Examen II de números reales y álgebra. Curso 2011/2012

Examen de números y álgebra
23/1/2012
Ejercicio 1.
Calcula el valor de la expresión:
(
)
 b 
log a a ⋅ a − log b 
−3 
 b 

1
1
log b
⋅ log 1  a ⋅ 3 
3
a
b
a 
2
3
5
( )
5
5 ⋅ + 2 ⋅ log b b
= 6
1
−
3
1 6
− ⋅ log 1  
a
2
a 
−2
5
 1+ 3 
3


4
log a  a ⋅ a  − log b  b 2 




=
3
1
1
−
−


log b b 2 ⋅ log 1  a 2 ⋅ a 3 

a 
−2
5
=
5
5 ⋅ log a a 6 + 2 ⋅ log b b 2
1
3
− ⋅ log 1 a 6
2
a
=
25
85
+ 2⋅5
170
= 6
= 6 =
1
3  1
3
− ⋅− 
4
2  6
5
Ejercicio 2.
Si
2 = 1+
2 = 1+
⇒ 2=
1
2+
1
2+ x
1
2+
1
2+ x
, ¿cuál es el valor de x ? Comprueba las soluciones.
⇒
(
(
1
2+
)(
)(
4 + 3 2 3− 2
4+3 2
=
3+ 2 2
3+ 2 2 3− 2
si x = −1 − 2 ⇒ 1 +
=
( 7 + 3x ) ⇒
7 + 3x
⇒ 2=
2=
2
5 + 2x
(5 + 2 x )
2
 x = −1 + 2
49 + 42 x + 9 x 2
2
2
2
⇒
+
+
=
+
+
⇒
+
−
=
⇒
50
40
8
49
42
9
2
1
0
x
x
x
x
x
x

25 + 20 x + 4 x 2
 x = −1 − 2
si x = −1 + 2 ⇒ 1 +
=
2+ x
⇒
2 = 1+
5 + 2x
1
⇒
2 = 1+
4 + 2x + 1
2+ x
(
(
)(
)(
2+
= 1+
(
)
2 ) 12 + 9 2 − 8
=
9−8
2)
2 + −1 + 2
1
1
(
)
2 ) 12 − 9
=
2)
2 + −1 − 2
4 − 3 2 3+ 2
4−3 2
=
3− 2 2
3− 2 2 3+ 2
IES Pedro de Tolosa
1
= 1+
1
1
2+
1+ 2
2 − 12
1
1+ 2
= 1+
=
3+ 2 2
3+ 2 2
1+ 2
= 2
1
2+
= 1+
1
1− 2
= 1+
1
1− 2
= 1+
=
3−2 2
3− 2 2
1− 2
2 + 8 2 − 12
=− 2≠ 2
9−8
[1]
Matemáticas I
Examen de números y álgebra
23/1/2012
Ejercicio 3.
a) Escribe en forma de intervalo el conjunto de números que verifica la desigualdad:
3 + 2x
≥ 2 −2
4
3 + 2x
≥ 2−2
4
3 + 2x 1
 4 ≥ 4 ⇒ 3 + 2 x ≥ 1 ⇒ x ≥ −1 , x ∈ [ −1, + ∞ )

3 + 2x 1
⇒
≥
⇒
4
4
3 + 2x
1

≤ − ⇒ 3 + 2 x ≤ −1 ⇒ x ≤ −2 , x ∈ ( −∞ , − 2]
4
 4
Los números x ∈ ( −∞ , − 2 ] ∪ [ −1, + ∞ ) verifican la condición
3 + 2x
≥ 2 −2
4


b) Escribe, usando valor absoluto, la condición que deben cumplir los puntos del intervalo  −5 ,
7

3
7
7
22
11

; la mitad
= radio del entorno
 −5 ,  ⇒ distancia entre los extremos : − ( −5) =
3
3
3
3

7
−5+
7
3 = −4
El centro del entorno será el punto medio entre − 5 y :
3
2
3
4  11
4 11

 4  11
d  x ,−  <
⇒ x − −  <
⇒ x+ <
3 3
3 3

 3 3
-11/3
-5
-3
+11/3
-1
0
2
 2 n +1 − 1 



 2 n +1 − 1
 1 + 2 + 2 + 2 +⋯ + 2 
2
−
1
a ) lim 
 = lim  n +1
 = lim  n +1
n →∞ 1 + 3 + 32 + 33 + ⋯ + 3n

 n→∞  3 − 1  n→∞  3 − 1

2
 3 −1 

 2 ⋅ ( 2 n +1 − 1) 


