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PROGRAMA
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA
TITULACIÓN: INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL
PRIMERO
Asignatura: Troncal
Nº de créditos: 15 (9 teóricos + 6 prácticos)
Ciclo/Curso.Cuatrimestre: anual de primero
Profesor/es: Julio Flores (1er cuatrimestre) Sergio Sánchez (2 cuatrimestre)
TEMA 1 NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS (5h, 3T+2P)
Números naturales. Números enteros. Números racionales. Números irracionales. Concepto de número real. Números complejos.
Representación de los números complejos. Aritmética compleja. Ejercicios.
TEMA 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: EL MÉTODO DE GAUSS (10h, 6T+4P)
Sistemas de ecuaciones lineales. Eliminación gaussiana. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. Rango de un conjunto de
vectores. Matrices y operaciones entre matrices. Rango de una matriz. Teorema de Rouché. Reglas de la aritmética matricial.
Matrices elementales, cálculo de la inversa de una matriz mediante operaciones elementales. Ejercicios.
TEMA 3 DETERMINANTES (7h, 3T+4P)
La función determinante. Cálculo de determinantes mediante operaciones en las filas. Propiedades de la función determinante.
Desarrollo por los elementos de una línea. Ejercicios.
TEMA 4 ESPACIOS VECTORIALES (6h, 4T+2P)
Definición de espacio vectorial. Subespacios vectoriales. Dependencia e independencia lineal. Base y dimensión de un e.v. Espacios
de dimensión finita. Coordenadas. Cambio de base.
TEMA 5 ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS (5h, 3T+2P)
Producto escalar. Normas, distancia y ángulos. Producto vectorial. Producto mixto. Ejercicios.
TEMA 6 APLICACIONES LINEALES ENTRE ESPACIOS EUCLIDEOS (6h, 4T+2P)
Definición de aplicación lineal. Matriz de una aplicación lineal. Reflexiones. Proyecciones. Rotaciones. Dilatación y contracción.
Composición de aplicaciones lineales. Ejercicios.
TEMA 7 DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS (9h, 6T+3P)
Autovalores y autovectores. Polinomio característico. Diagonalización por semejanza. Diagonalización ortogonal. Aplicación a la
resolución de ecuaciones en diferencias. Ejercicios.
TEMA 8 GEOMETRÍA TRIDIMENSIONAL (4h, 2T+2P)
Variedades afines. El espacio geométrico tridimensional. Ecuaciones de rectas y planos. Posición relativa de rectas y planos.
Distancias y ángulos en E3. Ejercicios.
TEMA 9 MÉTODOS NUMÉRICOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (5h, 3T+2P)
Algoritmo del Método de Gauss. Algoritmo del Método de Gauss - Jordan.
TEMA 10 DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN (7h, 5T+2P)
Concepto de derivada. Derivabilidad y continuidad. Derivación de sumas, productos y cocientes de funciones. Derivación de
funciones compuestas: regla de la cadena. Derivada de la función inversa. Derivadas de orden superior. Diferenciabilidad en un
punto. Diferencial. Regla de l'Hopital. Ejercicios.
TEMA 11 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN (12h, 6T+6P)
Desarrollos en serie de Taylor. Extremos de funciones: extremos relativos libres, condiciones necesarias de extremos libres,
condiciones suficientes de extremos libres, extremos relativos condicionados. Estudio local de gráficas de funciones: monotonía,
concavidad y convexidad; extremos; posición de una curva respecto a su tangente; asíntotas. Ejercicios.
TEMA 12 DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (17h, 11T+6P)
Límite de una función de varias variables. Continuidad. Diferencial. Derivadas parciales y direccionales. Diferenciabilidad.
Teorema del valor medio. Derivación de funciones compuestas. Desarrollo de funciones de varias variables en la dirección de un
vector. Extremos relativos libres. Ejercicios.
TEMA 13 INTEGRACIÓN (3h, 2T+1P)
Concepto de integral de Riemann. Funciones integrables. Propiedades de la integral de Riemann. Teorema fundamental del cálculo.
Regla de Barrow. Integración por partes. Cambio de variables. Primitivas e integración indefinida. Ejercicios.
TEMA 14 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (9h, 7T+2P)
Integral doble. Integral triple. Propiedades de la integración múltiple. Teoremas de Fubini. Cambio de variable. Cálculo de áreas.
Cálculo de volúmenes. Aplicaciones. Ejercicios.
TEMA 15 CÁLCULO VECTORIAL (9h, 5T+4P)
Campos vectoriales. Divergencia y rotacional de un campo vectorial. Integral curvilínea. Circulación de un vector. Área de una
superficie. Integrales de superficie. Flujo de un vector. Teoremas integrales del análisis vectorial.
TEMA 16 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (16h, 9T+7P)
Concepto de ecuación diferencial. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definición y conceptos generales. Problemas de Cauchy y
problemas de contorno. Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden: a) del tipo y'=f(x), b) de variables separadas,
c)homogéneas, d)exactas, e)factores integrantes, f)lineales, g) reducibles a lineales. Resolución de ecuaciones diferenciales
ordinarias lineales de orden superior. Aplicaciones a la ingeniería química: modelos de cinética química. Ejercicios.
TEMA 17 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (9h, 5T+4P)
Tipos de sistemas. Reducción de ecuaciones de orden superior a sistemas. Sistemas lineales homogéneos. Sistemas lineales no
homogéneos. Sistemas lineales con coeficientes constantes. Ejercicios.
TEMA 18 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA, DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA (6h, 4T+2P)
Interpolación de Lagrange. Error de interpolación. Diferencias divididas. Fórmula de Newton. Fórmulas de derivación de tipo
interpolatorio. Error de derivación numérica. Fórmulas de integración de tipo interpolatorio. Error de integración numérica.
Fórmulas de Newton - Côtes. Fórmulas de integración gaussiana. Ejercicios.
TEMA 19 METODOS NUMÉRICOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES (4h, 3T+1P)
Método de Newton-Raphson. Aplicación a ecuaciones polinómicas. Extensión a sistemas de ecuaciones no lineales.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Anton, H. (1997). Introducción al álgebra lineal. Ed. Limusa

