Modelo 2

IES MURILLO
Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS I
SEPTIEMBRE 2009
1) Resuelve las ecuaciones:
b) 2 ⋅ log x − log(x − 2) = log(3x − 4 )
a) 22x + 2x +2 − 2x −1 = 30
2) Resuelve las ecuaciones:
a)
x + 7 + x −1 = 2
b)
2x + 1
−
2
x −4
x+2
x −1
= 2
x −2 x − 4
3) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a)
⎫⎪
x2 − 4x < 0
⎬
2 ⋅ (x − 1) + 5 < 7 ⎪⎭
b)
2x − y > 0 ⎫
⎬
x+y <3 ⎭
4) Sin hacer uso de la calculadora, resuelve un triángulo ABC , siendo:
∧
A = 300 ;
∧
B = 450
c = 20 cm .
y
5) Resuelve la ecuación 2 ⋅ sen2x + 5 ⋅ cos x = 4
6) Dadas las rectas r ≡
⎧x = 1 + t
x −1 y −2
=
y s≡⎨
, se pide:
1
1
⎩y = 2 − t
a) Averigua su posición relativa.
b) Si se cortan, calcula las coordenadas del punto de corte y el ángulo que forman
y, si son paralelas, calcula la distancia entre ellas.
7) Dada la función f(x) =
x2 + 16
, se pide:
x
a) Continuidad y asíntotas.
b) Crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos.
c) Representación gráfica.
8) Calcula los siguientes límites:
a)
lim ⎛⎜ x2 + 9x − x2 − x ⎞⎟
⎠
x → +∞ ⎝
b)
lim
x →2
x3 − x2 − 8x + 12
x3 − 2x2 − 4x + 8
9) Calcula la derivada de cada una de las funciones siguientes:
f(x ) = ln
x +1
x+8
;
(
)
g(x ) = arctag x2 − 1 .
10) Halla los valores de a y b para que la función f(x ) = ax2 + bx − 1 tenga como
recta tangente en el punto de abscisa 1 la recta de ecuación y = 3x − 3 .
Nota: Todos los ejercicios tienen la misma puntuación
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2x
x +2
Departamento de Matemáticas
x −1
SOLUCIONES
−2
= 30 → (2x )2 + 2x ⋅ 22 − 2x ⋅ 2−1 = 30
z
z = 2x → z2 + 4z − = 30 → 2z2 + 8z − z = 60 → 2z2 + 7z − 60 = 0
2
1) a) 2
+2
4 → z = 4 = 2x ⇒ x = 2
− 7 ± 49 + 480 − 7 ± 23
z=
=
=
15
4
4
−
imposible
2
x2
x2
= log(3x − 4) →
= 3x − 4
b)
x −2
x −2
x2 = (x − 2)(3x − 4) → x2 = 3x2 − 6x − 4x + 8 → 2x2 − 10x + 8 = 0
1
x2 − 5x + 4 = 0 → x =
la solución x = 1 no es válida (saldría log(-1))
4
2 ⋅ log x − log(x − 2) = log(3x − 4 ) → log
x + 7 + x − 1 = 2 → x + 7 = 2 − x − 1 → x + 7 = (2 − x − 1 )2
2) a)
x + 7 = 4 − 4 x − 1 + x − 1 → 4 = −4 x − 1 → 1 = x − 1 → x = 2
Comprobación: 2 + 7 + 2 − 1 = 2 → 3 + 1 = 2
NO tiene solución
x+2
x −1
m.c.m. = (x + 2)(x − 2) = x2 − 4
= 2
x
−
2
x −4
x −4
2x + 1 (x + 2)(x + 2)
x −1
−
= 2
→ 2x + 1 − (x2 + 4x + 4) = x − 1
2
x
2
x
2
−
+
(
)(
)
x −4
x −4
b)
2x + 1
2
−
2x + 1 − x2 − 4x − 4 = x − 1 → −x2 − 3x − 2 = 0 → x2 + 3x + 2 = 0
−1
−3± 9 −8
x=
=
Solución x=-1(la solución –2 no es válida, anula denominador)
−2
2
3) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a)
⎫⎪ x(x − 4) < 0 ⎫
⎫ sol : (0,4 ) ⎫
x2 − 4x < 0
⎬
⎬→
⎬
⎬
2 ⋅ (x − 1) + 5 < 7 ⎪⎭ 2x − 2 + 5 < 7 ⎭2x < 4 ⎭ sol : (− ∞,2)⎭
Solución del sistema: la
intersección de ambas,
es decir (0,2)
2x − y > 0 ⎫
⎬ representamos las rectas:
x+y <3 ⎭
⎧2x − y = 0 ⎧y = 2x
→⎨
⎨
⎩x + y = 3
⎩y = 3 − x
b)
y marcamos los semiplanos correspondientes
a cada inecuación, la intersección de los
dos semiplanos es la solución del sistema,
marcada en azul y sin entrar ninguna de
las semirrectas.
