Examen de cálculo integral. Curso 2007/08

Examen. 2ª evaluación
4/03/2008
Opción A
Ejercicio 1.
(Puntuación máxima: 2 puntos)
Obtener el valor del siguiente límite: ∫
lim
t 2 ln (1 + 4t 2 ) dt
x
0
x5
x →0
Aplicación del teorema fundamental del cálculo integral: “Si f ( x ) es continua en [ a , b] entonces la función A ( x ) = ∫ f ( t ) dt es derivable en [ a , b] y A′ ( x ) = f ( x ) para todo x ∈ [ a , b] ” x
a
Como es una indeterminación del tipo 0
, estamos en las condiciones del teorema de L´Hôpital 0
lim
∫
x
0
t 2 ln (1 + 4t 2 ) dt
x →0
x
5
lim
x 2 ln (1 + 4 x 2 )
x →0
5x
4
= lim
ln (1 + 4 x 2 )
x →0
5x
2
8x
2
lim 1 + 4 x
x →0
10 x
= lim
x →0
8
4
=
2
10 (1 + 4 x ) 5
ˆ
( indica que aplicamos la regla de L′ Hopital
)
Ejercicio 2.
(Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcula las integrales indefinidas: ∫
a)
x2 + 5
dx
x3 − 2 x2 + x
Es una integral racional, factorizamos el denominador y separamos en fracciones simples x ( x − 1)
A ( x − 1) + Bx ( x − 1) + Cx ( A + B ) x 2 + ( −2 A − B + C ) x + A
A
B
C
+
+
=
=
2
2
x x − 1 ( x − 1)2
x ( x − 1)
x ( x − 1)
2
x2 + 5
2
=
⎧A+ B = 1
⎪
⎨ −2 A − B + C = 0
⎪A = 5
⎩
x2 + 5
∫ x ( x − 1)
2
⎧A = 5
⎪
⇒ ⎨ B = −4
⎪C = 6
⎩
−4
5
6
1
1
6
−2
+c
dx = ∫ dx + ∫
dx + ∫
dx = 5∫ dx − 4 ∫
dx + 6∫ ( x − 1) dx = 5ln x − 4 ln x − 1 −
2
x
x −1
x
x −1
x −1
( x − 1)
IES Pedro de Tolosa
Matemáticas II
E
Examen.
2ª evaluación
∫
b
b)
∫e
−x
4/03/2008
4
sen3x
dx = ∫ e − x ⋅ sen3x ⋅ dxx ( aplicam
mos la integgración porr partes )
x
e
u = sen 3x ⇒ du = 3coss3 x dx / dv = e − x dx ⇒ v = ∫ e − x dx = − e − x
sen 3x dx
d = − e − x sen
n 3x − ∫ −e − x 3cos3x dx = − e − x sen3x + 3∫ e − x coos3 x dx = (*)
u = cos3x ⇒ du = −3sen3x dxx /
(*) = −e − x seen3x + 3 ⎡⎣ −e − x cos3x − ∫ e − x 3sen3x dx ⎤⎦
∫e
−x
dv = e − x dx ⇒ v = ∫ e − x dx = − e − x
⇒
sen 3x dx
d = − e − x sen
n 3x − 3e − x coos3x − 9 ∫ e − x sen 3x dx ⇒ 10 ∫ e − x sen
s 3 x dx = − e − x sen 3x − 3e − x cos3 x
−x
d =
∫ e sen3x dx
E
Ejercicio
3
3.
