libro44eso (ecuaciones y sistemas)

Bloque 2: Álgebra
Unidad Didáctica 4
Ecuaciones.
1.
Ecuaciones.
Una identidad es una igualdad cierta para cualquier valor que
demos a las letras. Ejemplos: x+x = 2x , (a+b)2= a2+b2+2ab.
Una ecuación es una igualdad cierta para algunos valores
determinados de las letras que intervienen (incógnitas). La solución
de la ecuación es el valor o valores de la incógnita o incógnitas que
hacen que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es hallar su
solución o soluciones, si la tiene.
En una ecuación se suele llamar primer miembro a la
expresión numérica o algebraica que figura antes del signo igual, y
segundo miembro a la que figura después de dicho signo.
Se dice que dos o más ecuaciones son equivalentes cuando
tienen las mismas soluciones.
Operaciones para transformar una ecuación en otra equivalente:

Si se suma o se resta a los dos miembros de una ecuación un
mismo número (o una misma expresión algebraica), se obtiene
una ecuación equivalente.
En la práctica:
REGLA 1: Lo que está sumando o restando en un miembro, pasa
restando o sumando al otro miembro.
20
1

Si se multiplican o se dividen los dos miembros de una ecuación
por un mismo número (o una misma expresión algebraica),
distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente.
En la práctica:
REGLA 2: Lo que está multiplicando o dividiendo a todo lo demás
de un miembro, pasa dividiendo o multiplicando al otro miembro.
REGLA 3: Se puede simplificar una misma expresión en los
dos miembros de una ecuación.
REGLA 4: Se puede cambiar de signo a los dos miembros de una
ecuación.
En esta unidad didáctica vamos a estudiar como se resuelven las
ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado con una incógnita,
mientras que en la unidad didáctica siguiente se estudiará como
resolver ecuaciones con dos incógnitas.
2.
Ecuaciones de primer grado.
Una ecuación de primer grado con una incógnita es de la
forma:
a x = b , con a y b dos números cualquiera, o cualquier otra
ecuación equivalente a ésta.
Según los valores que tomen los coeficientes a y b, la ecuación
puede:
 Tener una única solución si a0, y aplicando la regla 1 dicha
solución será: x = b / a (ecuación determinada).
 No tener ninguna solución
si a=0 y b0 (ecuación
imposible).
 Que cualquier número sea solución
si a=0 y b=0
(ecuación indeterminada).
Resolver la ecuación consiste en despejar la x mediante una serie
de pasos. En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente
procedimiento:
2
19
3.
Resuelve la ecuación:
5x  1  x  1
(Indicación: Eleva al cuadrado los dos miembros).
18
(1)
Quitar los paréntesis, si los hay.
(2)
Quitar denominadores, si los hay.
Para ello, se
multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m.
de los denominadores.
(3)
Pasar los términos en x a un miembro (normalmente
al primero) y los números al otro miembro, aplicando las
reglas anteriores.
(4)
Efectúar todas las sumas y restas en cada miembro,
con lo que llegarás a la ecuación de la forma ax = b.
(5)
Despejar la
anteriores.
(6)
Sustituir la solución obtenida donde corresponda en cada
miembro de la ecuación inicial para comprobar que
coinciden los resultados y no te has equivocado.
x
aplicando
nuevamente
las
reglas
1.
Resuelve:
(a) 2x + 8 = 0
(b) 7(x–3) = 9(x–1) – 38
(e) x – [3+2(6–7x)] = 2(2x–5)
(c) 2x–3+5x = 7x–5+2x
(d) 6(2x+1) = 5(1–4x)–3(4–2x)
2.
Resuelve:
3x
1  3x
(a)
 20  25  x (c)
 2  2x
2
2
3 2x  1 3  5x
1  x 151
(e)

 4x 

x
4
6
3
12
5x  2 1  2x 3x  2 4  3x
x 3x 5x
(b)
(d)





 15
8
4
8
2
2
4
6
3
3.
3.
Ecuaciones de segundo grado.
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es de la
forma:
a x2 + b x + c = 0 , con a, b, c números reales y a
siempre positivo (en caso de que a fuese negativo, se cambia de signo
toda la ecuación) o cualquier otra ecuación equivalente a ésta.
b  b 2  4ac
2a
Se llama discriminante de la ecuación a la expresión que
aparece bajo el signo radical, es decir :  = b2 – 4ac. Dependiendo del
valor de este discriminante, la ecuación puede tener dos, una o ninguna
solución. En concreto:

Si el discriminante es un número positivo, la ecuación tiene dos
soluciones distintas:
x1 
3.
 b  b  4ac
2a
2
,
x2 
 b  b  4ac
2a
Javier preguntó a su prima Marisa cuántos años tenía, y ella le
contestó: “Si al triple de los años que tenía el año pasado le restas
los años que tendré dentro de 30 años, obtienes la mitad de los
años que tengo ahora” ¿Cuántos años tiene Marisa actualmente?
5.
Antonio mezcla café de clase A a 9’5 € el kilo con café de clase B a
14 € el kilo, y obtiene 9 kilos de mezcla a 1.1’5 € el kilo. ¿Cuántos
kilos de café de cada clase se han mezclado?
6.
El producto de un número natural por su siguiente es igual a su
cuádruple. ¿Cuál es ese número?
Si el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene una
única solución que se dirá doble: x1 = x2 = –b/2a.

