La GEOMETRIA

La geometría:
Origen y desarrollo de la geometría
El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y
definió
las
operaciones;
hizo
relaciones,
y
determinó
las
propiedades
numéricas.
Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos
adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario.
Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza
de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y
todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos,
líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el
nombre de geometría.
El río Nilo
Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó
para explicarse la naturaleza nacieron, en forma práctica, a orillas del río Nilo,
en el antiguo Egipto.
Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos
ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a
los desbordes que causaban las inundaciones periódicas.
El aporte griego
Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al
incorporar demostraciones en base a razonamientos.
Tales de Mileto (600 a.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de
explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y
evidentes.
Euclides (200 a.C.) le dio su máximo esplendor a esta corriente científica.
Recogió los fundamentos de la geometría y de la matemática griega en su
tratado Elementos.
es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un
cuerpo
de
conocimientos
prácticos
en
relación
con
laslongitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy
desarrollada,
según
los
textos
de Heródoto, Estrabón y Diodoro
Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en
forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir
durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar
las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como
importante fuente de resolución de problemas geométricos durante
más
de
un
milenio. René
Descartes desarrolló
simultáneamente
el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las
figuras
geométricas,
tales
como
las curvas planas,
podrían
ser
representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones.
La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca
de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a
la creación de la topología y la geometría diferencial.
La geometría durante los periodos prehistórico y protohistórico
Es razonable pensar que los orígenes de la geometría surge con los
primeros pictogramas que
traza
el
hombre
primitivo
pues,
seguramente, clasificaba aun de manera inconsciente lo que le
rodeaba según su forma. En la abstracción de estas formas comienza
el primer acercamiento informal e intuitivo a la geometría. Así parece
confirmarlo la ornamentación esquemática abstracta en vasijas de
cerámica y otros utensilios.
La geometría en el Antiguo Egipto
.
Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco
ciertos
conocimientos
geométricos
de
carácter
eminentemente
práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada,
como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que
los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a
los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas
–o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para
calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica.
Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las
parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones
anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la
tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').
Los
denominados Papiro
de
Ahmes y Papiro
de
Moscú muestran
conjuntos de métodos prácticos para obtener diversas áreas y
volúmenes, destinados al aprendizaje de escribas. Es discutible si
estos documentos implican profundos conocimientos o representan
en cambio todo el conocimiento que los antiguos egipcios tenían
sobre la geometría.
Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta
civilización
sobre
geometría
–así
como
los
de
las
culturas
mesopotámicas– pasó íntegramente a la cultura griega a través
de Tales de Mileto, los pitagóricos y, esencialmente, de Euclides.
La Geometría griega antes de Euclides
La primera demostración del teorema de Pitágoras probablemente
usó un diagrama como el que se muestra.
La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los
conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y
mesopotámica, y da un paso de
abstracción al considerar los objetos como entes ideales –un
rectángulo ideal, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo
en lugar del ojo de un pozo, etc.– que pueden ser manipulados
mentalmente, con la sola ayuda de regla y compás. Aparece por
primera vez lademostración como justificación de la veracidad de un
conocimiento
aunque,
en
un
primer
momento,
fueran
más
justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.
Tales permaneció
en Egipto una
larga
temporada
de
su
vida,
aprendiendo de los conocimientos de sacerdotes y escribas. Fue el
primero en ser capaz de calcular la altura de las Pirámides de Egipto.
Para ello midió su propia altura, y en el preciso momento en el que su
sombra medía exactamente la misma cantidad, mandó a marcar la
sombra del vértice de la Gran Pirámide. De esa forma pudo calcular
exactamente cuál era su altura.1También se le atribuye la predicción
de un eclipse solar.
La figura de Pitágoras y de la secta por él creada: los pitagóricos,
tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento
primigenio el concepto de número (filosofía que de forma más
explícita o más implícita, siempre ha estado dentro de la Matemática
y de la Física), arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina –
en este momento inicial de la historia de la Matemática aún no hay
una
distinción
clara
entre
Geometría
y Aritmética–,
y
asienta
definitivamente el concepto de demostración (éste ya sí coincide con
el
concepto
de
demostración
formal)
como
única
vía
de
establecimiento de la verdad en Geometría.
Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición del radio de
la Tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la
Luna,
y
la
investigación
y
establecimiento
de
la
teoría
de
las palancas, por Arquímedes, varios siglos después.
En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis de la
Matemática: la aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es
de carácter más aritmético que geométrico.
Surge entonces un pequeño problema de Lógica, que consiste en lo
siguiente: una demostración parte de una o varias hipótesis para
obtener un resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis
dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído
(esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la
veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis
ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder
determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada
una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos
también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en
el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.
Después de Euclides
Euclides casi cierra definitivamente la geometría griega –y por
extensión la del mundo antiguo–, a excepción de las figuras
deArquímedes y Apolonio de Perge.
Arquímedes
analizó
exhaustivamente
las secciones
cónicas,
e
introdujo en geometría otras curvas como la espiral que lleva su
nombre, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera,
basado en los del cilindro y el cono.
Esquema
de
las
tres
secciones
cónicas:elipse, parábola e hipérbola (más la circunferencia).
Apolonio trabajó
en
varias
construcciones
de
tangencias
círculos, así como en secciones cónicas y otras curvas.
