EJEMPLOS DELTEMA 13-I

EJEMPLOS DELTEMA 13-I
Ejemplo 1
Deseamos conocer la proporción de estudiantes de cierta Universidad que están a favor de un cambio de
sede. Se escogieron aleatoriamente 10 estudiantes y 4 de ellos respondieron “si”. Es decir n=10, X=4,
siendo X= número de estudiantes que respondieron si.
Vamos a calcular la probabilidad de obtener 4 respuestas “si” de acuerdo con la proporción verdadera que
puede darse en la población universitaria. Consideremos que la variable aleatoria definida sigue una
binomial con lo que:
10 x
 (1   )10 x ; x=0,1,2,…,10.
x
10 4
10  4
Si tomamos x=4 tenemos que P[X=4]=   (1   )
.
4
 
P[X=x]= 
Dando distintos valores a
 , obtenemos la siguiente tabla:

La máxima probabilidad se da para

P[x=4]
0
0
0´1
0´0112
0´2
0´0881
0´3
0´2001
0´4
0´2508
0´5
0´2051
0´6
0´1115
0´7
0´0368
0´8
0´0055
0´9
0´0001
1
0
=0´4 que coincide con la proporción muestral. Es decir, el valor de
10 4
 (1   )104 =210  4 (1   ) 6 es
4
la proporción muestral que hace máxima la función L(  )= 
0´4.
Naturalmente la proporción verdadera puede ser distinta del valor muestral obtenido. Pero es un riesgo
que viene producido por proceder por muestreo y no investigar a toda la población.
También podríamos haber tomado otros valores de  distintos a los de la tabla anterior y de esta manera
sería más preciso considerar la función L(  ) como una función continua definida en el intervalo [0.1].
Esta función la llamaremos función de verosimilitud y formalmente queda definida como:
L(  )=210  (1   ) ; 0    1. Esta función es la probabilidad condicional de X=4 dado
calcular el máximo utilizaremos la derivada.
4
6
 =p. Para
Ejemplo 2
De una población se escogieron al azar 10 personas y se les tomó la estatura. Los resultados en cm
fueron: 160, 170, 170, 150, 160, 180, 160, 170, 130, 150. Estime la media y la varianza.
Ejemplo 3
En una universidad se desea conocer la opinión de los estudiantes acerca de ciertas medidas que ha
tomado la directiva. De 120 estudiantes consultados, 90 estuvieron a favor. Estime la proporción de
estudiantes que están a favor de las medidas
Ejemplo 4
Un conjunto residencial está formado por 200 apartamentos. Se seleccionan 18 apartamentos y se observó
que, en promedio, viven 4´5 personas por apartamento y se observó que, en promedio, viven 4´5 personas
por apartamento. Estime el total de personas que viven en el conjunto residencial.
Ejemplo 5
EJEMPLOS DELTEMA 13-I
De un lote de 1.000 licuadoras se escogen aleatoriamente 30 y se encontró que 2 de ellas estaban
estropeadas; ¿cuántas licuadoras se estima que estén estropeadas?
Ejemplo 6
Una agencia de encuestas selecciona 900 familias y calcula la proporción de éstas que utilizan cierto tipo
de detergente. Si la proporción estimada es 0´35 ¿Cuál es el error estándar estimado?
Ejemplo 7
En el estudio de cierta característica X de una población se sabe que la desviación estándar es 3. Se va a
escoger una muestra de tamaño 100, halle el error estándar de la media muestral.
Ejemplo 8
Escogió al azar una muestra de 10 clientes de un banco y se les preguntó el número de veces que habían
utilizado el banco para llevar a cabo alguna transacción comercial. Los resultados fueron los siguientes: 0,
4, 2, 3, 2, 0, 3, 4, 1, 1,. Estime el error estándar del número de transacciones promedio.
Ejemplo 9
Vamos a obtener un intervalo de confianza del 95% para la media de una población normal. Si X es
N(  ,  ), x es N(  ,

).
n
Nuestro objetivo es encontrar a y b tales que P[a< x <b]=0´95.
Para calcular estos valores es necesario estandarizar X:


 a   x   b     n a   
= p

p



  

 
 n
n
n 
n x   


n b   
 =0´95


Hay infinitos pares de números que cumplen esta ecuación, de ellos vamos a tomar el par de números que
se hallen situados simétricamente respecto de cero en la distribución normal, c y –c. Por lo tanto p[c<Z<c]=0´95, p[z<c]-p[z<-c]=0´95, 2p[z<c]-1=0´95, p[z<c]=0´0´975, que mirando en la tabla normal da
un valor de 1´96 para c y -1´90 para –c.
Por lo tanto
n (a   )

