Descarga - colaboratorio

HORMIGÓN ARMADO Y
PRETENSADO:
EJERCICIO4
(CORTANTE)
Patricia Santos Sánchez
DNI. 70889545-A
EJERCICIO 4:
La viga indicada está sometida a una carga permanente
uniforme de 10kN/m, y a una carga de uso de 100kN, en el centro
del vano. Se puede considerar que el control de ejecución fue
intenso. La sección es 0,50·0,45 (ancho * canto). Definir las
armaduras longitudinales y transversales necesarias, es decir, su
armadura. HA25, B400S. Se apoya en los extremos en sendos de
apoyos cuadrangulares de 0,30·0,30.
SOLUCIÓN:
 Aplicación de los niveles de control (95.5):
Lo primero que hay que hacer es mayorar las cargas, para ello
tenemos el dato del enunciado que nos dice que el nivel de control
de ejecución ha sido intenso. Mirando la tabla 95.5 obtenemos
entonces:
 Carga de 10kN/m es una carga permanente: G= 1,35
10kN/m · 1,35= 13,5kN/m
 Carga de 100Kn es una carga permanente de valor no
constante: G*= 1,50
100kN · 1,50= 150kN
 Cálculo de las reacciones:
F=0 
Ax=Bx
Ay + By= 150 + (13,5 · 8)=258
MA=0  (By· 8) = (150 · 4) + (13,5 · 4 · 8)= 1.032
By= 1.032/8= 129kN
Ay + By= 258, Ay = 258 - By = 258 – 129= 129kN
Ay = By = 129kN
Estamos ante un sistema hiperéstatico de grado uno. Quitamos
un apoyo  Ax = 0.
 Cálculo de momentos flectores:
Tenemos dos tramos:
0  x  4:
F=0  V= Ay – (13,5 · x)= 129 – (13,5 · x)
-RECTA-
MG=0  M= (Ay · x) – (13,5 · x · x/2)=
= (129 · x) – (13,5 · x2/2)
Para x= 0
-PARÁBOLA-
V= 129kN
M= 0
Para x= 4
V= 75kN
M= 408 kN·m
4  x  8:
F=0  V= Ay – (13,5 · x) – 150 = 129 – (13,5 · x) -150 -RECTAMG=0  M= (Ay · x) – (13,5 · x · x/2) – [150 · (x-4)]=
= (129 · x) – (13,5 · x2/2) - [150 · (x-4)] -PARÁBOLA-
Para x= 4
V= - 75kN
M= 408kN·m
Para x= 8
V= - 129kN
M= 0
Representación gráfica:
Como no hay esfuerzos normales, nos encontramos en un caso
de flexión simple (excentricidad= 0). Con este dato, ya podemos
realizar
el
dimensionamiento
correspondiente,
siguiendo
las
fotocopias para este caso  FOTOCOPIAS: Dimensionamietno para
un Md conocido. (Sección rectangular, flexión simple).
 Realizamos los cálculos para la sección más débil, que es
aquella en la que se da el mayor momento flector: M= 408kN·m:
Suponemos un recubrimiento de 3cm, luego:
d= 0,45 – 0,03= 0,42m
Resistencia de cálculo del hormigón (39.4):
fcd= fck/c
fck: resistencia característica de proyecto= 25N/mm2 (Por ser un
hormigón HA-25).
c: coeficiente parcial de seguridad= 1,5
fcd= fck/c= 25/1,5= 16,67N/mm2
Como los datos del ejercicio vienen expresados en kN, ponemos
todo en las mismas unidades:
fcd= 16.667kN/m2
 = 408 / (0,50 · 0,422 · 16.667)= 0,278
Como = 0,278 > 0,252, estamos en el caso 1-d de las
fotocopias (canto inferior al mínimo). Por lo tanto, hay que colocar
armadura de compresión.
Cuantía de la armadura de compresión:
’= d2/d= 0,03 / (0,50-0,03)= 0,03 / 0,42= 0,0714
U’= ’· b · d · fcd= 0,0280 · 0,50 · 0,42 · 16.667= 98,001
Miramos en la tabla para fyk= 400N/mm2, y obtenemos que: 410
410
Cuantía de la armadura de tracción:
= ’ + 0,310
= 0,0280 + 0,310= 0,338
U=  · b · d · fcd= 0,338 · 0,50 · 0,42 · 16.667= 1.183,024
Miramos en la tabla para fyk= 400N/mm2, y obtenemos que: 725
725
 El esfuerzo cortante va a producir un incremento en la
armadura longitudinal de tracción debido a un componente de
aportación de cortante: a efectos de cálculo de la necesidad de las
armaduras de tracción se desplaza la curva de momentos más
desfavorable una distancia igual al canto útil.