−e − x ( sen
s 3x + 3coss 3x )
+c
10
(Puntu
uación máx
xima: 2 pun
ntos)
C
Calcular el á
área del recinto limitad
do por las cu
urvas y = x 2 − 3x − 10 , y = 2 x − 4 . R
Representamo
os las funcion
nes para visua
alizar el área p
pedida C
Calculamos los
s puntos de co
orte entre las curvas ⎧ y = x 2 − 3 x − 10
⎧ x = −1
⇒ x 2 − 3x − 10 = 2 x − 4 ⇒ ⎨
⎨
⎩x = 6
⎩ y = 2x − 4
A = ∫ ⎡⎣( 2 x − 4 ) − ( x 2 − 3x − 100 )⎤⎦ dx = ∫ ( − x 2 + 5 x + 6 ) dx =
−1
−1
6
6
6
⎡ − x3 5x 2
⎤
⎡⎛ −216 180
⎞⎤
⎞ ⎛1 5
+
+ 36 ⎟ − ⎜ + − 6 ⎟ ⎥ =
=⎢
+
+ 6 x ⎥ == ⎢⎜
2
2
⎠ ⎝3 2
⎠⎦
⎣⎝ 3
⎦ −1
⎣ 3
1 5 343
= 60 − − =
3 2
6
I Pedro de Toolosa
IES
Ma
atemáticas II
E
Examen.
2ª evaluación
E
Ejercicio
4
4.
4/03/2008
4
(Puntu
uación máx
xima: 3 pun
ntos)
D
Determina e
el área com
mprendida entre la curvvas f ( x ) =
−4 x
(1 + x )
2 2
yy g ( x ) = − x . Dibuja laa situación r
representan
ndo para elllo las funcio
ones dadas. L
La función f ( x ) tiene dominio todos llos números rreales, corta aa los ejes en ell origen de cooordenadas, assí mismo es s
simétrica pues
sto que l
lim
x →∞
−4 x
(1 + x )
2 2
f ( − x ) = − f ( x ) , tiene una aasíntota horizzontal en la reecta y = 0 ppuesto que −4
12 x 2 − 4
′
lim
= 0 . Derivanndo obtenemoos que f ( x ) =
, vemos quee f ′ ( x ) = 0 2 3
x →∞ 2 1 + x 2 2 x
( )
(1 + x )
x=
e
en los puntos 48 x − 488x 3
1
1
1
y x = −
. D
Derivamos otrra vez f ′′ ( x ) =
y deduciimos que en x =
hay 4
3
3
3
(1 + x 2 )
1
⎛ 1 ⎞
mismo modo een x = −
hay un máxiimo; además ccomo f ′′ ( x ) = 0 en ⎟ > 0 , del m
3
⎝ 3⎠
x = 0 , x = 1 , x = −1 , hay 3 puntos de inflexión.
que f ′′ ⎜
u
un mínimo ya
E
El área pedida
a será igual a
a 2 A , para ca
alcularla debeemos encontrrar los puntoss de corte de las dos funcion
nes. −x =
−4 x
(1 + x )
2 2
⇒ x (1 + x
)
2 2
= 4 x ⇒ x ⎡⎢(1 + x
⎣
)
2 2
⎧x = 0
⎪
− 4 ⎤⎥ = 0 ⇒ ⎨1 + x 2 = 2 ⇒ x = ±1 ⎦
⎪
2
⎩ 1 + x = −2
1
⎛
⎡ −1 ⎤
1
1
⎡ x2 ⎤
−4 x ⎞⎟
1
2 −2
⎜
A = ∫ −x −
dx
x
d
dx
+
2
1
+
x
2
x
dx
x
+
=
−
=
−
2
⎢
⎥ =
(
)
2
⎢
⎥
∫
∫
2
0
0
0⎜
⎣ 2 ⎦0
⎢⎣ (1 + x ) ⎥⎦ 0 2
(1 + x 2 ) ⎟⎠
⎝
1
1
E
Entonces el ár
rea pedida es 2 A = 1 I Pedro de Toolosa
IES
Ma
atemáticas II
E
Examen.
2ª evaluación
4/03/2008
4
O
Opción
nB
E
Ejercicio
1
1.
(Puntuación máxiima: 2 puntos)
Determina eel área del rrecinto plan
D
no limitado por las gráfficas de las tres funcion
nes siguienttes: 2
2
y = 1 − x , y = x − 3 , y = x + 3 .
