MATRICES 1. Sean las matrices 1 0 1 2 2 2 A = 1 1 0 y B = 0 2 2 ; obtener A2 , B 2 , A3 , B 3 , AB − BA y −1 1 0 0 0 2 ( A + B )( A − B ) . 2. Obtener todas las matrices cuadradas de orden dos, tales que A = I 2 . 2 3. Obtener todas las matrices cuadradas de orden dos, tales que A ≠ 0 y A = 0 . 2 1 1 . −1 2 4. Hallar todas las matrices que conmutan con A = 1 0 0 5. Si A = 0 2 0 , calcular An . 0 0 3 1 0 0 6. Si A = 1 1 0 , calcular An . 1 1 1 cosα − senα 7. Sea A = senα , obtener A + At , A − At , A2 y An . cosα 8. Encontrar las matrices X e Y que verifiquen: 1 −1 X − 2Y = 7 2 2 X + Y = 2 3 1 4 1 2 0 1 y B= . 1 1 1 1 9. Calcular la matriz X que verifique XA = B 2 ; siendo A = I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II Ejercicios de matrices. Pag. 1 10. Hallar la matriz X que verifique XA + B = C , siendo: 0 2 0 4 −2 1 1 −3 5 A = 3 0 −3 , B = y C = . 5 1 −3 −2 4 −6 0 1 2 2 4 X +Y = −4 2 11. Determinar las matrices X e Y sabiendo que: 3Y − X = −2 8 −12 2 a a distintas de la matriz 0 b 12. Hallar todas las matrices A = 0 0 2 0 0 tales que A = A . Para una cualquiera de las matrices obtenidas, calcular M = A + A2 + ..... + A10 . −1 1 , hallar la matriz B para la cual se verifica A + B = AB . 2 −1 13. Dada la matriz A = 3 −4 a b encontrar las matrices B = tales que AB = − BA . 2 −3 0 c 14. Dada la matriz A = 15. Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica XA2 + BA = A2 , siendo 0 −2 0 0 −1 0 A = 0 −1 0 y B = 0 −2 0 . −1 0 0 −2 0 0 1 −1 2 −1 1 0 , B= , I = , hallar una matriz X tal que 0 1 1 −1 0 1 16. Dadas las matrices A = AXB = I . 3 0 7 4 17. Se sabe que la matriz A = −9 −2 5 2 2 −1 1 −6 verifica la igualdad A2 = A + I , siendo I la matriz 1 7 3 −3 identidad. Calcular A−1 y A4 . I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II Ejercicios de matrices. Pag. 2 2 0 8 −9 −1 , B= . Hallar una matriz X tal que XAX = B . 0 − 1 6 − 7 18. Sean las matrices A = 1 x 19. Determinar los valores de x , y , z para que se verifique la igualdad y 1 z y x 5 0 = . z 0 5 1 1 1 0 20. Sea k un número natural y sean las matrices A = 0 1 0 , B = 1 , C = (1 1 2 ) . 0 0 1 −1 Calcular Ak y hallar la matriz X que verifica la ecuación A X = BC . k 5 2 0 a b 0 21. Dadas las matrices A = 2 5 0 y B = c c 0 , encontrar las condiciones que deben 0 0 1 0 0 1 cumplir a , b y c para que se verifique AB = BA . Para a = b = c = 1 , calcular B10 . cos nx sen nx , x∈ℝ . − sen nx cos nx 22. Para cada número entero n , se considera la matriz An = Comprobar que An ⋅ Am = An + m y como aplicación calcular An−1 . 1 0 1 0 2 , I = , comprobar que A = 2 A − I . Determinar la matriz inversa de 3 1 0 1 23. Siendo A = A y la matriz A8 . 3 2 x 4 3 z 24. Resolver la ecuación matricial y 2 3 29 40 = . t 1 2 34 47 λ 5 25. Calcular los valores del parámetro λ para que la inversa de la matriz A = −2 coincida con −λ su opuesta. 2 a 1 0 tales que su inversa sea 2I − A , donde I = . b c 0 1 26. Determinar todas las matrices A = 2 3 1 1 , hallar una matriz X tal que AXA = . 1 2 2 3 27. Dada la matriz A = I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II Ejercicios de matrices. Pag. 3 0 −1 −2 1 0 0 28. Dadas las matrices A = −1 0 −2 , I = 0 1 0 determinar, si es posible, un valor de λ 1 1 3 0 0 1 para el que la matriz ( A − λ I ) sea la matriz nula. 2 2 2 −1 1 0 0 2 29. Se consideran las matrices A = −1 −1 1 , I = 0 1 0 . Calcular ( A − I ) y haciendo −1 −2 2 0 0 1 uso del resultado calcular A4 . 30. Sea M una matriz real cuadrada de orden n que verifica la identidad M 2 − 2 M = 3I , donde I denota la matriz identidad de orden n . Se pide: − Estudiar si existe la matriz inversa de M . En caso afirmativo, expresar M −1 en términos de M e I. − Expresar M 3 como combinación lineal de M e I . − Hallar todas las matrices de la forma M = a b que verifican la identidad del enunciado. b a 1 1 . 0 1 31. Hallar todas las matrices X tales que XA = AX , siendo A la matriz A = 32. Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A2 = I , siendo I la matriz identidad de orden n . Se pide: − Expresar A−1 en términos de A . − Expresar An en términos de A e I , para cualquier número natural n . − Calcular a para que A2 = I , siendo A la matriz A = 1 1 . 0 a 0 3 4 33. Dada la matriz A = 1 −4 −5 , se pide: −1 3 4 − Comprobar que se verifica la igualdad A3 + I = 0 , siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula. − Justificar que A tiene inversa y obtener A−1 . − Calcular A100 . 0 a , que cumplan A3 = A . b 0 34. Hallar las matrices A = I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II Ejercicios de matrices. Pag. 4 35. Se sabe que una matriz no nula A verifica A2 = A . Desarrolla la expresión matricial ( A − µ I ) , 3 siendo I la matriz identidad y µ una constante. Calcular µ sabiendo que se verifican las 3 relaciones A2 = A y ( A − µ I ) = A − µ I . 3 36. Encontrar un número real λ ≠ 0 , y todas las matrices B ∈ M 2×2 (distintas de la matriz nula), tales λ 0 3 0 = B ⋅ 3 1 9 3 que B ⋅ 37. Resolver la ecuación matricial XA = B + C , donde 1 1 0 A = 0 1 1 0 0 1 2 0 0 B = 1 1 2 2 0 1 3 6 38. Sabiendo que la matriz A = 3 3 1 1 0 C = 0 1 0 0 1 2 −2 −2 4 −5 −6 12 verifica A2 = A , determinar un valor no nulo del −3 −2 6 −3 −3 7 número real λ tal que ( λ A − I ) = I , siendo I la matriz identidad. 2 I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II Ejercicios de matrices. Pag. 5