Las necesidades de armaduras las definimos con las líneas ya
desplazadas (cambia la longitud de las barras).
 Este cálculo lo realizamos gráficamente:
Damos valores a x para definir nuestra parábola:
M= (129 · x) – (13,5 · x2/2)
X= 0, M= 0
X= 1, M= 122,25
X= 2, M= 231
X= 3, M= 326,25
X= 4, M= 408
 Anclaje de armaduras pasivas (66.5): atendiendo a la posición
que ocupa la barra en la pieza:
Posición I: de adherencia buena, para armaduras que durante
el hormigonado forman con la horizontal un ángulo comprendido
entre 45º y 90º o que en el caso de formar un ángulo inferior a
45º, están situadas en la mitad inferior de la sección o a una
distancia igual o mayor a 30cm de la cara superior de una capa de
hormigonado.
 Anclaje de las barras corrugadas (66.5.2): utilizamos la
expresión de este apartado para barras en posición I:
= diámetro de la barra= 2,5
m: coeficiente numérico, con los valores indicados en la tabla
66.5.2.a en función del tipo de acero, obtenido a partir de los
resultados experimentales realizados con motivo del ensayo de
adherencia de las barras
 m= 12, por tener un hormigón HA25 y un acero B400S.
fyk: límite elástico garantizado del acero en N/mm2, en este caso
fyk= 400 N/mm2
lbl= 12 · 2,52= 75
(fyk / 20) · = (400 / 20) · 2,5=
lbl < (fyk / 20) · 
= 20 · 2,5= 50
Seguimos con nuestros cálculos, pasamos ahora a la longitud
neta de anclaje, que se define como:
=1 (tabla 66.5.2.b, por ser prolongación recta)
As,1= 3 (gráfica)
As,2= 5 (gráfica)
As,real= 7
lb,neta,1= 75 · 1 · (3/7)= 32,143
lb,neta,2= 75 · 1 · (5/7)= 53,57
Estos datos los añadimos a nuestra gráfica. De este modo
quedaría lo siguiente:
325: hasta el final
525: aproximadamente 3,30m desde el centro
725: aproximadamente 2,30m desde el centro
 DIMENSIONAMIENTO PARA ESFUERZOS CORTANTES
(ARTÍCULO 44):
El estado límite último de agotamiento viene definido por la
expresión:
Vrd= Vd + Vdp + Vcd
Vd= valor del cortante de cálculo.
Vdp= componente paralela, como no hay fuerzas de pretensado su
valor es cero.
Vcd= valor de cálculo de la componente paralela a la sección de la
resultante de tensiones normales a la sección.
 Lo primero que hacemos son las comprobaciones:
Compresión oblicua del alma (44.2.3.1): en los apoyos no se
comprueba en el eje del apoyo, sino en el borde.
Tracción: se comprueba a una distancia del borde del apoyo
igual al canto útil.
Hay que ver que no se supera el estado límite por compresión ni
por tracción:
Vrd  Vu1
Vrd Vu2
COMPROBACIÓN DEL AGOTAMIENTO POR COMPRESIÓN OBLICUA
EN EL ALMA:
 x= 0,15 (borde del apoyo):
 Valor del cortante de cálculo:
Lo obtenemos del cálculo de momentos flectores que realizamos
antes:
V= 129 – (13,5 · x)
V= 129 – (13,5 · 0,15)= 129 – 0,025= 126,975= Vd
 Valor de cálculo de la componente paralela a la sección de la
resultante de tensiones normales a la sección:
Vcd= (M/z) tg
M: momento flector de cálculo para la sección.
z: brazo de la biela, que es igual a: 0,8 · canto= 0,8·h.
: ángulo de la cara inferior con el eje de la pieza. Es positivo
cuando el canto crece en el mismo sentido que crece el valor
absoluto del momento flector.
