(si la barra abajo), tenemos

Dividiendo por la magnitud dx, que llamaremos dx (si la barra abajo), tenemos:
d
   
dx

dx1 e1  dx2 e 2  dx3 e3
dx
Es un vector UNITARIO. El resultado anterior indico que la derivada direccional es igual al
producto escalar del gradiente por un vector unitario en la dirección en que se desea calentar la
derivada.
Si se escoge el vector unitario en la dirección del se obtiene LA MAXIMA TASA DE
CAMBIO de la función. Por tanto:


La dirección del gradiente apunta en la dirección de la máxima tasa de cambio de la
función.
La magnitud del gradiente es igual a la máxima tasa de cambio de la función.
DIVERGENCIA
Suponga que tenemos una función vectorial de la posición, como velocidad, desplazamiento a
fuerza, u xi  , entonces podemos aplicar el operador nabla a esa función vectorial mediante un
producto punto para obtener la denominada DIVERGENCIA.
DIVERGENCIA VELOCIDAD =   u  Escalar
u 

(uk )  uk1k
xk
¿Que interpretación física le podemos dar a la divergencia?
Suponga que tenemos un elemento infinitesimal de volumen fijo en el espacio, y un fluido que
entre y sale del volumen, cuyo campo de velocidades es u ( xi ) . El volumen de fluido que sale
del elemento se puede calcular así:
 u1dx2 dx3  (u1 
u1
dx1 )dx2 dx3
x1
 u2 dx1dx3  (u2 
u2
dx2 )dx1dx3
x2
 u3dx1dx2  (u3 
u3
dx2 )dx1dx2
x3

u 
 u1  1 dx2 dx3
x1 

dx2
u1dx2 dx3
 u u u 
  1  2  3 dx1dx2 dx3
 x1 x2 x3 
dx1
Volumen del fluido que sale
Unidad de tiempo
   u dx1dx2 dx3
dx3
Por tanto, en este problema físico, la divergencia es proporcional al volumen por unidad de
tiempo que sale del elemento, o el volumen que DIVERGE del elemento. Mas adelante veremos
que para flujo incompresible el principio de conservación de masa equivale a que la divergencia
sea cero.
Rotacional
Si se aplica ahora el operador nabla al campo vectorial mediante un producto vectorial se
obtiene el denominado ROTACIONAL.
ROTACIONAL
   u  Resultado vector
Vector completo
:   u   ikm
Componentes i

um ei
xk
  u   ikmum, k ei
  ui   ikmum,k
índice libre igual a izquierda y derecha.
¿Qué interpretación física le podemos dar al rotacional?
Supongo que un cuerpo rígido gira respecto a un eje fijo con una velocidad angular w.
La dirección de la velocidad angular coincide con
el eje de giro. La velocidad de un punto del cuerpo
cuya posición esta definida por el vector posición.
r  x1 e1  x2 e2  x3 e3  xk ek
Esta dada por
u  w r ,
uk   kmn wm xn
Si le calculamos ahora el rotacional a este campo
de velocidades obtenemos:
  u i   imk

u k    imk   kst  ws xt 
xm
xm
Componentes k de la velocidad
 w
x 
   u i   imk  kst  s xt  ws t 
xm 
 xm
Pero
ws
 0, ya que el eje esta fijo.
xm
xt
  tm , ya que los ejes son ortogonales
xm
Por tanto:
  u i   imk  kst wstm   itk kst ws
Propiedad de substitución  tm
  u i  itk kst ws ,
ya que
 kst   stk
(Propiedad de permutación)
  u i  2isws  2wi
Ya que
 itk stk  2 is
libres
Se observa entonces que en este caso   u  2w
Podemos interpretar entonces al rotacional de la velocidad como una medida que tiene el flujo
de rotar.
Gradiente de una función vectorial
Si se aplica el operador nabla mediante un producto diádico o externo a una función vectorial
se obtiene un tensor de segundo orden denominado gradiente.
Por ejemplo, si se aplica al desplazamiento se obtiene
 u 

(u j )ei  e j  u j ,i ei  e j
xi
La parte simétrica del gradiente de la función desplazamiento es una medida de deformación
valida si las rotaciones y desplazamientos son pequeños, como se mostrara adelante. Las
componentes de este gradiente se pueden escribir en un arreglo matricial así:
 u1,1

u1, 2
u1,3
u2,1
u 2, 2
u3 , 3
u3,1 

u3 , 2 
u3,3 
Cuando se tiene un tensor de segundo orden, se puede siempre descomponer en su parte
simétrica y antisimetrica así. Sean ij las componentes del tensor entonces.
Parte simétrica
=
ij
(s)
ij
(a)


ij   ji
2
ij   ji
2
Observe que se cumple que:
ij
(s)
 ij
(s)
,
ij
(a)
 ij
(a)
Además, se puede demostrar que esta descomposición es única.
Ejemplo:
3  0  2
0
 4  2 3  4 0
4 2 2  0 2 0.5  2
0
1.5

 
 
3  1 8  3 0.5 8  0  1.5 0 
Parte simétrica parte antisimétrica