Si el discriminante es un número negativo, la ecuación no tiene
solución.
(d) 5x2 – 7x + 3 = 0
(e) 9x2 + 6x + 1 = 0
(f) 4x2– 4x + 1 = 0
4
Actividades de ampliación.
2

Resuelve:
(a) x2  5 x  6  0
(b) 4x2 + 11x – 3 = 0
(c) x2 – 13x – 42 = 0
(b) 2x2 – 32 = 0
4.
Para despejar la x, hay que seguir un largo proceso, que concluye
en la obtención de la fórmula:
x
Resuelve sin utilizar la fórmula:
(a) 7x2 – 14x = 0
1.
Hierón de Siracusa mandó hacer una corona de oro de 7.465 g.
Para conocer si el orfebre había reemplazado oro por plata, se la
mandó a Arquímedes para que lo averiguara sin romperla.
Arquímedes metió la corona en agua y perdió 467 g. de su peso. Se
sabe que el oro pierde en el agua el 52 por 1000 de su peso y que
la plata pierde el 95 por mil de su peso. Hallar los gramos de oro y
plata de la corona real.
2.
En las dos orillas de un río hay dos palmeras. La más alta mide 30
codos, la otra 20 codos y la distancia entre ambas es de 50 codos.
En la copa de cada palmera hay un pájaro. Al descubrir los dos
pájaros un pez en la superficie del río, se lanzan rápidamente y a la
misma velocidad, alcanzando al pez al mismo tiempo. ¿A qué
distancia del tronco de la palmera más alta apareció el pez?
17
(d) Si 8 empapeladores tardan 10 días en empapelar una
superficie de 3.840 m2, ¿qué superficie empapelarán 7
empapeladores en 5 días?
Una ecuación es incompleta cuando b o c son nulos. En caso
contrario, se dice que es completa. Su resolución es mucho más fácil
que en el caso general, ya que no hay que aplicar ninguna fórmula. En
concreto:
(e) Calcula el precio de un paraguas, sabiendo que tras
beneficiarse de un descuento del 15% su importe asciende a 5
1 €.

para obtener el resultado. Es decir:
(f) Un padre deja al morir cierto capital, con la condición de que
se reparta entre sus tres hijos proporcionalmente a sus
edades, que son 10, 15 y 20 años. Las partes del hijo mayor y
del menor suman 420 €. Halla lo que corresponde a cada uno.

(g) Los tres camareros de una cafetería estuvieron ausentes 3, 6 y
9 días respectivamente, en un mes en que se recaudaron
419’87 € de propinas, que se reparten en partes inversamente
proporcionales a los días que faltaron. ¿Cuánto corresponde a
cada uno?
(h) Ana deposita 4800 € en un banco que le ofrece un rédito del
3,5% ¿Qué interés le producirá a Ana su dinero en un año? ¿Y
en 9meses?
(i)
(j)
Calcula el capital que, colocado con un rédito del 7,75%,
produce en 80 días un interés de 160’58 €.
¿Al cabo de cuántos meses un capital colocado al 5%
producirá 1/8 de su valor?
1.
Resuelve y comprueba:
2.
Resuelve:
4.
5.
3 •  x  1
x4
x
2
3
6x2 – x – 2 = 0
16
x
c
a
Ecuaciones sin término independiente:
ax2+ bx = 0.
Para resolverlas, conviene sacar factor común la x, y aplicar que
para que un producto sea cero, es necesario que alguno de los
factores sea cero. Es decir:
ax2 + bx = 0 sii x(ax + b) = 0 sii
x0


ax  b  0 sii x   b

a

Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) 5x2 – 20 = 0
(c) 4x2 + 4 = 0
2
(g) 7x – 6x = 0
(b) 3x2 – 147 = 0
(d) 2x2 – 10 = 0
(h) 2x2 – 13x = 0
(e)
3x2 + 9x = 0
(f) 15x2 + 20x = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) (2x – 3) (x + 5) = 0
(b) x (x – 1) (2x – 1) = 0
(c) 2x (x+1) (x2 + 1) = 0