[editar]Los tres problemas geométricos de la Antigüedad
entre
La geometría griega era incapaz de resolver tres famosos problemas
geométricos (que heredarán los matemáticos posteriores), puesto
que
debían
ser
resueltos
utilizando
únicamente
la regla
y
compás «ideales», únicos instrumentos válidos en la geometría
griega. Estos tres problemas son los siguientes:
[editar]La duplicación del cubo
Cuenta la leyenda que una terrible peste asolaba la ciudad de Atenas,
hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la
ciudad fue al oráculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar
qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras
consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el altar
consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una
peculiaridad:
su
forma
cúbica.
Prontamente,
los
atenienses
construyeron un altar cúbico cuyos lados eran el doble de las del altar
deDelos, pero la peste no cesó, se volvió más mortífera. Consultado
de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era el
doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo
es el cubo de su lado (
). Nadie supo cómo construir
un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de
otro cubo dado, y el problema matemático persistió durante siglos
(no
así
la
enfermedad).La
trisección
del
ánguloArtículo
principal: Trisección del ángulo.
Este problema consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres
ángulos iguales, empleando únicamente la regla y el compás, de
manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ángulos sea
exactamente la medida del primero.La cuadratura del círculo
Artículo principal: Cuadratura del círculo.
La cuadratura del círculo consiste en tratar de obtener un cuadrado
cuya área mida exactamente lo mismo que el área de un círculo
dado. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en
las paredes de su celda. Fue apresado por explicar diversos
fenómenos que los griegos atribuían a los dioses. Tampoco pudo ser
resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser el
paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés David
Hume llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el
problema. Hume no tenía suficientes conocimientos matemáticos, y
nunca aceptó que sus métodos eran fallidos.La Geometría en la Edad
Media
Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos
de la mano de hindúes y árabes en Trigonometría y Álgebra (el uso
de
la notación
posicional y
del cero),
aunque
relacionadas
con
la Astronomía y la Astrología; pero en geometría apenas hay nuevas
aportaciones. En Occidente, a pesar de que la Geometría es una de
las siete Artes liberales (encuadrada en el Quadrivium), las escuelas y
universidades se limitan a enseñar los "Elementos", y no hay
aportaciones.La Geometría Proyectiva
Es
en
el Renacimiento cuando
las
nuevas
necesidades
de
representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas
a
estudiar
propiedades
geométricas
para
obtener
nuevos
instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se
enmarca
la
figura
del
matemático
y
arquitecto Luca
Pacioli,
de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti,
de Piero della Francesca, por citar sólo algunos. Todos ellos, al
descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las
bases formales en la que cimentar las nuevas formas de Geometría
que
ésta
implica:
la Geometría
proyectiva,
cuyos
principios
fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII.
Esta nueva geometría de Desargues fue estudiada ampliamante ya
por Pascal o por de la Hire, pero debido al interés suscitado por la
Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión como
merecía hasta la llegada a principios del siglo XIX de Gaspard
Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.
Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas
que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la
geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y
diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.
Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría
descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones,
geometría fractal, y geometría no euclídea.
Geometría demostrativa primitiva
El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los
primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del
tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los
edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto,
Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.
Pitágoras
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra
angular de la geometría científica al demostrar que las
diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría
empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un
número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados
fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como
verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento
matemático moderno se consideran como un conjunto de
supuestos útiles pero arbitrarios.
Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los
matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia
más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades
de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de
estos axiomas.
Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier
triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la
hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras).
La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y
círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada
rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos".
El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de
texto básico de geometría hasta casi nuestros días.
Primeros problemas geométricos
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea
o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un
compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces
más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en
dos ángulos iguales.
Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se
resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron
resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de
un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área
igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado
en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla
y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente
demostrada hasta 1882.
Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la
familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron
muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son
importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por
ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son
fundamentalmente cónicas.
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un
considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó
Apolonio de
formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la
Perga
superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies
curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para
calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la
circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70
y 3 10/71.
Geometría analítica
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad
media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y
matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método",
publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la
geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina
en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las
figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en
la mayor parte de la geometría moderna.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades
de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas
de un plano a otro.
Un ejemplo sencillo de geometría proyectiva queda ilustrado en la figura 1.
Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier
posición de una cónica, por ejemplo una
circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c,
B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las
intersecciones de dichas líneas están en una recta.
De la misma manera, si se dibujan seis tangentes
cualesquiera a una cónica, como en la figura 2, y se
trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas
de las tangentes, estas líneas se cortan en un punto
único.
Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto
para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar
de una a otra utilizando las proyecciones apropiadas,
como en la figura 3, que muestra que la proyección de
una circunferencia es una elipse en el otro plano.
Modernos avances
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo
XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái
Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado,
desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea.
Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el
llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer
alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de
espacio, aunque, eso sí, coherentes.
Carl Fiedrich
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley
Gauss
desarrolló la geometría para espacios con más de tres
dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada
uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se
crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del
plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio
tridimensional.
Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se
sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio
tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es
conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones
tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular
en el desarrollo de teorías de la relatividad.
János Bolyai
También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras
geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras
similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como
geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es
la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en
espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.
En los cuatro primeros
casos, las figuras son los
bien conocidos punto, línea,
triángulo y tetraedro
respectivamente. En el
espacio de cuatro
dimensiones, se puede
demostrar que la figura más sencilla está compuesta por
cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas,
diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro,
analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro
vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.
Arthur Cayley
Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el
siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría
fractal.