Represeentamos las fu
unciones para
a tener una id
dea clara de la
a región de la
a que deb
bemos calcula
ar el área. mos los punto
os de corte en
ntre las curvass: Calculam
⎧⎪ y = 1 − x 2
1
⇒ x2 − 3 = 1 − x2 ⇒ 2 x2 = 4 ⇒ x = ±
⎨
2
2
⎪⎩ y = x − 3
⎧y = x +3
⇒ x2 − 3 = x + 3 ⇒ x2 − x − 6 = 0 ⇒
⎨
2
⎩y = x −3
−1
A= ∫
−2
=∫
⎡ ( x + 3) − ( x 2 − 3)⎤ dx + ∫ 2 ⎡( x + 3) − (1 − x 2 )⎤ dx + ∫ ⎡( x + 3) − ( x 2 − 3)⎤ dx =
−1
1
⎦
⎣
⎣
⎦
⎣
⎦
2
(−x
2
+ x + 6 ) dx + ∫−1
1
−1
⎡ x3 x2
⎤
= ⎢− + + 6x⎥
⎣ 3 2
⎦ −2
I Pedro de Toolosa
IES
3
2
2
−1
−2
entonces el á
área pedida ees:
1
2
⎧x = 3
⎨
⎩ x = −2
2
2
(x
2
+ x + 2 ) dx + ∫ 1
1
2
(−x
3
2
+ x + 6 ) dx =
2
3
⎤ 2 ⎡ x3 x2
⎤
⎡ x3 x2
+ ⎢ + + 2x⎥
+ ⎢− + + 6 x ⎥
⎦ −1
⎣ 3 2
⎦1
⎣3 2
2
=
1 − 22 2
125
6
2
Ma
atemáticas II
E
Examen.
2ª evaluación
E
Ejercicio
2
2.
4/03/2008
4
(Puntuación máxiima: 3 puntos)
S
Sea la funció
ón f ( x ) = x ⋅ e3x . Esbo
oza la gráficca de la curvva y = f ( x ) y calculaa un número
o p > 0 1
p
para que el área limitad
da por la cu
urva y el ejee de abscisaas ente x = 0 y x = p sea .
9
L
La función f ( x ) tiene dominio todos llos números rreales, corta aa los ejes en ell origen de cooordenadas, noo es simétricaa yy tampoco tiene asíntotas vverticales ni o
oblicuas, sin eembargo y = 0 es asíntota horizontal ccuando x → −∞
lim ( x ⋅ e3x ) = lim
x →−∞
x →−∞
x
e
−3xx
lim
x →−∞
1
1
1
=
=
=0
−3 x
∞
− 3e
−∞
− 3e
D
Derivamos e ig
gualamos a ccero para busccar los extrem
mos de la funcción 1
f ′ ( x ) = 0 ⇒ e3 x ( 3x + 1) = 0 ⇒ ( 3x + 1) = 0 ⇒ x = − 3
1
⎛1⎞
hay un mínimo
f ′′ ( x ) = 3e3 x ( 3x + 1) + 3e3 x ⇒ f ′′ ( x ) = 3e3 x ( 3x + 2 ) ; f ′′ ⎜ ⎟ > 0 ⇒ en x =
m
.
3
⎝ 3⎠
2
f ′′ ( x ) = 0 ⇒ 3e3 x ( 3x + 2 ) = 0 ⇒ ( 3x + 2 ) = 0 ⇒ x = − hay un punto de inflexión
i
.
3
1
1⎞
⎛ 1
⎞
⎛
f ′ ( x ) > 0 ⇒ 3x + 1 > 0 ⇒ x > − ; en ⎜ − , ∞ ⎟ f ( x ) crece y en ⎜ −∞
∞ , − ⎟ deccrece.
