MATRICES
1. Sean las matrices
1 0 1
2 2 2
A = 1 1 0 y B = 0 2 2 ; obtener A2 , B 2 , A3 , B 3 , AB − BA y
−1 1 0
0 0 2
( A + B )( A − B ) .
2. Obtener todas las matrices cuadradas de orden dos, tales que A = I 2 .
2
3. Obtener todas las matrices cuadradas de orden dos, tales que A ≠ 0 y A = 0 .
2
1 1
.
−1 2
4. Hallar todas las matrices que conmutan con A =
1 0 0
5. Si A = 0 2 0 , calcular An .
0 0 3
1 0 0
6. Si A = 1 1 0 , calcular An .
1 1 1
cosα
− senα
7. Sea A =
senα
, obtener A + At , A − At , A2 y An .
cosα
8. Encontrar las matrices X e Y que verifiquen:
1 −1
X − 2Y =
7 2
2 X + Y = 2 3
1 4
1 2
0 1
y B=
.
1 1
1 1
9. Calcular la matriz X que verifique XA = B 2 ; siendo A =
I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II
Ejercicios de matrices. Pag. 1
10. Hallar la matriz X que verifique XA + B = C , siendo:
0 2 0
4 −2 1
1 −3 5
A = 3 0 −3 , B =
y C =
.
5 1 −3
−2 4 −6
0 1 2
2 4
X +Y =
−4 2
11. Determinar las matrices X e Y sabiendo que:
3Y − X = −2 8
−12 2
a a
distintas de la matriz
0 b
12. Hallar todas las matrices A =
0 0
2
0 0 tales que A = A . Para una
cualquiera de las matrices obtenidas, calcular M = A + A2 + ..... + A10 .
−1 1
, hallar la matriz B para la cual se verifica A + B = AB .
2 −1
13. Dada la matriz A =
3 −4
a b
encontrar las matrices B =
tales que AB = − BA .
2 −3
0 c
14. Dada la matriz A =
15. Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica XA2 + BA = A2 , siendo
0 −2
0 0 −1
0
A = 0 −1 0 y B = 0 −2 0 .
−1 0 0
−2 0
0
1 −1
2 −1
1 0
, B=
, I =
, hallar una matriz X tal que
0 1
1 −1
0 1
16. Dadas las matrices A =
AXB = I .
3
0
7
4
17. Se sabe que la matriz A =
−9 −2
5
2
2 −1
1 −6
verifica la igualdad A2 = A + I , siendo I la matriz
1 7
3 −3
identidad. Calcular A−1 y A4 .
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Ejercicios de matrices. Pag. 2
2 0
8 −9
−1
, B=
. Hallar una matriz X tal que XAX = B .
0
−
1
6
−
7
18. Sean las matrices A =
1
x
19. Determinar los valores de x , y , z para que se verifique la igualdad
y 1
z y
x 5 0
=
.
z 0 5
1 1 1
0
20. Sea k un número natural y sean las matrices A = 0 1 0 , B = 1 , C = (1 1 2 ) .
0 0 1
−1
Calcular Ak y hallar la matriz X que verifica la ecuación A X = BC .
k
5 2 0
a b 0
21. Dadas las matrices A = 2 5 0 y B = c c 0 , encontrar las condiciones que deben
0 0 1
0 0 1
cumplir a , b y c para que se verifique AB = BA . Para a = b = c = 1 , calcular B10 .
cos nx sen nx
, x∈ℝ .
− sen nx cos nx
22. Para cada número entero n , se considera la matriz An =
Comprobar que An ⋅ Am = An + m y como aplicación calcular An−1 .
1 0
1 0
2
, I =
, comprobar que A = 2 A − I . Determinar la matriz inversa de
3
1
0
1
23. Siendo A =
A y la matriz A8 .
3 2 x
4 3 z
24. Resolver la ecuación matricial
y 2 3 29 40
=
.
t 1 2 34 47
λ
5
25. Calcular los valores del parámetro λ para que la inversa de la matriz A =
−2
coincida con
−λ
su opuesta.
2 a
1 0
tales que su inversa sea 2I − A , donde I =
.
b c
0 1
26. Determinar todas las matrices A =
2 3
1 1
, hallar una matriz X tal que AXA =
.
1 2
2 3
27. Dada la matriz A =
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Ejercicios de matrices. Pag. 3
0 −1 −2
1 0 0
28. Dadas las matrices A = −1 0 −2 , I = 0 1 0 determinar, si es posible, un valor de λ
1 1 3
0 0 1
para el que la matriz ( A − λ I ) sea la matriz nula.
2
2 2 −1
1 0 0
2
29. Se consideran las matrices A = −1 −1 1 , I = 0 1 0 . Calcular ( A − I ) y haciendo
−1 −2 2
0 0 1
uso del resultado calcular A4 .
30. Sea M una matriz real cuadrada de orden n que verifica la identidad M 2 − 2 M = 3I , donde I
denota la matriz identidad de orden n . Se pide:
−
Estudiar si existe la matriz inversa de M . En caso afirmativo, expresar M −1 en términos de M
e I.
−
Expresar M 3 como combinación lineal de M e I .
−
Hallar todas las matrices de la forma M =
a b
que verifican la identidad del enunciado.
b a
1 1
.
0 1
31. Hallar todas las matrices X tales que XA = AX , siendo A la matriz A =
32. Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A2 = I , siendo I la matriz
identidad de orden n . Se pide:
−
Expresar A−1 en términos de A .
−
Expresar An en términos de A e I , para cualquier número natural n .
−
Calcular a para que A2 = I , siendo A la matriz A =
1 1
.
0 a
0 3 4
33. Dada la matriz A = 1 −4 −5 , se pide:
−1 3 4
−
Comprobar que se verifica la igualdad A3 + I = 0 , siendo I la matriz identidad y 0 la matriz
nula.
−
Justificar que A tiene inversa y obtener A−1 .
−
Calcular A100 .
0 a
, que cumplan A3 = A .
b 0
34. Hallar las matrices A =
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Ejercicios de matrices. Pag. 4
35. Se sabe que una matriz no nula A verifica A2 = A . Desarrolla la expresión matricial ( A − µ I ) ,
3
siendo I la matriz identidad y µ una constante. Calcular µ sabiendo que se verifican las
3
relaciones A2 = A y ( A − µ I ) = A − µ I .
3
36. Encontrar un número real λ ≠ 0 , y todas las matrices B ∈ M 2×2 (distintas de la matriz nula), tales
λ 0
3 0
= B ⋅
3 1
9 3
que B ⋅
37. Resolver la ecuación matricial XA = B + C , donde
1 1 0
A = 0 1 1
0 0 1
2 0 0
B = 1 1 2
2 0 1
3
6
38. Sabiendo que la matriz A =
3
3
1 1 0
C = 0 1 0
0 1 2
−2 −2
4
−5 −6 12
verifica A2 = A , determinar un valor no nulo del
−3 −2 6
−3 −3 7
número real λ tal que ( λ A − I ) = I , siendo I la matriz identidad.
2
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0