Actividades de repaso.
Ecuaciones sin término en x:
ax2 + c = 0.
Para
2
resolverlas, basta despejar la x , y luego extraer la raíz cuadrada
Ecuaciones de segundo grado de cualquier tipo: Para
resolver ecuaciones de segundo grado de cualquier tipo,
conviene seguir un procedimiento parecido al que seguíamos
para resolver las ecuaciones de primer grado, pero con algunas
diferencias significativas:
(1) Quitar paréntesis, si los hay.
(2) Quitar denominadores, si los hay.
(3) Pasar TODOS los términos de la ecuación al primer
miembro, con lo que el segundo miembro quedará igualado
a cero.
5
(4) Efectuar todas las sumas y restas posibles, y puedes
encontrarte con:
 Una ecuación de segundo grado completa: se aplica la
fórmula.
 Una ecuación de segundo grado incompleta: se
resuelven despejando la x2 o sacando factor común la x,
como hemos visto.
 Una ecuación de primer grado: se resuelve simplemente
despejando la x.
6.
Resuelve las ecuaciones:
(a)
(d)
x  1x  1  3x  2  xx  2  4
2
xx  3 xx  2 3x  2
2


 1 (b) x  1  3x  3
2
4
8
x2  4
5x  1
(c) 2 

x
3
2
4.
(d) 2x  1  1  x  1x  1
2
Resolución de problemas mediante ecuaciones.
Para resolver problemas empleando ecuaciones, debemos tener en
cuenta los siguientes puntos:
(1)
(2)
(3)
(4)
Entender el enunciado e identificar los datos conocidos y
los que deseamos conocer.
Dar nombre a los elementos desconocidos (con incógnitas: x,
y, z ...) y relacionar los datos con las incógnitas, es decir,
plantear las ecuaciones tratando de hacer una buena
traducción algebraica del enunciado.
Aplicar un método de resolución apropiado a cada
ecuación.
Comprobar siempre que la solución (o soluciones) obtenida
satisface las condiciones del problema.
6
9.
Resuelve:
(a) Se han mezclado 27 Kg de café cuyo precio es 8’5 €/kg con 33
kg de otra clase cuyo precio se desconoce. Averiguar este
precio si se sabe que la mezcla habría de venderse a 8’28
€/kg.
(b) Se han mezclado 20 litros de aceite barato con 25 litros de
aceite caro, resultando la mezcla a 3’2 €/litro. Calcula el precio
del litro de cada clase, sabiendo que el de más calidad es el
doble de caro que el otro.
(c) Para hacer un lingote de oro de funden 2 kg de oro de ley 0,81
con 4 kg de oro de ley 0,9. ¿Cuál será la ley del lingote ?
(d) ¿Cuántos litros de crema de leche con 35% de grasa han de
mezclarse con leche de 4% de grasa para obtener 20 litros de
crema que tenga el 25% de grasa ?
10. Resuelve:
(a) Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base
mide 2 cm menos que la altura y la diagonal mide 10 cm.
(b) Al aumentar en 5 m el lado de un cuadrado, su superficie
aumenta en 75 m2. Calcula el lado del cuadrado.
11. Resuelve:
(a) El barnizado de un piso de 117 m² ha costado 365’4 €. Calcula
lo que costará barnizar otro piso de 220 m²
(b) En una granja de 1950 gallinas, se gastan semanalmente 420
€. en piensos. ¿En cuántos días se consumirán 1000 € de
piensos, en otra granja de 6 500 gallinas?
(c) Si 3 máquinas en 6 horas revelan 750 fotografías, ¿cuántas
fotografías revelan 7 máquinas en 9 horas? ¿Y 9 máquinas en
7 horas?
15
y tres menos que el 1º, que la edad de la madre es la suma de
la de los tres hijos y que el padre tenía 4 años cuando nació su
esposa.
7.
(e) Una señora tiene 70 años y su hijo 30. ¿Cuántos años hace
que la madre tenía tres veces la edad del hijo ?
8.
Resuelve:
(a) Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado
19’5 €. El vídeojuego es cinco veces más caro que el cómic, y
éste cuesta el doble que el helado. ¿Cuánto pagó Andrés por
cada artículo ?
Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
(a) Un número cualquiera.
(g) Un número menos su quinta parte.
(b) Dos números cualquiera.
(h) El doble de un número más 5.
(c) Tres números consecutivos.
(i) La mitad de un número menos 4.
(d) Dos números cuya suma es 10.
