Examen de números reales y álgebra. Curso 2011/2012

Examen de números y álgebra
12/12/2011
Ejercicio 1.
Sin utilizar la calculadora encuentra el valor de la expresión:

1 
log 9  3 2 ⋅ 18 ⋅ 4
 = log 9
1
2


1
1
1
= log 9 3 12 = log 9 9 24 =
24
(
6
)
23 ⋅ 32 ⋅ 4 2 −2 ⋅ 3−1 = log 9
(
12
)
26 ⋅ 34 ⋅ 12 2 −6 ⋅ 3−3 = log9 12 3 =
Ejercicio 2.
En esta sucesión de tableros:
1 , 1 + 3 + 1 , 1 + 3 + 5 + 3 + 1 , ……
−
¿Cuántos cuadraditos tiene el que ocupa el décimo lugar?
1 + 3 + 5 + ⋯ + 19 + 17 + 15 + ⋯ + 3 + 1 = (1 + 3 + 5 + ⋯ + 19 ) + (1 + 3 + 5 + ⋯ + 17 ) =
=
−
(1 + 19 ) ⋅10 + (1 + 17 ) ⋅ 9 = 181
2
2
¿Cuántos cuadraditos tiene el que ocupa el centésimo lugar?
El impar que ocupa el lugar 100 es 2 ⋅ 100 − 1 = 199
1 + 3 + 5 + ⋯ + 199 + 197 + ⋯ + 3 + 1 = (1 + 3 + 5 + ⋯ + 199 ) + (1 + 3 + 5 + ⋯ + 197 ) =
=
−
(1 + 199 ) ⋅ 100 + (1 + 197 ) ⋅ 99 = 19801
2
2
Encuentra una fórmula para calcular el número de cuadraditos del n-ésimo tablero de la sucesión
(término general).
El impar que ocupa el lugar n es 2n − 1
1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2n − 1) + ( 2n − 3) + ⋯ + 3 + 1 = (1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2n − 1) ) + (1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2n − 3) ) =
=
(1 + 2n − 1) ⋅ n + (1 + 2n − 3) ⋅ ( n − 1) = 2n 2 + ( 2n − 2 )( n − 1) =
2
IES Pedro de Tolosa
2
2
[1]
2
n 2 + ( n − 1) = 2n 2 − 2n + 1
2
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Ejercicio 3.
Simplifica la siguiente expresión sabiendo que x ≠ 0 y x ≠ 1 .
x −1
x2 − x − x + 1
x2 − 2 x + 1
2
2


( x − 1) − 1 =
x 2 − 2 x + 1 − 1 ( x − 1) ( x − 1) x 2 − 2 x
x
x
x ⋅ 1 − 1  =
⋅
⋅
=
⋅
=
2
2
2
2
 ( x − 1) 2 
x
1
1 + x −1
x
x
x
x
−
1
−
1
−
1
(
)
(
)
(
)

+1 
x −1
x −1
x −1
x −1−
( x − 1) ( x 2 − 2 x ) ( x − 1)( x − 2 ) x ( x − 1)( x − 2 )
=
=
=
2
x2
x
x 2 ( x − 1)
3
Ejercicio 4.
Resuelve el sistema de ecuaciones sabiendo que x > 0 , y > 0
10

log y ( x ) + log x ( y ) =
3

 x ⋅ y = 144
⇒
log x ( x )
10
1
10
+ log x ( y ) =
⇒
+ log x ( y ) =
⇒
log x ( y )
3
log x ( y )
3
( cambiamos
log x ( y ) = a ) ⇒
a = 3 ⇒ log x ( y ) = 3 ⇒ y = x 3
1
10

2
2
⇒
+a =
⇒ 3 + 3 a = 10 a ⇒ 3 a − 10 a + 3 = 0 ⇒ 
1
1
3
a
3
a = ⇒ log x ( y ) = ⇒ y = x
3
3

 y = x3
Entonces : 
⇒ x 4 = 144 ⇒ x = 2 3 , y = 24 3
144
x
⋅
y
=

 y = 3 x ⇒ x = y 3

 x ⋅ y = 144
⇒ y 4 = 144 ⇒
y = 2 3 , x = 24 3
Ejercicio 5.
Resuelve la ecuación:

 2 x + 1 = x − 3 ⇒ x = −4


2
x − 2x + 1 = 3 ⇒ 2x + 1 = x − 3 ⇒ 
2
x
+
1
=
3
−
x
⇒
x
=


3

x − 2x + 1 = 3 ⇒ 

2 x + 1 = x + 3 ⇒ x = 2
 x − 2 x + 1 = −3 ⇒ 2 x + 1 = x + 3 ⇒ 
4

2x + 1 = −x − 3 ⇒ x = −


3

Después de comprobar las soluciones observamos que los valores que cumplen la igualdad son
x=2 y x=−
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4
3
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Ejercicio 6.
Dos marchadores hacen un recorrido de 22 km, saliendo del mismo lugar y al mismo tiempo. El primero,
que recorre cada dos horas un kilómetro más que el segundo, tarda 24 minutos menos que éste en hacer el
recorrido. ¿Qué velocidad llevaba cada uno de los marchadores?
Definimos nuestras incógnitas :
v = velocidad del 2º marchador en km / h ; t = tiempo que tarda el 2º marchador en h.
( v + 0,5) = velocidad
del 1º marchador en km / h ;
( t − 0, 4 ) = tiempo que tarda el
1º marchador en h.
24 minutos = 0, 4 horas
22 = v ⋅ t
 22