Despejando obtenemos a= 

p   1´96

n (b   )
=-1´96 y
 1´96
 x    1´96


n
 
y b= 
=1´96.
 1´96

y nos quedaría:
n
 =0´95, o lo que es lo mismo
n


 
   x  1´96  =0´95.
 x  1´96
n
n



 
Al intervalo  x  1´96
, x  1´96  se le llama intervalo (aleatorio) del 95% de confianza para
n
n

.

n
EJEMPLOS DELTEMA 13-I
A partir de los datos muestrales podemos determinar el valor de x y obtenemos así un intervalo
numérico. El valor 1´96 se debe a que pedíamos una probabilidad de 0´95. Para indicar el intervalo para
cualquier valor de probabilidad utilizaremos la expresión:



 
,x  z
x  z
 . Expresión que puede simplificarse: x  z
n
n
n

2z

es lo que denominamos longitud del intervalo.
n
En el ejemplo el nivel de confianza es del 95%. Por lo tanto (1-  )= 0´95,
 =0´5
Ejemplo 10
Sea X la variable aleatoria que se utiliza para designar el peso de un pasajero de avión, nos interesa
conocer el peso medio de los pasajeros. Para ello tomamos una muestra de 36 pasajeros y obtenemos una
media muestral de 160 libras. Suponiendo que la distribución de los pasajeros es normal desviación
estándar 30, calcula un intervalo del 95% de confianza.
Ejemplo 11
Desde un punto de vista de la probabilidad se dice: “En el muestreo aleatorio simple d una población
normal de media
xz


(1 )
2
n
 y varianza  2 , conocida, el 100(1-  )% de los intervalos de la forma
incluirá la media desconocida
 ”.
Aplicando esto al ejemplo anterior podemos decir que de 100 muestras de tamaño 36 que escojamos de
los pasajeros del avión, 95 de ellas aproximadamente producirán intervalos que contendrán el verdadero
peso promedio  . O lo que es lo mismo, de 100 intervalos obtenidos por la fórmula anterior 95 de ellos
contendrán el verdadero valor de parámetro.
De la interpretación probabilística se desprende una práctica: “Si se realiza un muestreo aleatorio simple
en una población normal con media
intervalo particular
xz