(j) La edad actual de una persona.
(e) La suma de un número y su triple.
(k) La edad que tenía hace 5 años.
(f) La suma de un número y su cuadrado.
(l) La edad que tendrá dentro de 25 años.
(b) Halla tres números sabiendo que son consecutivos y que su
suma es 180.
Problemas sobre edades.
(c) Halla un número que al sumarle 4 unidades resulte tres veces
mayor que si se le restasen 3 unidades.
En estos problemas hay que prestar especial atención a la elección
de las incógnitas, pues una inadecuada elección puede dificultar mucho
la resolución de un problema. Suele ser conveniente llamar x a la edad
más pequeña que aparezca.
(d) Un grupo de amigos está jugando a los chinos con monedas
de 5 y 25 cent. Al abrir las manos cuentan 8 monedas con un
valor de 1’4 €. ¿Cuántas monedas hay de cada clase ?
(e) Un depósito está lleno el domingo. El lunes se vacían sus 2/3
partes, el martes se gastan 2/5 de lo que quedaba y el
miércoles 300 litros. Si aún quedó 1/10, ¿cuál es su capacidad?
(f) Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su
quíntuplo. ¿Cuál es ese número?
(g) Un perro se encuentra en el campo con lo que él cree que es
un centenar de ovejas. Una de las ovejas con las que entabla
conversación lo saca del error diciéndole : “No somos cien,
pero si sumas a las que somos tantas como somos, la mitad de
las que somos, la mitad de la mitad de las que somos y
además te incluyes tú, entonces sí somos cien”. El pobre perro
quedó confuso y pensativo. ¿Cuántas ovejas tenía el rebaño ?
14
8.
Resuelve:
(a) Un padre tiene 39 años y su hijo 15. ¿Cuántos años hace que
la edad del padre era triple que la edad del hijo ?
(b) Halla las edades de un abuelo, un padre y un hijo sabiendo
que en la actualidad la edad del abuelo es doble de la edad del
padre, la de éste doble de la del hijo, y que hace un año sus
edades sumaban 137 años.
(c) Preguntado un padre por la edad de su hijo, contesta : “Si del
doble de los años que tiene se le quitan el triple de los que
tenía hace 6 años se tendrá su edad actual”. Hallar la edad del
hijo.
(d) Un padre dice a su hijo : hoy tu edad es 1/5 de la mía, y hace
5 años no era más que 1/9. Halla las edades.
7
Problemas sobre números.
4.
Como en los problemas sobre edades, hay que prestar mucha
atención a la elección de la incógnita, y de nuevo suele ser más fácil
cuando se llama x al número más pequeño.
9.
Resuelve:
(a) En la última temporada, un equipo marcó 88 goles. En casa
marcó el triple que fuera. ¿Cuántos goles marcó fuera ?
(b) La suma de tres números naturales consecutivos es igual al
cuádruple del menor. ¿De qué números se trata ?
(c) Halla un número que al restarle dos unidades resulte tres
veces mayor que si le restase 10 unidades.
(d) Laura compró 30 sellos, algunos de 0’2 € y otros de 0’3 €, con
un coste total de 7’2 €. ¿Cuántos sellos compró de 0’2 €?
(e) En el mes de agosto cierto embalse estaba a los 3/5 de su
capacidad. En septiembre no llovió y se gastó 1/5 del agua que
tenía. En octubre se recuperaron 700.000 m3, quedando lleno
en sus ¾ partes. ¿Cuál es su capacidad?
(f) El producto de un número natural por su siguiente es 272.
¿Cuál es ese número?
Problemas sobre mezclas y aleaciones.
CANTIDAD PRECIO
C1
P1
C2
P2
C mezcla
P mezcla
Producto 1
Producto 2
Mezcla
En este tipo de problemas, el planteamiento es siempre el mismo:
conviene hacer un cuadro, y tener en cuenta que:
C
y que:
mezcla
= C1 + C2
C1P1 + C2P2 = CmezclaPmezcla
8
Resuelve:
(a) x2 – 9x + 14 = 0
(e) 2x2 – 5x – 9 = 0
(b) x2– 6x + 10 = 0
(f) 16x2– 8x + 1 = 0
(c) 6x2 – 6x + 1 = 0
(d) 4x2– 18x –10 = 0
5.
Resuelve:
(a) x2 – 121 = 0 (b) 100x2 – 81 = 0
(d) 3x2 – x = 0 (e) 5x2 + 80 = 0
6.
Resuelve:
(c) x2 + 5x = 0
3( x  1) 2( x  60)
1 7

 36
(a) x   x  0
(c)
5
7
2 4
2
1
x2  x 3
(e)  x  1 2   x   


2
2
4
2
2
x1 x 1
1
x1
3

(b)