⇒ 22 = ( v + 0,5 )  − 0, 4  ⇒ 22v = ( v + 0,5 )( 22 − 0, 4v ) ⇒ 22v = 22v + 11 − 0, 4v 2 − 0, 2v

0,
4
22
=
v
+
0,5
t
−
v
(
)(
)



⇒ 0, 4v + 0, 2v − 11 = 0
2
v = 5

⇒ 2v + v − 55 = 0 ⇒ 
−11
v = 2

2
⇒
t=
22
2
= 4h + h
5
5
2º marchador : velocidad = 5 km / h ; tiempo = 4 h. y 24 min.
1º marchador : velocidad = 5,5 km / h ; tiempo = 4 h.
Ejercicio 7.
Dado el polinomio P ( x ) = x + ax + 4 x + b , sabemos que es divisible por
4
2
( x − 2)
y que el resto de
dividirlo entre ( x − 3) es el doble que el resto de dividirlo por x . Encuentra los valores de a y b y resuelve
la ecuación P ( x ) = 0 .
Sabemos que el resto de dividir P ( x ) entre ( x − a ) es igual a P ( a ) ( th. del resto )
 P ( 2 ) = 0 ⇒ 24 + a ⋅ 22 + 4 ⋅ 2 + b = 0 ⇒ 4a + b = −24
Entonces 
4
2
 P ( 3) = 2 ⋅ P ( 0 ) ⇒ 3 + a ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 + b = 2b ⇒ 9a − b = −93
4a + b = −24
⇒ 13a = −117 ⇒ a = −9 y b = 12

9a − b = −93
P ( x ) = x 4 − 9 x 2 + 4 x + 12 ; resolvamos ahora la ecuación P ( x ) = 0 , para ello factorizamos P ( x ) .
P ( x ) = ( x + 1)( x − 2 ) ( x + 3) , con lo que las soluciones de la ecuación ( x + 1)( x − 2 ) ( x + 3) = 0 son
2
2
x = −1 , x = 2 ( solución doble ) , x = −3.
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Ejercicio 8.
Dada la sucesión an =
2n
, calcula lim n 2 ⋅ ( an +1 − an ) .
n →∞
n +1
 2 ( n + 1)
 ( 2n + 2 )( n + 1) − 2n ( n + 2 ) 
2n 
 2n + 2 2n 
lim n 2 ⋅ ( an +1 − an ) = lim n 2 ⋅ 
−
= lim n 2 ⋅ 
−
= lim n 2 ⋅ 

 =


n →∞
n →∞
n →∞
( n + 2 )( n + 1)
 n + 2 n + 1  n →∞
 ( n + 1) + 1 n + 1 


2n 2
2
2


2
2n
∞
2
2

= lim n 2 ⋅ 
= lim 2
=  indet.  = lim 2 n
= lim
=
=2

 ( n + 2 )( n + 1)  n→∞ n + 3n + 2 
n →∞
n →∞
n→∞
3
2
n
+
3
n
+
2
∞
1
+
0
+
0



1+ + 2
n n
n2
Ejercicio 9.
Resuelve la ecuación exponencial 3x + 2 + 9 x −1 = 1458 .
3x + 2 + 9 x −1 = 1458 ⇒ 32 ⋅ 3x +
9x
32 x
t2
= 1458 ⇒ 9 ⋅ 3x +
= 1458 ⇒ ( cambiamos 3x = t ) ⇒ 9t + = 1458 ⇒
9
9
9
⇒ t 2 + 81 t − 13122 = 0 ⇒ t =
t = 81 ⇒ 3x = 81 ⇒ x = 4
−81 ± 812 + 4 ⋅ 13122 −81 ± 243
=
=
2
2
t = −162 ⇒ 3x = −162
Ejercicio 10.
1 − x2
Resuelve la inecuación
≥1
1 − 2x
1 − x2
−1 ≥ 0
1− 2x
⇒
1 − x2 − 1 + 2 x
≥0
1− 2x
2x − x2
≥0
1 − 2x
⇒
⇒
x (2 − x)
≥0
1 − 2x
Ahora analizamos el signo de la fracción :
( −∞ , 0 )
0
1

0 , 
2

1
2
1

 , 2
2

2
( 2 , + ∞)
x
−
0
+
+
+
+
+
2− x
+
+
+
+
+
0
−
1 − 2x
+
+
+
0
−
−
−
x ⋅ (2 − x)
1 − 2x
−
0
+
∃
−
0
+
 1
Solución : x ∈ 0 ,  ∪ [ 2 , + ∞ )
 2
IES Pedro de Tolosa
[4]
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