Para x= 0,15 tendremos que:
M= (129 · x) – (13,5 · x2/2)= (129 · 0,15) – (13,5 · 0,152/2)=
= 19,35 – 0,152= 19,198kN·m
h’= tg15 · 0,5= 0,134m
h= 0,45m (nos lo da el enunciado)
Canto total= h+h’= 0,45 + 0,134= 0,584m
Vcd= (M/z) tg= [19,198 / (0,8·0,584)]·tg15=
= 41,092·tg15=11,010kN
COMPROBACIÓN DEL AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA:
La
norma
nos
dice,
en
el
apartado
(44.2.3),
que
la
comprobación se efectúa para una sección situada a una distancia
de un canto útil del borde del apoyo directo. Esto nos indica el
valor de x, que en nuestro caso será:
x= 0,42 + 0,15= 0,57
 x= 0,57:
 Valor del cortante de cálculo:
Lo obtenemos del cálculo de momentos flectores que realizamos
antes:
V= 129 – (13,5 · x)
V= 129 – (13,5 · 0,57)= 129 – 7,695= 121,305= Vd
 Valor de cálculo de la componente paralela a la sección de la
resultante de tensiones normales a la sección:
Vcd= (M/z) tg
z= 0,8 · h= 0,8 · 0,45= 0,36m
M= (129 · x) – (13,5 · x2/2)= (129 · 0,59) – (13,5 · 0,592/2)=
= 76,11 – 2,350= 73,760kN·m
Vcd= (73,760 / 0,36) · tg15= 54,90kN
EL ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO VIENE DEFINIDO
POR LA EXPRESIÓN:
Vrd= Vd + Vcd
 Agotamiento por compresión:
Vd= 126,975kN
Vcd= 11,010kN
Vrd= 126,975 - 11,010= 115,965kN. Restamos porque el cartabón
decrece.
 Agotamiento por tracción:
Vd=121,305kN
Vcd= 54,90kN
Vrd= 121,305 - 54,90= 66,405kN. Restamos porque el cartabón
decrece.
 Realizamos ahora los cálculos de Vu1 y Vu2.
 Según el apartado 44.2.3.1. Usamos la expresión de los
comentarios:
Vu1= 0,30·fcd·b0·d
Vu1= 0,30 · 16.667 · 0,50 · 0,42= 1050,021
Comparamos con el valor del agotamiento por compresión:
Vrd= 115,965kN < 1050,021kN= Vu1
 Según el apartado 44.2.3.2. Como tenemos una pieza con
armadura de cortante, seguimos los pasos de 44.2.3.2.2:
El esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma vale:
Vu2= Vcu + Vsu
Vcu: contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante.
Calculamos su valor con la expresión de los comentarios:
Vcu= 0,10·(100·l·fck)1/3·b0·d
Para calcular  tenemos que tener nuestras unidades en N y mm:
fck= 25 N/mm2
= 1 + (200/d)1/2= 1+ (200/420)1/2= 1,690
l: cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionada,
pasiva y activa adherente, anclada a una distancia igual o mayor
que d a partir de la sección de estudio.
Tenemos 3 barras de 25, entonces:
As= 3··(25/2)2= 1.472,622mm2
Ap= 0
b0= 500mm
d= 420mm
l= 1.472,622/(500·420)= 7,012*10-3
Como l= 7,012*10-3 > 0,02
Vcu= 0,10·(100·l·fck)1/3·b0·d=
= 0,10 · 1,690·(100 · 7,012*10-3 · 25)1/3· 500 · 420=
= 92.193,430N= 92,193kN
Vsu: contribución de la armadura transversal de alma a la
resistencia a esfuerzo cortante.
Vsu= A90·fy90,d·0,90d
A90·fy90,d= U90
Vsu= U90 · 0,90d= U90 · 0,90 · 0,42
Vu2, como poco ha de valer Vrd= 66,405kN. Con este valor límite
efectuamos nuestros cálculos:
Vu2= Vrd
Entonces:
Vu2= Vcu + Vsu
66,405= 92,193 + (U90 · 0,90 · 0,42)
 U90= 68,222
Hay que restar Vsu:
Vsu= U90 · 0,90 · 0,42= -(68,222 · 0,90 · 0,42)= -25,787
Vu2= Vcu + Vsu= 92,193 - 25,787= 66,405kN
Vrd= 66,405kN  66,405kN = Vu2
Con el valor vamos al apartado 44.2.3.4 (Disposiciones relativas
a las armaduras). Realizaremos ahora los cálculos para nuestro
caso: Armaduras transversales (4.3.2.4.1):
Este apartado nos dice que la separación st entre armaduras
transversales deberá cumplir unas condiciones determinadas para
asegurar un adecuado confinamiento del hormigón sometido a
compresión oblicua:
Si Vrd < (1/5) . Vu1  st= 0,80d > 300
Realizamos
esta
primera
comprobación
par
aver
encontramos en este caso:
Vu1= 1050,021kN
(1/5) Vu1= (1/5)· 1050,021= 210,004 kN
Vrd= 115,965kN
 Vrd= 115,965kN < 210,004 kN= (1/5) Vu1
si
nos
Como se cumple lo anterior podemos calcular st con la expresión
st= 0,80d > 300:
st= 0,80d= 0,80 · 420= 336 > 300, y como no puede ser
mayor, tomamos 300mm.