 0 (d)  x   


3
2
2
2
4
2
2
2
7.
Resuelve:
(a) Un padre tiene 47 años y su hijo 13. ¿Cuántos años han de
transcurrir para que la edad del padre sea el triple que la de su
hijo?
(b) Un padre tiene 40 años, y sus hijos 10, 7 y 3 respectivamente.
¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre
sea igual a la suma de las edades de los hijos?
(c) Una madre y sus dos hijos tienen en conjunto 60 años ; hallar
la edad de cada uno sabiendo que el hijo mayor tiene tres
veces la edad del menor, y que la madre tiene el doble de la
suma de las edades de sus hijos.
(d) Una familia está compuesta por los padres y tres hijos. Las
edades de los cinco suman 142 años. Averiguar la edad de
cada uno sabiendo : que el 2º hijo tiene 2 años más que el 3º
13
(e) Calcula el capital debe imponerse al 15% para disponer,
dentro de 5 años, de 2.000 €.
(f) Calcula el tiempo que debe estar impuesto un capital, al 10%
para que se triplique.
Actividades.
1.
Resuelve:
(a) 3x –5 + 7x – 2 = 5x – 7 + 3x
(d) 4(x – 3) = 7(x – 4) + 6 – x
(b) 3x – (2 + x) = 8x + (x – 5)
(e) 9(13–x)–4x = 9x+5(21–2x)
(c) 2(3x – 4) + 3(9 – 2x) = 2(x + 1) – 3(5 – 2x)
Recuerda que hay que sustituir el precio por la ley, en el caso de
las aleaciones, o las concentraciones, normalmente en porcentaje, de
ciertos productos, pero el mecanismo de resolución sigue siendo el
mismo.
10. Resuelve:
(a) ¿Cuántos kilos de harina de 0’65 € el kilo habrá que mezclar
con harina de 0’4 € el kilo para poder conseguir 300 kilos al
precio de 0’58 € el kilo ?
(b) Un almacenista dispone de dos tipos de aceites, de precios 1’2
y 0’9 € el litro, que desea mezclar para obtener u tipo de
calidad intermedia. Hace una prueba mezclando 6 litros del
primero y 12 litros del segundo. ¿A qué precio deberá vender
el litro de mezcla?
(c) ¿Qué cantidad de plata pura es necesario añadir a 800 g de
plata, de ley 800 milésimas, para obtener una aleación de ley
de 900 milésimas ?
2.
3.
Resuelve:
x
x
3  4x 3x  5
x
(a)
(b)

 14


3
5 2
5
20
5
2x 3x  5
x
(e)


3
15
20
5
x x1
3x
x
(b)
(d)

 x 2
 12  1 
2
7
4
3
Resuelve:
10 x  3 3 x  1
(a)

 x2
3
5
5 x x 3
9  x 6x  2



2
6
4
16
3x  11 5x  1 x  7 5x  6
(b)



20
14
10
21
2x  3 2  4x
5 2x  1
(e)



18
27
3
6
3x  17 1  4x 1  x 9  x
(c)



8
13
4
6
(d) ¿Qué cantidad de agua hemos de añadir a 18 litros de una
solución salina al 12% para rebajar su concentración al 5% ?
Problemas geométricos.
Aunque este tipo de problemas se estudiará con detalle en
próximas unidades didácticas, conviene recordar los pasos a seguir para
su resolución. Lo primero que hay que hacer es una representación
gráfica de la situación, y el planteamiento de las ecuaciones suele
aparecer tras aplicar las fórmulas de áreas o el teorema de Pitágoras.
(d)
12
11. Resuelve:
(a) En un triángulo rectángulo, el lado mayor es 3 cm más largo
que el mediano, el cual es 3 cm más largo que el pequeño.
¿Cuánto miden los lados?
(b) La base de un rectángulo es 10 cm más larga que la altura. Su
área mide 600 cm2. Calcula las dimensiones del rectángulo.
9
Problemas sobre proporcionalidad
***********************************
numérica.
La regla de tres resuelve problemas en los que intervienen
magnitudes proporcionales. Dos magnitudes serán directamente
proporcionales cuando al aumentar una aumenta también la otra,
mientras que serán inversamente proporcionales cuando al
aumentar una, disminuye la otra y viceversa.
Se resuelve según el esquema siguiente, donde “d” representa una
magnitud directamente proporcional e “i” una magnitud inversamente
proporcional a la magnitud x (regla de tres directa e inversa, simple o
compuesta):
A
C
d
B
x
A
CB
x
A
C
i
B
x
A B
x
C
12. Resuelve:
(a) Sabiendo que un tubo de 16m. de longitud pesa 240 Kg.
determina la longitud que tendrá otro tubo de la misma
sección y 600 Kg. de peso.
(b) Sabiendo que 11 Kg. de azúcar cuestan lo mismo que 2 Kg. de
café, calcula que cantidad de café se podrá comprar por el
precio de una tonelada de azúcar.
(c) Tres trabajadores han realizado una obra en 4 horas 40
minutos. Calcular el tiempo que hubieran tardado 8
trabajadores en realizar el mismo trabajo.
(d) En una fábrica de refrescos, 5 máquinas embotelladoras llenan
en 6 horas 7.200 envases. ¿Cuántos envases llenarán en 9
horas 7 máquinas embotelladoras?
(e) Por 20 días de trabajo, a razón de 8 horas diarias, un
trabajador percibe la cantidad de 800 € ¿Cuánto percibirá por
5 días a razón de 6 horas diarias?
10
(f) En una campaña publicitaria 5 personas reparten 20.000
octavillas en 8 días. ¿Cuántos días tardarían 8 personas en
repartir 34.000 octavillas?
(g) Diez personas han levantado una valla de 180 m de largo en 6
(h) días. ¿Cuántos días tardarían 12 personas en levantar una
valla de 504 m de largo?
Asociados
problemas: 




