longitud de 160 metros. El cable que lo
soporta tiene la forma de una parábola. Si el puntal en cada uno de los extremos
tiene una altura de 25 metros, ¿cuál es la ecuación de la parábola?
En un puente colgante la distancia entre sus torres es de 300 metros
y la altura de las torres es de 100 metros. Describe la ecuación del cable que
soporta el puente.
Utilizando los datos del problema anterior, encuentra la altura del
puntal que se encuentra a 50 metros del centro del puente.
Un diseñador de automóviles desea construir un faro que tenga 16
centímetros de diámetro. La bombilla que va a utilizar en él tiene el filamento de 2
centímetros del cuello. ¿Qué profundidad debe tener el faro para que el filamento
quede en el foco del faro si el cuello de la bombilla se coloca a la altura del vértice
del faro.
La antena de un radiotelescopio en forma de paraboloide tiene un
diámetro de 8 metros. Si la profundidad de la antena es de 0.5 metros, ¿a qué
distancia del vértice debe colocarse el receptor.
112
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Unidad V
113
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Definición.
Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la
suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos (F1 y F2) llamados
focos, es constante.
Si M es un punto móvil de la
curva,
F y F’ los focos, se
cumple la condición:
MF +
MF’
=
constante
Es decir, que si el punto M se
mueve a lo largo de toda la
curva la suma de estos
segmentos de rectas es el
mismo.
En la figura
AA’ Y
BB’ son los ejes de simetría de la elipse y O su centro de
simetría
AA’ es el eje mayor, diámetro mayor o eje
focal y se representa por 2a.
BB’ es el eje menor, diámetro menor o eje
no focal y se representa por 2b.
FF’ es la distancia focal y se representa
por 2c.
114
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
MF y MF’ se llaman radios vectores o
simplemente vectores.
Construcción geométrica de la elipse.
Existen dos métodos sencillos para el trazo de una elipse, los cuales
son:
Método del jardinero
1. Trazar un plano cartesiano.
2. Identificar eje “x” (abscisa) y “y” (ordenada).
3. En el eje de las ordenadas se marcará dos puntos cualesquiera
(considerando la misma distancia para los positivos (+) y negativos (-).
4. Utilizando el cordón mayor a 10 cm, el cual tendrá sujetado en uno de sus
extremos un lápiz y en el otro servirá de apoyo en el punto asignado en el
eje Y (primero los positivos y después los negativos).
5. Se trazará el arco del eje de las abscisas positivas (X) al eje de las
ordenadas positivas (Y) y de aquí al eje de las abscisas negativas (X).
6. De la misma manera se traza para el lado opuesto, obteniendo el lugar
geométrico (elipse).
115
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Método del escantillón
1. Trazar un plano cartesiano en donde el eje de las abscisas (X) será el eje
mayor (A, B).
2. En el eje de las ordenadas (Y) será el eje menor (C, D) y el punto de
intersección de ambos ejes será el centro de la elipse (O).
3. Cortar una tira de papel de 20 cm de largo por 4 cm de ancho.
4. Marcar en la tira de papel el eje mayor y el eje menor, partiendo del centro.
Colocando el #3 para el eje menor y el #2 para el eje mayor. El #1 se
marcará colocando el #2 en el centro del eje menor al punto C.
5. Para trazar la elipse se colocará la tira de papel de tal forma que el punto