R.L. Burden, J.D. Faires (1998), Análisis numérico, ed. International Thomson Editores, 6ª edición.

Marsden, J.E. y Tromba, A.J. (1991). Cálculo vectorial. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

Zill, D. G. (1997). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones al modelado. Ed: International Thomson.

Kindelán U., Fontelos M. A. (2003). Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería, Ed. Dykinson.
OBJETIVOS
1.
Conocer la estructura de espacio vectorial.
2.
Conocer el concepto de aplicación lineal.
3.
Conocer y aplicar las principales técnicas de cálculo matricial.
4.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos directos e iterativos.
5.
Conocer la estructura de espacio euclídeo.
6.
Conocer y manejar las estructuras elementales del espacio geométrico tridimensional.
7.
Conocer y aplicar los principales resultados del cálculo diferencial de funciones de una y varias variables.
8.
Conocer y aplicar los principales resultados del cálculo integral clásico de funciones de una y varias
variables.
9.
Resolver integrales curvilíneas y de superficie. conocer y saber aplicar los teoremas integrales del cálculo
vectorial.
10. Conocer los conceptos fundamentales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (e.d.o.) y aplicar los
métodos de resolución de las e.d.o. más sencillas.
11. Conocer y aplicar métodos de interpolación, integración numérica y derivación numérica.
METODOLOGÍA

Clases teóricas
En el aula designada a tal efecto, se describirán los conceptos básicos con ejemplos ilustrativos.

Ejercicios Propuestos
A lo largo del curso se les propondrá a los alumnos ejercicios que impliquen la aplicación práctica de los conceptos
teóricos adquiridos en el aula. La realización de estos ejercicios influirá en la evaluación del alumno tal como se
explican en el siguiente apartado.

Laboratorio
- Se realizarán un total de 20 horas regladas de laboratorio en grupos dimensionados según las disponibilidades del
aula de informática. Durante estas horas se realizarán prácticas con Maple de derivación y diferenciación, cálculo
integral, determinación de extremos de funciones, representación gráfica de funciones y resolución de sistemas
lineales.
SISTEMA DE EVALUACIÓN
En la convocatoria de junio
Para valorar los conocimientos adquiridos por el alumno el profesor dispondrá de tres criterios:

Prácticas de laboratorio: 0 a 10 ptos.

Realización de ejercicios de control: 0 a 20 ptos.

Realización de ejercicios en clase: 0 a 10 ptos.

Exámenes: 0 a 70 ptos.
Se realizarán 2 ejercicios de control a mitad de cada cuatrimestre. Estos ejercicios tendrán una duración aproximada
de 2 horas.
Habrá dos exámenes: un examen parcial en de febrero del 2002 y un examen final en junio del 2002. El examen
parcial se puntuará sobre 35 puntos. Los alumnos que en él obtengan al menos 15 puntos y así lo deseen podrán
liberar la materia de dicho examen en el examen final. A los alumnos que no hayan alcanzado el aprobado en este
examen se les anulará la puntuación que en él obtengan.
El examen final se puntuará sobre 70 puntos (aquellos alumnos que hubieran aprobado el examen parcial puntuarán
únicamente sobre 35 puntos).
Para aprobar la asignatura en la convocatoria de junio será necesario y suficiente cumplir los requisitos 1 y 2.
Requisito 1: obtener al menos 30 puntos en el examen final (en el caso de haber aprobado el examen parcial habrá
que obtener 15 puntos).
Requisito 2: obtener, sumando todas las puntuaciones (examen + ejercicios propuestos + prácticas de laboratorio), 50
puntos.
La calificación final en la convocatoria de junio será la suma de todas las puntuaciones dividida por 10.
En la convocatoria de septiembre
En septiembre se realizará un examen final también valorado entre 0 y 70 puntos (entre 0 y 35 para aquellos alumnos
que hubieran aprobado el examen parcial). Para aprobar la asignatura en la convocatoria de septiembre será necesario
y suficiente cumplir los requisitos 1 y 2 (sustituyendo la puntuación del examen final de junio por la puntuación del
examen final de septiembre). La calificación final en la convocatoria de septiembre se obtendrá de la misma forma
que en la convocatoria de junio.