=
 = lim
n →∞ 
3n +1 − 1 




-4/3
7/3
Ejercicio 4.
Calcula, razonadamente, los siguientes límites de sucesiones:
2
3
n
   2  n +1
1 
 2 ⋅ ( 2n +1 − 1) 
2
⋅
−





n +1 


 3 
3
n +1

∞


  = 2 ⋅ (0 − 0) = 0
3
 = lim
=  , dividimos por 3n +1  = lim 
n
+
1


1
1− 0
∞
 n →∞  3 − 1  n→∞ 
1
−

n +1
n +1


3
3






IES Pedro de Tolosa
[2]
Matemáticas I
Examen de números y álgebra
23/1/2012


 5n + 2 
2 
1
 5n 2 

∞
b) lim 
= ( indeterminación 1 ) = lim  +  = lim  1 +  = lim  1 +

n
n
n
n →∞
→∞
→∞
→∞
5
n
 5n 5n 
 5n 
 5n 


2
2n


1
= lim  1 +
n →∞
5n


2
2n
2n
2n


 =


5n 2
⋅ ⋅2 n
5n
2




=e
lim
4n
n →∞ 5 n
=e
lim
4
n →∞ 5
=e
4
5
Ejercicio 5.
Resuelve la inecuación
2 x ⋅ ( 3x 2 + 3x + 1) ≤ ( 2 x + 1) − 3x 2
2
6 x 3 + 6 x 2 + 2 x ≤ 4 x 2 + 4 x + 1 − 3x 2
6x2 − x − 1 = 0 ⇒ x =
⇒ 6 x 3 + 5x 2 − 2 x − 1 ≤ 0 ⇒
( x + 1) ( 6 x 2 − x − 1) ≤ 0
1
1
1 
1

, x=−
⇒ 6x2 − x − 1 = 6  x −   x + 
2
3
2 
3

1 
1

6 ( x + 1)  x −   x +  ≤ 0
2 
3

Ahora analizamos el signo del producto :
Entonces la inecuación queda
 1 1
− , 
 3 2
1
2
1

 , + ∞
2

+
+
+
+
−
0
+
+
+
−
−
−
−
0
+
0
+
0
−
0
+
( −∞ , − 1)
−1
1

 −1 , − 
3

x +1
−
0
+
1
3
1
x−
2
1
1
( x + 1)  x +   x − 
3
2

−
−
−
−
x+
−
1
3
 1 1
Solución : x ∈ ( −∞ , − 1] ∪  − , 
 3 2
IES Pedro de Tolosa
[3]
Matemáticas I
Examen de números y álgebra
23/1/2012
Ejercicio 6.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a ) 4 x +1 + 3 = 7 ⋅ 2 x
(2 )
2 x +1
− 7 ⋅ 2 x + 3 = 0 ⇒ 22 x + 2 − 7 ⋅ 2 x + 3 = 0 ⇒ 4 ⋅ 22 x − 7 ⋅ 2 x + 3 = 0 ⇒ ( cambio 2 x = z ) ⇒
 x = 1 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 0

⇒ 4 ⋅ z2 − 7 ⋅ z + 3 = 0 ⇒ 
3
3
3
⇒ 2x =
⇒ log 2 x = log ⇒ x log 2 = log 3 − log 4 ⇒
x =

4
4
4
⇒
x=
log 3 − log 4
log 2
1
b) log ( 2 x + 5) − log ( 6 x + 1) − log 3 = 0
2
1
1
log ( 2 x + 5) = log ( 6 x + 1) + log 3 ⇒ log ( 2 x + 5) = log ( 6 x + 1) 2 + log 3 ⇒
2
⇒ log ( 2 x + 5) = log
(
)
6x + 1 ⋅ 3 ⇒ 2 x + 5 = 3 ⋅ 6x + 1 ⇒
( 2 x + 5)
2
= 9 ( 6 x + 1) ⇒
⇒ 4 x 2 + 20 x + 25 = 54 x + 9 ⇒ 4 x 2 − 34 x + 16 = 0 ⇒ 2 x 2 − 17 x + 8 = 0 ⇒
⇒
x = 8


1
 x = 2
IES Pedro de Tolosa
ambas soluciones son válidas.
[4]
Matemáticas I