a la proporcionalidad numérica hay multitud de
Repartos directa e inversamente proporcionales
Cálculo de porcentajes
Problemas de interés simple
Problemas sobre móviles
Problemas de grifos, ...
Observación: Recordar en la resolución de problemas sobre
móviles con movimiento uniforme, que conviene hacer un esquema
previo de la situación del enunciado que nos ayude a entender las
relaciones entre las incógnitas, y aplicar la fórmula física que rige este
movimiento:
velocidad(v) 
espacio(s)
tiempo(t)
Así mismo, recordar la fórmula del interés simple:
interés =
capital  rédito  tiempo
,
100
tiempo en años.
13. Resuelve:
(a) ¿Cuánto debe abonarse por un ordenador cuyo precio es de
1175 € si se ha aplicado un descuento del 12%?
(b) Tres amigos juegan un décimo de lotería, que resulta
premiado con 6.000 €. Calcula cuánto corresponde a cada uno,
sabiendo que el primero juega doble que el segundo, y éste
triple que el tercero.
(c) Reparte 100 € en partes inversamente proporcionales a 7, 8 y
10.
(d) Calcula el interés producido por un capital de 5000 € impuesto
al 8,5% en 8 años.
11
2.
La diferencia de dos números es 6, y la diferencia entre sus
cuadrados es 144. Calcula estos números. (Indicación: Resuelve el
sistema que aparece por el método de sustitución, despejando una
de las dos incógnitas de la ecuación más fácil)
[Solución: 15 y 9 ]
3.
La diagonal de un rectángulo mide 26 m, y el perímetro 68 m.
Calcula las dimensiones del rectángulo.
[Solución: 24 x 10 m ]
Bloque 2: Álgebra
Unidad Didáctica 6
Sistemas de ecuaciones.
1.
Ecuaciones con dos incógnitas.
Es una ecuación de la forma:
números cualquiera.
ax + by = c , siendo a, b, c tres
Solución de una ecuación con dos incógnitas es todo par de
valores (x, y) que hacen cierta la igualdad.
Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, que
pueden representarse gráficamente mediante una recta. Para ello:
(1) Se despeja la incógnita “y”.
(2) Se dan valores cualquiera a la incógnita “x”.
(3) Para cada uno de estos valores de “x” se calcula el
correspondiente valor de “y”.
(4) Se representan los tres puntos así obtenidos en unos ejes
cartesianos.
(5) Se unen los puntos obtenidos, formandose una recta.
1.
Representa las rectas correspondientes a las siguientes ecuaciones
y localiza su solución común:
(a) x + y = 5
(b) 2x – y = 7
[Solución: El punto x = 4, Y = 1 ]
2
11
paralela a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda el segundo
tren en alcanzar al primero y la distancia que ha recorrido
hasta lograrlo.
[Solución: (a) 160 km; 1h 20m (b) 2h 15m; 247’5 km (c) (d) (e) ]
Actividades de repaso.
1.
2.
x  3 y  3
 2  4  1
Resuelve y comprueba: 
1  x  2  y  1
 2
6
[Solución: x = –2; y = –1 ]
Halla dos números sabiendo que su suma es 25 y su diferencia 7.
[Solución: 16 y 9 ]
3.
En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61
cabezas y 196 patas. Halla el número de conejos y gallinas.
[Solución: 37 conejos y 24 gallinas]
4.
Si el mayor de dos hermanos tuviese 11 años más, su edad sería el
doble que la del pequeño. Pero si tuviese 6 años menos, ambos
tendrían la misma edad. Averigua la edad de cada hermano.
[Solución: 23 y 17 años ]
Actividades de ampliación.
1.
Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos
pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo
que el mulo le dijo : “¿De qué te quejas ? Si yo te tomara un saco,
mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu
carga se igualará a la mía”. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo y
cuántos el mulo ?
[Solución: 5 sacos el caballo y 7 el mulo. ]
10
2. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos
es
(2,-1)
encontrar su solución común. Se llamará sistema al conjunto formado
por las dos ecuaciones :
ax  by  c 
 siendo a, a’, b, b’, c, c’ seis números reales cualquiera.
a ' x  b ' y  c' 
La solución de este sistema de ecuaciones es la solución común a
ambas ecuaciones; puede ocurrir que sea única (sistema compatible
determinado), que no tenga solución (sistema incompatible), o que
tenga infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado).
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen la
misma solución. Resolver un sistema no es más que ir pasando a otros
sistemas equivalentes, cada uno de ellos más sencillo que el anterior,
hasta llegar a uno de la forma
3.
x  
 , que es la solución del sistema.
y  
Representa gráficamente:
(a) Un sistema con una única solución.
(b) Un sistema incompatible. (c) Un sistema indeterminado.
(d) Dos sistemas equivalentes.
Para resolver sistemas de ecuaciones, lo primero que hay que
hacer es transformar las dos ecuaciones hasta llegar a escribir ambas de
la forma ax + by = c , tras lo cual hay cinco métodos de resolución:
Método gráfico
(1)
(2)
(3)
Se despeja la incógnita y en las dos ecuaciones.
Se representan en los mimos ejes de coordenadas las dos
rectas así obtenidas.
El punto (a, b) donde se cortan ambas rectas es la solución
del sistema: x = a, y = b.
3
Ejemplo:
2x  y  3 