(1 )
2
n
 y varianza  2 conocida, se tiene 100(1-  )% de confianza que el
contendrá el verdadero valor del parámetro desconocido
.
Aplicándolo al ejemplo anterior diríamos tenemos una confianza o certeza del 95% de que el verdadero
peso promedio de los pasajeros del avión está entre 150´2 y 169´8 libras.
Ejemplo12
Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una determinada marca dio un contenido promedio de nicotina
de 3 mg. El contenido en nicotina de estos cigarrillos sigue una normal de desviación estándar de 1mg. A)
Obtener e interpretar un intervalo de confianza del 95% para el verdadero contenido promedio de nicotina
EJEMPLOS DELTEMA 13-I
de estos cigarrillos. B) El fabricante garantiza que el contenido promedio de nicotina es 2´9 mg, ¿qué
puede decirse de acuerdo con el intervalo hallado?
Ejemplo 13
Los siguientes números representan el tiempo en minutos que tardaron 15 operarios en familiarizarse con
el manejo de una nueva máquina: 3´4, 2´8, 4´4, 2´5, 3´3, 4, 4´8, 2´9, 5´6, 5´2, 3´7, 3, 3´6, 2´8, 4´8.
Supongamos que los tiempos se distribuyen normalmente. A) Determina e interpreta un intervalo del 95%
de confianza para el verdadero tiempo promedio. B) El instructor considera que el tiempo promedio
requerido por los trabajadores es mayor que 5 minutos, ¿qué se puede decir de acuerdo con el intervalo
hallado?
Ejemplo 14
Queremos medir la diferencia en ventas entre dos categorías de empleados. Una formada por personas
con título superior y la otra por personas con estudios secundarios. Tomamos una muestra de de 45
empleados del primer grupo y la media de ventas resulta ser 32. Tomamos una muestra de 60 empleados
del segundo grupo y la media obtenida es 25. Supongamos que las ventas de los dos grupos siguen una
normal con varianza 48 para el primer grupo y 56 para el segundo.
a) Calcula un intervalo del 90% de confianza para la verdadera diferencia de medias.
b) De acuerdo con el intervalo hallado, ¿hay evidencia de que las ventas medias de los grupos son
iguales?
Ejemplo 15
Deseamos saber si hay diferencia entre el tiempo (mn) que tardan los empleados de la pizzería A y los de
la pizzería B en atender un pedido. Tomamos una muestra de 14 empleados de A obteniendo una media
de 17 minutos y una varianza de 1´5. Para B tomamos 25 empleados obteniendo media 19 y varianza 1´8.
Suponemos que los tiempos para los dos grupos se distribuyen normalmente y que las varianzas son
iguales aunque desconocidas.
a) Calcula un intervalo de confianza del 99% para la verdadera diferencia de medias.
b) De acuerdo con el intervalo hallado ¿hay evidencia de que los dos tiempos promedios son iguales?
Ejemplo16
Una marca de lavadoras desea saber la proporción de amas de casa que preferiría usar su marca. Toma al
azar una muestra de 100 amas de casa y 20 de ellas dicen que la usarían. Calcula un intervalo de
confianza del 95% para la verdadera proporción de amas de casa que prefieren dicha lavadora.
Ejemplo 17
Se desea cambiar una máquina de una cadena de producción. Se toman muestras con la máquina nueva y
con la actual para ver si con el cambio se producen mejoras en el sistema de producción. 75 de 1.000
artículos resultaron defectuosos con el procedimiento actual y lo mismo ocurrió para 80 de 2.500 con la
nueva máquina. Determina un intervalo de confianza del 90% para la verdadera diferencia de
proporciones de partes defectuosas.
Ejemplo 18
Un fabricante de baterías de automóviles asegura que las baterías que produce duran en promedio 2 años,
con una desviación típica de 0´5 años. Si 5 de estas baterías tienen duración 1´5, 2´5, 2´9, 3´2, 4 años,
determina un intervalo de confianza del 95% para la varianza y e indica si la afirmación realizada por el
fabricante es cierta.
Ejemplo 19
Con los datos del ejemplo 15 determina un intervalo de confianza del 90% para el cociente de varianzas.
Ejemplo 20
EJEMPLOS DELTEMA 13-I
Queremos ajustar una máquina de refrescos de modo que el promedio de líquido dispensado quede dentro
de cierto rango. La cantidad de líquido vertido sigue una normal con desviación estándar 0´15 decilitros.
Deseamos que el valor estimado que se vaya a obtener comparado con el verdadero no sea superior a 0´02
dl con una confianza del 95%. ¿De qué tamaño debemos coger la muestra?
Ejemplo 21
Entre 10.000 establos debemos estimar el número de vacas lecheras por establo con un error de
estimación de 4 y un nivel de confianza del 95%. Sabemos que la varianza es 1.000 ¿Cuántos establos se
deben visitar?
Ejemplo 22
Una máquina llena cajas de cereales. El supervisor desea conocer con un error de estimación de máximo
0´1 y un nivel de confianza del 90%, una medida estimada del peso. Como la varianza era desconocida, se
escogió una muestra piloto con los siguientes resultados: 11´02, 11´14, 10´78, 11´59, 11´58, 11´19,
11´71, 11´27, 10´93, 10´94. ¿Cuántas cajas debemos escoger?
Ejemplo 23
Deseamos escoger el peso promedio de un tipo de pescado con un error de estimación de 0´02 y con un
nivel de confianza del 99%. Por datos anteriores se sabe que el peso mínimo es 1´48 libras y el máximo
2´47. ¿De qué tamaño debemos escoger la muestra sabiendo que los pesos de estos pescados se
distribuyen normalmente?
Ejemplo 24
Deseamos hacer una encuesta para determinar la proporción de familias que carecen de medios
económicos para atender los problemas de salud. Existe la impresión de que esta proporción está próxima
al 0´35. Se desea determinar un intervalo de confianza del 95% con un error de estimación de 0´05. ¿De
que tamaño se debe tomar la muestra?
Ejemplo 25
Un productor de semillas desea saber con un error de estimación del 1%, el porcentaje de semillas que
germinan en la granja de su competidor. ¿qué tamaño de muestra debe tomar para obtener un nivel de
confianza del 95%?
Ejemplo 26
Se desea realizar una encuesta entre la población juvenil de una determinada localidad para determinar la
proporción de jóvenes que estaría a favor de una nueva zona de ocio. El número de jóvenes de dicha
población es N=2000. Determina el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de
estudiantes que están a favor con un error de estimación de 0´05 y un nivel de confianza del 95%.