dos coincida con el eje de las abscisas positivas y el punto tres coincida con
el eje de las ordenadas negativas.
6. Marcando en el punto 1 la distancia obtenida, girando la tira de papel del
centro C al punto B.
7. Repetir el mismo procedimiento para los puntos C a A.
8. Invirtiendo la tira de papel para los puntos A, D y D, B.
116
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ecuación de la elipse con centro en Ecuación de la elipse con centro en el
el origen y eje focal coincidente con origen y eje focal coincidente con el
el eje coordenado xx’.
eje coordenado yy’.
y2
x2 y2
+ =1
a2 b2
a2
+
x2
b2
=1
Donde:
a: representa el valor numérico del eje mayor (abscisas) positivas y negativas.
b: representa la mitad de la longitud del eje menor (ordenadas).
x y y: ejes coordenados del plano cartesiano.
117
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ecuación de la elipse con centro no coincidente con el origen y eje focal paralelo al
eje xx’.
(x - h)2
a2
+
( y - k )2
b2
=1
Como se observa en la figura cuando el centro de la elipse se
encuentra fuera del origen del plano cartesiano sus coordenadas son (h,k).
Ecuación de la elipse con centro NO coincidente con el origen y eje focal paralelo
al eje xx’.
(y - h)2 ( x - k )2
a2
118
+
b2
=1
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Elipse cuyo centro tiene por coordenadas (h, k) y eje focal paralelo al
eje coordenado yy’.
Ejemplo: Obtener la ecuación ordinaria de la elipse con C(3,2), eje mayor paralelo
al eje “x” , 2a=4 y 2b=3.
Solución.
Como el eje mayor de la elipse es paralelo al eje “x” la ecuación
ordinaria es:
(x - h)2
a2
+
( y - k )2
b2
=1
Para obtener el valor de a y b únicamente despejamos.
a=
4
=2
2
b=
3
2
Sustituyendo:
(x - 3)2 (y - 2)2
+
2 =1
(2)2
3
2
Realizando operaciones:
(x - 3)2
4
+
(y - 2)2
119
9
4
=1
C(3,2)
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Gráfica de la ecuación
Despejando “y” tenemos:
y=±
(x - 3)2
9
(1) +2
4
4
Tabulando y dando valores a
“x” para obtener “y”.
Ejemplo: Hallar la ecuación ordinaria de la elipse con A (6,0), A’(-6,0), 2b= 10.
Solución. Si gráficas los puntos AA’ en el plano cartesiano observa
que el eje mayor se encuentra en el eje “x” por los que su valor es 2a =12 y centro
en el origen C (0,0), por lo que se deduce que la ecuación buscada es de la forma:
x2 y2
+ =1
a2 b2
Obtenemos el valor de a y b.
a=
12
=6 ;
2
b=
Sustituyendo tenemos:
x2
62
+
y2
52
120
=1
10
=5
2
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Realizando operaciones:
x2 y2
+ =1
36 25
Gráfica de la ecuación:
Despejando “y”
tenemos:
para graficar
900 - 25x2
y=±
36
Tabulando y dando valores a
“x” para obtener “y”.
Ejemplo. Obtener la ecuación de la elipse con los datos siguientes: A(0,8), A’(0,8),
F(0,6).
Solución. Si graficamos los datos en el plano cartesiano observamos
que el eje mayor AA’ se encuentra en el eje “y” y el centro de la elipse en el origen
del plano cartesiano, por lo que se deduce que la ecuación buscada es de la
forma:
y2 x2
+
=1
a2 b2
121
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Obtenemos el valor de a.
Obtenemos el valor de b con Pitágoras.
2a = AA' = 16
c = OF = 6
16
2
a = 8
a =
b = 64 - 36 =
28
Sustituyendo el valor de a y b:
y2
x2
+
=1
82 ( 28 )2
y2 x2
+
=1
64 28
Ecuación ordinaria
de la elipse.
Ecuación general de la elipse.
Para obtener la ecuación general de la elipse desarrollamos la
ecuación ordinaria, por ejemplo si la ecuación de la elipse es:
y2 x 2