 x  3 y  5
y  3  2x
5 x
y
3
4.
(a) Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.
(b) Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7’8 €. Cinco
kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13’2 €. ¿A cómo
está el kilo de peras? ¿Y el de manzanas?
Método de sustitución
(1) Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
(2) Se sustituye el valor obtenido en la otra ecuación.
(3) Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita
que resulta.
(4) Se sustituye la solución obtenida en la expresión en la que
estaba despejada la otra incógnita.
(c) Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0’6 € por
cada pieza que sale de un taller para la venta, pero sufre una
pérdida de 0’8 € por cada pieza defectuosa que debe retirar.
En una jornada ha fabricado 2.100 bombillas, obteniendo unos
beneficios de 968’8 €. ¿Cuántas bombillas válidas y cuántas
defectuosas se han fabricado ese día?
Ejemplo:
2x  y  3 

 x  3 y  5
sii
; -7x = -14
y  3  2x
 x  3(3  2 x)  5
sii
x=2

(d) Una empresa de productos plásticos recibe el encargo de
fabricar cierto número de macetas para un día determinado. Al
planificar la producción, el gerente advierte que si se fabrican
250 macetas diarias, faltarían 150 macetas al concluir el plazo
que les han dado. Si fabrican 260 macetas diarias, entonces le
sobrarían 80 macetas. ¿Cuántos días de plazo tenían y cuántas
macetas le encargaron?
;  x  9  6 x  5 ;
y = 3 - 2(2) = -1 .
(e) La base mayor de un trapecio es 2 cm más larga que la
menor; la altura del trapecio mide 8 cm y su área 48 cm2.
¿Cuánto miden las bases?
Método de igualación
(1)
(2)
(3)
(4)
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones obtenidas.
Se resuelve la ecuación lineal que resulta.
Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las
expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
Ejemplo:
2x  y  3 

 x  3 y  5
sii
Resuelve:
y  3  2x 

 5  x
y
3 
sii
3  2x 
5 x
3
sii
sii 9 - 6x = -5 + x sii -7x = -14 sii x = 2  y = 3 - 2(2) = -1.
4
[Solución: (a) 129 y 62 (b) 1’2 y 1’8 € (c) 1.892 válidas y 208 defect.
(d) 5.900 macetas, 23 días (e) 7 y 5 cm ]
5.
Resuelve:
(a) La distancia entre dos ciudades A y B es de 300 km. Un
autobús sale de A hacia B a 105 km/h. Simultáneamente sale
de B hacia A una moto a 120 km/h. Calcula la distancia que
recorre la moto hasta el momento del encuentro y el tiempo
que tardan en encontrarse.
(b) Un tren que avanza a una velocidad de 70 km/h lleva una
ventaja de 90 km a otro tren que avanza sobre una vía
9
Actividades.
1.
Método de reducción
Representa las rectas correspondientes a las siguientes ecuaciones
y localiza su solución común:
(a) –x + y = 1
(b) 2x – y = 3.
[Solución: El punto x = 4, y = 5 ]
2.
Resuelve por el método que consideres más adecuado:
2 x  3 y  43
3x  4 y  7
(a) 
(c) 
10 x  y  7
 2 x  5 y  7
4 x  6 y  11
x  y  9
(e) 
(b) 
17 x  5 y  1
20 x  3 y  4
3x  2 y  5
(f) 
 x  7  2 y  22
4 x  y
(d) 
5x  y  2
(1) Se transforman las ecuaciones dadas en otras equivalentes,
multiplicándolas por los números que convenga, de forma
que los coeficientes de una de las incógnitas sean los
mismos.
(2) Se restan las ecuaciones así obtenidas, con lo que
desaparecerá esa incógnita.
(3) Se resuelve la ecuación con una incógnita que resulta.
(4) Se sustituye la solución hallada en cualquiera de las dos
ecuaciones iniciales para hallar el valor de la otra incógnita.
Ejemplo:
2x  y  3 

 x  3 y  5
Resuelve por el método que consideres más adecuado:
x  3y  1 
5( x  2)  y  2