A continuación, vamos a las fotocopias de esfuerzo cortante de
agotamiento que absorben los estribos de dos ramas para una
fyk=400N/mm2: (U90= 68,222)
S/d = 300 / 420 = 0,7
Armaduras: 4 x 25
[4·17,6= 70,4]
25
REALIZAMOS LA COMPROBACIÓN TAMBIÉN PARA LA ZONA EN LA
QUE YA NO HAY CARTABÓN:
 Valor del cortante de cálculo:
Lo obtenemos del cálculo de momentos flectores que realizamos
antes:
x= 0,15 + 0,50= 0,65
Repetimos nuestros cálculos para este valor:
V= 129 – (13,5 · x)
V= 129 – (13,5 · 0,65)= 120,225kN= Vd
 Valor de cálculo de la componente paralela a la sección de la
resultante de tensiones normales a la sección:
Vcd= (M/z) tg
z= 0,8 · h= 0,8 · 0,45= 0,36m
M= (129 · x) – (13,5 · x2/2)= (129 · 0,65) – (13,5 · 0,652/2)
= 83,85 – 2,852= 80,998kN·m
=180º para este caso, porque ya no hay cartabón.
Vcd=0
 Estado límite último de agotamiento:
Vrd= Vd + Vdp + Vcd
Vrd= Vd
Vrd= 120,225kN
 Realizamos ahora los cálculos de Vu1 y Vu2.
 Según el apartado 44.2.3.1. Usamos la expresión de los
comentarios:
Vu1= 0,30·fcd·b0·d
Vu1= 0,30 · 16.667 · 0,50 · 0,42= 1050,021
Comparamos con el valor del agotamiento por compresión:
Vrd= 120,225kN < 1050,021kN= Vu1
 Según el apartado 44.2.3.2. Como tenemos una pieza con
armadura de cortante, seguimos los pasos de 44.2.3.2.2:
El esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma vale:
Vu2= Vcu + Vsu
Vcu: contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante.
Calculamos su valor con la expresión de los comentarios:
Vcu= 0,10·(100·l·fck)1/3·b0·d
Para calcular  tenemos que tener nuestras unidades en N y mm:
fck= 25 N/mm2
= 1 + (200/d)1/2= 1+ (200/420)1/2= 1,690
l: cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionada,
pasiva y activa adherente, anclada a una distancia igual o mayor
que d a partir de la sección de estudio.
Tenemos 3 barras de 25, entonces:
As= 3··(25/2)2= 1.472,622mm2
Ap= 0
b0= 500mm
d= 420mm
l= 1.472,622/(500·420)= 7,012*10-3
Como l= 7,012*10-3 > 0,02
Vcu= 0,10·(100·l·fck)1/3·b0·d=
= 0,10 · 1,690·(100 · 7,012*10-3 · 25)1/3· 500 · 420=
= 92.193,430N= 92,193kN
Vsu: contribución de la armadura transversal de alma a la
resistencia a esfuerzo cortante.
Vsu= A90·fy90,d·0,90d
A90·fy90,d= U90
Vsu= U90 · 0,90d= U90 · 0,90 · 0,42
Vu2, como poco ha de valer Vrd= 66,405kN. Con este valor límite
efectuamos nuestros cálculos:
Vu2= Vrd
Entonces:
Vu2= Vcu + Vsu
120,225= 92,193 + (U90 · 0,90 · 0,42)
 U90= 74,159
 Vamos al apartado 44.2.3.4 (Disposiciones relativas a las
armaduras). Realizaremos ahora los cálculos para nuestro caso:
Armaduras transversales (4.3.2.4.1):
Este apartado nos dice que la separación st entre armaduras
transversales deberá cumplir unas condiciones determinadas para
asegurar un adecuado confinamiento del hormigón sometido a
compresión oblicua:
Si Vrd < (1/5) . Vu1  st= 0,80d > 300
Realizamos
esta
primera
comprobación
par
aver
si
nos
encontramos en este caso:
Vu1= 1050,021kN
(1/5) Vu1= (1/5)· 1050,021= 210,004 kN
Vrd= 120,225kN
 Vrd= 120,225kN < 210,004 kN= (1/5)Vu1
Como se cumple lo anterior podemos calcular st con la expresión
st= 0,80d > 300:
st= 0,80d= 0,80 · 420= 336 > 300, y como no puede ser mayor,
tomamos 300mm.
A continuación, vamos a las fotocopias de esfuerzo cortante de
agotamiento que absorben los estribos de dos ramas para una
fyk=400N/mm2: (U90=74,159)
S/d = 300 / 420 = 0,7
Armaduras: 4 x 26
[4·25,3= 101,12]
26