1
64 28
o sea:
28 y2 + 64 x2 = (64)(28)
64x2 + 28 y2 = 1792
16 x2 + 7 y2 = 448
16 x2 + 7 y2 – 448 = 0
122
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Representación gráfica de la ecuación.
64x2 + 28 y2 = 1792
y =  1792 – 64 x2
28
Verifica en la figura anterior si los elementos son los correctos e
identifica con colores cada uno de ellos.
123
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Familia de Elipses
Una familia de elipses es un conjunto de ellas que satisfacen cierta condición.
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la familia de elipses cuyo eje no focal es la
recta con ecuación x = 8, diámetro mayor = 6 y diámetro menor = 2
Solución:
Todas las elipses de la familia son horizontales, ya que el eje no focal
es vertical. El centro de cualquier elipse de la familia es: C(8,k) para algún valor
de k. Puesto que el diámetro mayor es 6, tenemos que a = 3 y , como el diámetro
menor es 2, entonces b = 1
La ecuación de la elipse correspondiente es:
( x  8)
( y  k)2

1
9
1
Para representar la familia de elipses, se asignan valores a k = -2, 1, 4, 7
124
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Tangentes y Secantes a la elipse
y2 x2
+
= 1 la bisectriz del ángulo formado por
Dado P, un punto en la elipse,
a2 b2
la recta FP y la recta F’ P que, con excepción de P, contiene solo puntos fuera de
la elipse, es la recta tangente a la elipse en el punto P
Ejemplo:
125
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejercicios:
1. Encuentra la ecuación de la elipse cuyos focos son F(6,0), F’ (-6,0) y tal que la
suma de las distancias de los puntos de ella a los focos sea 16.
2. Encuentra la familia de elipses cuyos vértices son V(-2,6) y V’ (-2,-4)
3. Encuentra la ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados y
que pasa por los puntos dados: P(5,2), Q(4,5), R(-2,5), S(-2,-1)
4. Dibuja las figuras de los ejercicios anteriores.
126
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Unidad VI
127
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Definición
La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos que tienen
una característica en común y esta es, que la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante.
S i M es un punto cualquiera de la
curva y F y F’ los focos, la siguiente
condición se cumple.
MF´- MF = CONSTANTE
AA' Es el eje focal, eje
transverso o eje real y se
representa por 2a.
BB'
Es el eje no focal, eje
Imaginario o eje conjugado y se
representa por 2b.
FF'
Es la distancia focal y se
representa por 2c.
B y B’ están situados de modo
que CA y CA' .
A y A’ son los vértices de la
hipérbola.
Lado recto de la hipérbola
128
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Construcción por puntos.
La hipérbola se puede construir por puntos, utilizando la regla y el
compás, mediante el siguiente procedimiento.
Para iniciar el trazo, se sitúan sobre una recta los puntos A y A’. En
seguida se localizan O, punto medio de la AA' y se traza en dicho punto la
perpendicular que corresponde al eje BB’. Sobre la recta AA’ se sitúan F y F’, de
modo que OF  OF' y OF  OA.
Después se toma un punto cualquiera por ejemplo C, en el eje focal,
de manera que OC  OF. Con radios CA y CA' , haciendo centro en F y F’ se
determinan los puntos M y M’, con radios CA y CA' , haciendo centro en F y F’, se
determinan también los puntos N y N’. En forma análoga se toman otros puntos, y
repitiendo el trazo anterior se obtendrán nuevos puntos de la hipérbola.
Para un punto móvil M situado en cualquiera de las ramas de la hipérbola se
cumple siempre la condición:
MF'  MF'  AA'  2a ó Distancia focal
Relación entre los ejes y la distancia focal.
En una hipérbola cualquiera como la que se muestra en la siguiente
gráfica se tiene por construcción
AB  OF  c
129
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Entonces en el ∆ OAB, que es un rectángulo en O se tiene:
c2  a2  b2
Fórmula que permite calcular la longitud de una de los ejes o la
distancia focal, cuando se conocen los otros dos elementos.
Ejemplo. Trazar la hipérbola según los datos: si a = 6, b = 8
Sustituyendo el valor de a y b en : c2  a2  b2
Tenemos:
c 
62  82
c 
36 64
c 
100
c = 10
Construyendo la gráfica tenemos:
130
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados.
Ecuación ordinaria de la hipérbola cuyo eje real coincide con XX’ y eje imaginario
coincide con YY’
Cuando el centro de la hipérbola coincide con el origen del plano
cartesiano y el eje real de la hipérbola con el eje XX’ como se ve en la figura.
La ecuación de la hipérbola es:
x2 y 2

1
a 2 b2
Ecuación ordinaria de la hipérbola cuyo eje real coincide con yy’ y eje
imaginario coincide con xx’
Cuando el centro
de la hipérbola
coincide con el
origen del plano
cartesiano y el eje real de la
hipérbola con el eje YY’ como se
ve en la figura.
La
ecuación
de la hipérbola es :
y2 x 2

1
a 2 b2
131
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplo. Hallar la ecuación de la hipérbola con los siguientes datos:
F’ (-3, 0),
F (3, 0),
2a = 4
Por los datos se observa que se trata de una hipérbola cuyo eje focal
coincide con el eje XX’. Como se ve en la figura:
FF’ = 2 c = 6
c = 3, a = 2
Sustituyendo el valor c y a en:
b  c2  a 2
b  94
b 5
Sustituyendo en la ecuación ordinaria de hipérbola tenemos:
x 2 y2