3
3⎠
⎠
⎝ 3
⎝
f ′ ( x ) = e3x + 3x ⋅ e3 x ⇒ f ′ ( x ) = e3 x ( 3x + 1) ;
A=
p
1
3x
, pero tam
mbién A = ∫ x ⋅ e dx 0
9
Aplica
amos la fórmula
a de integració
ón por partes pa
ara calcular una prrimitiva de f ( x) ⎧u = x ⇒ du = dx
⎫
⎪
⎪
x
3
∫ x ⋅ e dx = ⎨dv = e3 x dx ⇒ v = e ⎬ =
⎪⎩
3 ⎪⎭
e3 x
e3 x
xe3 x e3 x
e3 x 1 3 x
−∫
= x⋅
d = x⋅
dx
− ∫ e dx =
−
3
3
3 3
3
9
3x
⎡ e3 x ( 3x − 1) ⎤
e3 p ( 3 p − 1) ⎛ 1 ⎞
x ⋅ e dx = ⎢
−⎜− ⎟
⎥ =
9
9
⎝ 9⎠
⎦0
⎣
p
∫
p
0
3x
Ig
Igualando la i
integral defin
nida al valor d
del área obten
nemos p e3 p ( 3 p − 1) 1 1
e3 p ( 3 p − 1)
1
+ = ⇒
= 0 ⇒ 3pp − 1 = 0 ⇒ p =
3
9
9 9
9
I Pedro de Toolosa
IES
Ma
atemáticas II
Examen. 2ª evaluación
Ejercicio 3.
4/03/2008
(Puntuación máxima: 2 puntos)
De la función f ( x ) se sabe que pasa por el origen de coordenadas y que su derivada es la función f ′( x) =
1
. Encontrar la expresión de f ( x ) .
1 + ex
f ( x ) será una primitiva de f ′ ( x ) y además cumple que f ( 0 ) = 0 . 1
∫ 1+ e
x
dx = ∫
1 dt
1
1
1
⋅ =∫
= ∫ dt − ∫
dt = ln t − ln t + 1 = ln e x − ln ( e x + 1) = x − ln ( e x + 1)
1+ t t
t ( t + 1)
t
t +1
dt
dt
⇒ dx =
x
e
t
A ( t + 1) + Bt ( A + B ) t + A ⎧ A + B = 0 ⇒ B = −1
1
A
B
= +
=
=
⇒⎨
t ( t + 1) t t + 1
t ( t + 1)
t ( t + 1)
⎩A = 1
cambio e x = t ⇒ e x dx = dt ⇒ dx =
f ( x ) = x − ln ( e x + 1) + c , pero f ( 0 ) = 0 ⇒ 0 − ln 2 + c = 0 ⇒ c = ln 2 ⇒ f ( x ) = x − ln (1 + e x ) + ln 2
Ejercicio 4.
(Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcula las integrales: sen x
1
2 sen x
1
a)
∫ 5 − 2cos x dx = 2 ∫ 5 − 2cos x dx = 2 ln (5 − 2cos x ) + c
b)
∫x
−2
3x − 8
3x − 8
2x + 3
1
2x
1
dx = ∫
= ∫ dx + ∫ 2
dx = −2 ∫ dx + ∫ 2
dx + 3∫
dx
3
2
+ 4x
x
x +4
x
x +4
4 + x2
x ( x + 4)
(*)
⎧A+ M = 0 ⇒ M = 2
2
A Mx + N Ax 2 + 4 A + Mx 2 + Nx ( A + M ) x + Nx + 4 A
3x − 8
⎪
= + 2
=
=
⇒ ⎨N = 3
2
2
2
x +4
x ( x + 4) x
x ( x + 4)
x ( x + 4)
⎪ 4 A = − 8 ⇒ A = −2
⎩
1
1
1
1
1
1
⎛x⎞
2
dx = arctg ⎜ ⎟
dx = ∫
dx = ∫
(*) ∫
2
2
2
x
4+ x
4
4 1+ x
4
⎝2⎠
1+
2
4
( )
3x − 8
3
⎛x⎞
dx = −2 ln x + ln ( x 2 + 4 ) + arctg ⎜ ⎟ + c
3
+ 4x
4
⎝2⎠
∫x
IES Pedro de Tolosa
Matemáticas II