(a) 3x
(c)


x  5  3( y  5) 
 y  2
4

1'2 x  0'7 y  7
(e) 
 x  0'5 y  1'5
x3

5

y
(b)

2x  3 y   x  9

3x  2  5 y  1  9

(d)

5  3y
4x 
5

2

[Solución: (a) x=4, y=1 (b) x=7, y=2 (c) x=4, y=8 (d) x=1, y=–1
(e) x=7/2, y=4 ]
8
2x  y  3
 2 x  6 y  10
7y = -7
[Solución: (a) x=9, y=5 (b) x=1, y=8 (c) x=2, y=13 (d) x=2, y=8
(e) x=½, y=3/2 (f) x=17, y=23]
3.
sii

2x + (-1) = 3
sii
sii
y = -1 
x=2.
Método de Cramer
Este método se estudiará en cursos próximos con más
profundidad. Aunque dicho método es mucho más general, aquí nos
limitaremos a resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas de forma mecánica.
Ejemplo:
2x  y  3 

 x  3 y  5
de la forma:
volvemos a escribir el sistema sin las incognitas
2 1 || 3
.
 1 3 ||  5
5
Para calcular la x hacemos las siguientes operaciones:
(1) Identificar los datos conocidos y los que deseamos conocer.
(2) Dar nombre a los elementos desconocidos, procurando utilizar
el menor número de incógnitas posibles.
(3) Relacionar con ecuaciones lo conocido con lo desconocido.
(4) Resolver el sistema formado.
(5) Interpretar la solución o soluciones ajustándola al enunciado y
a las unidades de medida utilizadas.
***********************************
3 1
x
 5 3 ( 3  3 )  ( (5)  1) ) 9  (5) 14



2
2 1
( 2  3 )  ( (1)  1) 6  (1) 7
1 3
de la misma forma, para calcular la y :
2
1
y
2
1
4.
3
5
( 2  (5) )  ( (1)  3 )  10  (3)  7



1
1
( 2  3 )  ( (1)  1)
6  (1)
7
3
6.
Resuelve cada uno de los siguientes sistemas por los cinco métodos
expuestos:
3x  5 y  26
4 x  10y  32
5 x  y  5
(c) 
3x  y  11
(a) 
5 x  2 y  25
11x  5 y  102
(b) 
[Solución: (a) x=–2, y=4 (b) x=7, y=–5 (c) x=2, y=–5 ]
5.
Resuelve por el método que consideres más apropiado:
2y x 1
  
(a)  5
3 15

15
x

15
y2

3x  1  3 y  4  23x  y   9

(b)  x y
 3

2 3
[Solución: (a) x=9/5, y=5/3 (b) x=6, y=0 ]
3.
Resolución de problemas
Plantear un sistema de ecuaciones a partir de un problema es
traducir a lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe
con lo que se desea conocer. Conviene proceder de forma organizada,
por lo que es útil seguir los siguientes pasos:
6
Resuelve:
(a) Cada 8 horas un trabajador produce 10 cuadradas y 9 mesas
redondas. En 10 horas produce 8 mesas cuadradas y 18 mesas
redondas. Determinar el tiempo que tarda en producir cada
tipo de mesa.
(b) En una granja dedicada a la explotación de patos y conejos, si
se cuentan las cabezas, resultan 740; y si se cuentan las
patas, 2459. Calcular cuantos patos y cuantos conejos hay,
considerando que a uno de estos últimos le falta una pata.
(c) En un bar se venden bocadillos de tortilla a 2 € y bocadillos de
chorizo a 1 €. En una mañana se vendieron 52 bocadillos y la
recaudación final fue 77 €. ¿Cuántos se vendieron de cada
clase?
(d) En una parcela rectangular de 44 m de perímetro se hace un
jardín rectangular bordeado por un camino de 2 m de ancho.
Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del
jardín es 45 m2
[Solución: (a) 30 y 20 minutos (b) 250 patos y 490 conejos
(c) 25 de tortilla y 27 de chorizo (d) 13 x 9 m ]
7.
Resuelve:
(a) Dos poblaciones están a 50 km. En el mismo instante salen un
peatón de A hacia B a una velocidad de 5 km/h y un ciclista de
B hacia A a 20 km/h. ¿Cuánto tardan en encontrarse? ¿Qué
distancia recorre el peatón?
(b) Un ciclista que va a 18 km/h pretende alcanzar a otro ciclista
que va a 10 km/h y le lleva una ventaja de 6 km. ¿Cuánto
tiempo tardará en hacerlo? ¿Qué distancia recorrerá hasta
conseguirlo?
[Solución: (a) 2 horas; 10 km (b) 45m; 13’5 km ]
7