1
4
5
132
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplo: determinar la ecuación de la hipérbola con los datos siguientes:
A( 0 , 7), A’( 0, -7); B( 5, 0), B’( -5, 0)
Por los datos que tenemos al graficarlos en el plano cartesiano se
observa que se trata de una hipérbola en la que AA’ coincide con BB’ con YY’
AA'  2a  14,
a7
BB'  2b  10,
b5
Sustituyendo el valor de a y b, en la ecuación ordinaria de la
hipérbola tenemos:
y2 x 2

1
49 25
Ecuación ordinaria de la hipérbola
133
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ecuación de la hipérbola cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados.
Eje focal paralelo al eje xx’ del plano cartesiano.
Si M(x,y) es un punto cualquiera de la hipérbola y C(h,k) el centro de
simetría, como se ve en la figura.
La ecuación ordinaria de la
parábola es:
x  h 2  y  k 2
a2
b2
1
Eje focal paralelo al eje YY’ del plano cartesiano.
La ecuación ordinaria de la
hipérbola es:
y  k 2  x  h 2
a2
134
b2
1
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Si el centro de la hipérbola coincide con el eje XX’, como k=0 la
ecuación ordinaria se reduce a:
x  h2  y 2
a2
b2
1
Si el centro de la hipérbola coincide con el eje YY’, como h=0 la
ecuación ordinaria de la hipérbola se reduce a:
x 2 y  k 

1
a2
b2
2
Ejemplo. 0btener la ecuación ordinaria de la hipérbola con los siguientes datos:
C(3,5) , AA' // XX' ,
2a  4,
2b  6
Por los datos que se proporcionan se observa que la ecuación de la
hipérbola es de la forma
x  h 2  y  k 2
a2
Como a = 4/2 = 2
la ecuación anterior se tiene
x  32  y  5 2
4
9
1
b2
1
y b = 6/2 = 3,
sustituyendo en
Ecuación ordinaria de la hipérbola
135
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Para poder graficar en el plano cartesiano despejamos a “y”, y
tabulamos, es decir damos valores a “x” para obtener “y”,
 x  32

y   9 
 1  5
 4

Gráfica
136
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejemplo. Encontrar la ecuación ordinaria de la hipérbola si:
F(-4,5),
F’( -4,-3)
y A(-4,-1)
Por los datos que se proporcionan se observa que los focos y el
punto A están situados sobre una paralela al eje YY’, por lo tanto la ecuación es
de la forma:
y  k 2  x  h 2
a2
b2
1
Las coordenadas del centro las podemos obtener con el punto medio
de FF'
CA  a  2
Por la resta de las coordenadas de los puntos C y A
CF  c  4
Para obtener el valor de b por Pitágoras tenemos que
c = 4, despejando b
b  c2  a 2 
a=2
16 - 4  12
Sustituyendo los datos en la ecuación ordinaria tenemos
y  12  x  42
4
12
1
Ecuación ordinaria de la hipérbola
137
y
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Para poder graficar en el plano cartesiano despejamos a “y”, y
tabulamos, es decir damos valores a “x” para obtener “y”,
y
 x  42