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Departamento de Matemáticas
∧
4) Resuelve el triángulo ABC , siendo: A = 300 ;
∧
B = 450
c = 20 cm .
a
b
c
Cˆ = 180 − 75 = 105º
=
=
sen A sen B sen C
1
20 ⋅
a
20
2
=
→a=
sen 30 sen 105
6+ 2
4
y
2 1
3 2
6+ 2
⋅ +
⋅
=
2 2 2 2
4
b
20
40
40( 6 − 2 )
a=
=
= 10( 6 − 2 )cm ;
=
sen 45 sen 105
6 + 2 ( 6 + 2 )( 6 − 2 )
sen 105º = sen(45 + 60) = sen45 cos 60 + sen60 cos 45 =
b=
2
2 = 40 2 = 40 2 ( 6 − 2 ) = 10( 12 − 2)cm
6+ 2
6 + 2 ( 6 + 2 )( 6 − 2 )
4
20 ⋅
5) 2 ⋅ sen2x + 5 ⋅ cos x = 4 → 2(1 − cos2 x) + 5 cos x = 4 → 2 − 2 cos2 x + 5 cos x = 4
2 cos2 x − 5 cos x + 2 = 0 → cos x =
2 no válida
5 ± 25 − 16 5 ± 3
=
= 1
4
4
2
60º +360º k
⎛1⎞
x = arccos⎜ ⎟ =
k ∈Z
⎝ 2 ⎠ 300º +360º k
⎧x = 1 + t
x −1 y −2
=
y s≡⎨
, se pide:
1
1
⎩y = 2 − t
r
r
a) Averigua su posición relativa. dr = (1,1) , ds = (1,−1) vectores de dirección no
6) Dadas las rectas r ≡
paralelos, luego las dos rectas se cortan
b) Si se cortan, calcula las coordenadas del punto de corte y el ángulo que forman
y, si son paralelas, calcula la distancia entre ellas.
r ≡ x − 1 = y − 2 → x − y = −1
⎫ x − y = − 1⎫
⎬→
⎬ → 2x = 2 → x = 1 → y = 2 → P(1,2)
s ≡ t = x − 1 = − y + 2 → x + y = 3⎭ x + y = 3 ⎭
r r
Observamos que dr ⋅ ds = (1,1) ⋅ (1,−1) = 0 ⇒ r y s son perpendiculares, luego el
ángulo que forman es de 90º
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Departamento de Matemáticas
x2 + 16
7) Dada la función f(x) =
, se pide:
x
a) Continuidad y asíntotas. Continua en R − {0}
x2 + 16
=
x →0
x
Asíntota vertical: lim
x2 + 16 16
= − = −∞
lim
x →0 −
x
0
x2 + 16 16
lim +
= + = +∞
x →0
x
0
x = 0 A.Vertical
x2 + 16
= ∞ no tiene
x →∞
x
x2 + 16
Asíntota oblicua: y = mx + n → m = lim
=1
x →∞
x2
⎛ x2 + 16
⎞
⎛ x2 + 16 − x2 ⎞
⎟ = lim ⎛⎜ 16 ⎞⎟ = 0 → y = x A. Oblicua
− x ⎟ = lim ⎜
n = lim ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟ x → ∞⎝ x ⎠
x →∞
x
⎝ x
⎠ x → ∞⎝
⎠
Asíntota horizontal: lim
b) Crecimiento y decrecimiento y máximos y
mínimos.
f' (x) =
2x ⋅ x − (x2 + 16)
x2
=
x2 − 16
x = ±4 posibles extremos
x2
=0
Comprobamos:
Máximo (-4,-8) Mínimo(4,8)
c) Representación gráfica.
⎛⎜ x2 + 9x − x2 − x ⎞⎟ = (∞ − ∞) =
⎠
x → +∞ ⎝
⎛⎜ x2 + 9x − x2 − x ⎞⎟⎛⎜ x2 + 9x + x2 − x ⎞⎟
⎠=
⎠⎝
lim ⎝
x → +∞
⎛⎜ x2 + 9x + x2 − x ⎞⎟
⎝
⎠
10x
2
2
10
x + 9x − x + x
x
lim
= lim
=
=5
2
2
x → +∞ ⎛
x → +∞
2
⎞
9
1
⎜ x + 9x + x − x ⎟
1+ + 1−
⎝
⎠
x
x
3
2
x − x − 8x + 12 ⎛ 0 ⎞
= ⎜ ⎟ factorizamos numerador y denominador:
b) lim 3
x →2 x − 2x2 − 4x + 8 ⎝ 0 ⎠
8)a) lim
1
2
1
2
1
-1
2
+1
+2
+3
-8
+2
-6
+6
0
+12
-12
0
1
2
1
2
1
-2
+2
0
+2
+2
-4
0
-4
+4
0
+8
-8
0
IES MURILLO
Departamento de Matemáticas
(x + 3) 5
x3 − x2 − 8x + 12
(x - 2)2 (x + 3)
lim 3
= lim
=
= lim
2
2
x →2 (x − 2) (x + 2)
x →2 x − 2x − 4x + 8
x →2 (x + 2)
4
9) Calcula la derivada de cada una de las funciones siguientes:
x +1
x+8
1
1
x + 8 − (x + 1)
⋅
⋅
x +1
x +1
(x + 8)2
2
x+8
x+8
1
7
7
f' (x ) =
⋅
=
2
x + 1 (x + 8)
2(x + 1)(x + 8)
2
x+8
2x
2x
g(x ) = arctag x2 − 1 → g' (x) =
= 4
2
x − 2x2 + 2
1 + x2 − 1
f(x ) = ln
(
→ f' (x ) =
)
(
)
10) Halla los valores de a y b para que la función f(x ) = ax2 + bx − 1 tenga como
recta tangente en el punto de abscisa 1 la recta de ecuación
y = 3x − 3 → pendiente 3 ⇒ f' (1) = 3
también sabemos que la recta tangente lo es en el punto x = 1 ⇒ y = 3 − 3 = 0
es decir, f(1) = 0 → f(1) = a + b − 1 = 0
f' (x ) = 2ax + b → f' (1) = 2a + b = 3
Resolvemos el sistema:
a +b = 1 ⎫ a = 1−b
⎫
⎬ → 2 − 2b + b = 3 ⇒ −b = 1 ⇒ b = −1 → a = 2
⎬→
2a + b = 3⎭ 2(1 − b) + b = 3⎭
Solución: a = 2, b = −1