4 
 1
 12

Gráfica
138
 1
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ecuación general de la hipérbola.
Para obtener la ecuación general de una hipérbola desarrollamos la
ecuación ordinaria, por ejemplo si la ecuación de una hipérbola es de la forma:
x2
y2
=1
64 36
Realizando la fracción del miembro izquierdo de la igualdad, e
igualando a cero tenemos:
36x 2 - 64y 2
=1
2304
36x 2 - 64y 2 = 2304
36x2 - 64y2 - 2304 = 0
Ecuación general de la hipérbola
Si la ecuación ordinaria de la hipérbola es de la forma:
(y + 3)2
4
-
(x - 2)2
12
=1
Realizando la fracción del miembro izquierdo de la igualdad,
resolviendo los productos notables, e igualando a cero tenemos:
12 (y + 3)2 - 4 (x - 2)2
=1
48
139
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
12 (y 2 + 6 y + 9) - 4 (x 2 - 4x + 4) = 48
12y 2 + 72y + 108 - 4x 2 + 16x - 16 - 48 = 0
12y2 - 4x2 + 72y + 16x + 44 = 0
Ecuación general de la hipérbola
Recta tangente a la hipérbola: es aquella recta que toca en un solo
punto a la hipérbola y se obtiene determinando la bisectriz de MF' y MF como
se ve en la figura:
En el caso de las hipérbolas la bisectriz de los radios vectores es la
recta tangente a la hipérbola en un punto cualquiera M.
140
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Ejemplo: F’(0,2), F(6,0), son los focos de una hipérbola en la que
2a =2√2, sobre la curva se toma el punto T(2,4), calcular, la ecuación de la curva,
la ecuación de los radio vectores y la ecuación de la recta tangente a la hipérbola
en el punto T.
Solución: si T(2,4) es un punto cualquiera de la hipérbola, por definición se tiene
que:
F' T - FT = 2a
......... 1
Sustituyendo los datos en la igualdad anterior llegamos a la ecuación general de la
hipérbola:
F' T = (x - 0)2 + (y - 2)2
FT = (x - 6)2 + (y - 0)2
Sustituyendo los datos en la igualdad (1)
(x - 0)2 + (y - 2)2 -
(x - 6)2 + (y - 0)2 = 2 2
Pasando un radical al miembro derecho de la igualdad y elevando al cuadrado
para eliminar radicales
[ (x - 0) + (y - 2) ] = [
2
x 2 + (y - 2)2 =
2
2
(x - 6)2 + (y - 0)2
[ (x - 6) + y ] + (2)(2
2
2
2
+ 2 2
]
2
2 ) (x - 6)2 + y 2 + (2 2 )
2
x 2 + (y 2 - 4 y + 4) = (x 2 - 12x + 36) + y 2 + 4 2 (x - 6)2 + y 2 + 4(2)
141
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Dejando el radical en el miembro izquierdo de la igualdad y reduciendo términos
semejantes.
x 2 + y 2 - 4y + 4 - x 2 + 12x - 36 - y 2 - 8 = 4 2 (x - 6)2 + y 2
12x - 4y - 40 = 4 2 (x - 6)2 + y 2
Elevando nuevamente al cuadrado para eliminar el radical y resolviendo e
igualando a cero.
(12x
[
- 4y - 40)2 = 4 2 (x - 6)2 + y 2
]
2
144x 2 - 96 xy - 960x + 16y 2 + 320y + 1600 = (16)(2)[(x - 6)2 + y 2 ]
144x 2 - 96 xy - 960x + 16y 2 + 320y + 1600 = 32[(x 2 - 12x + 36) + y 2 ]
144x 2 - 96 xy - 960x + 16y 2 + 320y + 1600 - 32x 2 + 384x - 1152 - 32y 2 = 0
Reduciendo términos semejantes y simplificando, obtenemos la ecuación general
de la hipérbola.
112x2 - 16y2 - 96xy 576x + 320y + 448 = 0
7x2 - y2 - 16xy - 36x + 20y + 28 = 0
142
SBG
Geometría Analítica
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Para obtener
punto – punto.
la
ecuación de los radios vectores
Para: F’(0,2) y T(2,4)
y-2=
Para: F(6,0) y T(2,4)
4-2
(x - 0)
2-0
y-2=
utilizamos la fórmula
y-0 =
2
x
2
4-0
(x - 6)
2-6
y-2=
x - y+2 = 0
4
(x - 6)
-4
x+y-6 = 0
Como en una hipérbola la ecuación de la tangente en cualquier punto es la
bisectriz de los radio vectores, con la fórmula de distancia de un punto a una recta.
x- y+2
x+y-6
=1+ 1
1+ 1
Realizando operaciones e igualando a cero obtenemos la ecuación de la tangente
en el punto T(2,4).
2•
x- y+2
= - (x + y - 6)
2
x - y+2+ x+ y -6 = 0
2x - 4 = 0
Por la tanto la ecuación de la recta tangente en el punto T es x = 2,
graficando en el plano cartesiano:
143
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Ejercicios: Hallar la ecuación ordinaria y general de la hipérbola y representar
gráficamente en cada caso.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
F(4,0), F’(-4,0), 2 a = 4
F(0,3), F’(0.-3), 2 b = 2
A(5,0), A’(-5.0); B(0,3), B’(0,-3)
F(5,0), F’(-5,0); A(4,0), A’(-4,0)
A(0,3), A’(0,-3); distancia focal = 10
F(6,0), F’(-6,0); lado recto = 10
En cada uno de los ejercicios reducir la ecuación general a la
ecuación ordinaria de la hipérbola y determinar las coordenadas del centro,
vértices y focos, las longitudes de los dos ejes y las ecuaciones de las asíntotas.
1. x2 - 9 y2 - 4 x + 36 y - 41 = 0
2. 4x2 - 9 y2 + 32 x + 36 y + 64 = 0
3. x2 - 9 y2 - 4 x + 36 y - 41 = 0
144
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
En cada uno de los siguientes ejercicios obtener la ecuación de la tangente
trazada desde el punto P, a las siguientes hipérbolas:
1. 3 x2 – 4 y2 = 12; P ( 6, 5 )
2. 4 x2 – 5 y2 = 64; P ( 1, -2 )
3. 3 x2 – 2 y2 = 30; P ( 1, -3 )
Ejercicios de Hipérbola.
Identifica sin graficar cuáles de las siguientes ecuaciones podrían representar una
hipérbola.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9 x 2  6 y 2  8x  32y  5  0
9 x 2  16y 2  12x  10y  3  0
4 x 2  4 y 2  12x  10y  3  0
 x2  y2  5  0
y 2  3x  2 y  7  0
7 y 2  12x 2  28y  31  0
x 2  y 2  13x  2 y  0
Obtener la ecuación de la hipérbola con los siguientes datos:
1. V(0,3) y V’(0,-3) y los focos F(0,4) y F’(0,-4).
2. Vértices V(2,0) y V’(-2,0) y los focos F(3,0) y F’(-3,0).
4
3
3. Vértices V(3,0) y V’(-3,0) y excentricidad e = .
4. Focos F(3,0) y F’(-3,0) y excentricidad e =
3
2
5. Vértices V(0,2) y V’(0,-2) y longitud de los lados rectos r = 9.
145
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Determina las coordenadas del centro, los vértices y los focos, la longitud de cada
lado recto, el valor de la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de cada
una de las siguientes hipérbolas.
1.
2.
3.
4.
5.
2 x 2  9 y 2  18  0
9 x 2  4 y 2  36  0
9 y 2  4 x 2  36  0
5 y 2  4 x 2  20  0
4x 2  y 2  4  0
En cada una de las siguientes hipérbolas determina las coordenadas del centro,
de los vértices y de los focos, la longitud de cada lado recto, el valor de la
excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas.
1.
2.
3.
4.
5.
5x 2  4 y 2  20x  8 y  4  0
 3x 2  4 y 2  6 x  24y  21  0
4 x 2  y 2  16x  6 y  3  0
x 2  5 y 2  16x  10y  9  0
9 x 2  6 y 2  54x  36y  27  0
Las ecuaciones dadas a continuación representan hipérbolas con centro en el
origen y focos en el eje “y”, determine en cada caso: vértices, focos, longitud de
los ejes, longitud del lado recto, excentricidad, ecuaciones de las asíntotas y
grafique.
1.
y2 x2

1
25 9
2.
y2 x2

1
16
9
Las ecuaciones dadas a continuación corresponden a hipérbolas con centro en el
origen, determine si sus focos están en el eje “x” ó en el eje “y”.
1. 4x 2  3 y 2  12
2. 16y 2  25x 2  400
3. x 2  y 2  4  0
146
SBG
Escuelas Preparatorias
Oficiales del Estado de México
Geometría Analítica
Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos
(-6,-4) y (2,-4) es igual a 6.
Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera que pasa por el punto (3,-1) y tiene
por asíntotas a los ejes de coordenadas.
Hallar las coordenadas de los vértices y focos, así como la excentricidad de la
hipérbola que es conjugada a la que tiene por ecuación 9x 2  4 y 2  36 .
Obtener la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto M(-1,2) y cuyas
asíntotas tienen por ecuaciones x  3 y  4  0 y x  3 y  8  0 .
147