practica 5 - Angelfire

PRACTICA 5
POSTULADOS Y TEOREMAS
DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
PRACTICA 5
TRABAJO PROFESIONAL
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
62
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
5. LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
OBJETIVO.

El objetivo principal de esta práctica es llegar a manejar los postulados y
teoremas del álgebra de Boole como herramienta básica en el análisis y
síntesis de circuitos digitales.
5.1 FUNDAMENTOS TEORICOS.
El álgebra de Boole, denominada también como álgebra de la lógica computacional,
permite prescindir de la intuición y simplificar deductivamente afirmaciones lógicas que
son todavía más complejas. En sí son las matemáticas de los sistemas digitales.
5.2 DEFINICIONES.

Se establecen los conceptos fundamentales (símbolos o términos no definidos).

Se define un conjunto de postulados que forman la base del álgebra.

Se constituyen los teoremas fundamentales del álgebra a partir de los
postulados.
A su vez, las exigencias y condiciones que deben reunir los postulados son:
1. Los postulados deben ser coherentes o consistentes para que un álgebra
definida pueda desarrollarse por deducciones lógicas. En caso contrario, el
sistema resulta contradictorio.
2. Los postulados deben ser independientes; es decir irreductibles recíprocamente
(libre de reducciones)
3. Los postulados deben ser tan simples en su enunciado como sea posible; es
decir, no separables en dos o más partes.
TRABAJO PROFESIONAL
63
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
5.3 POSTULADOS
P.1.
Existe un conjunto M de elementos sujetos a una relación de equivalencia
denotada por el signo = que satisfacen el principio se sustitución.
P.2.a. Para toda (A, B) en M, A + B es una operación binaria (suma lógica) denotada
por el signo +, tal que:
(A + B) está en M.
Es decir, el conjunto M es cerrado a esta operación.
P.2.b.
Para toda (A, B) en M, A● B es una operación binaria (producto lógico)
denotada por el signo ., tal que:
(A●B) está en M.
Es decir, el conjunto M es cerrado a esta operación.
P.3.a. Existe un elemento 0 en M, tal que:
A+0=A
Para toda A en M.
P.3.b. Existe un elemento 1 en M, tal que:
A●1 = A
Para toda A en M.
P.4.a. Para toda (A, B) en M:
A+B=B+A
Se satisface la propiedad conmutativa
P.4.b. Para toda (A, B) en M:
A● B = B ● A
Se satisface la propiedad conmutativa
P.5.a. Para toda (A, B, C) en M:
TRABAJO PROFESIONAL
64
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
A + (B ● C) = (A + B) ● (A + C)
Ley distributiva de la suma sobre el producto
P.5.b. Para toda (A, B, C) en M:
A ● (B + C) = (A ● B) + (A ● C)
Ley distributiva del producto sobre la suma
P.6.a. Para todo elemento A en M, existe un elemento A', tal que:
A + A' = 1
P.6.b. Para todo elemento A en M, existe un elemento A', tal que:
A ● A' = 0
P.7. Existen por lo menos (A, B) en M, tal que:
A es diferente de B
Se habrá observado cierta similitud entre estos postulados y los del álgebra ordinaria.
Nótese sin embargo, que la primera ley distributiva P.5.a. No es válida en el álgebra
ordinaria y que tampoco existe ningún elemento A' en dicha álgebra.
También se notará que los postulados se presentaron por pares. Una observación más
detenida, muestra que existe una dualidad entre los símbolos + y ●, lo mismo que entre
los dígitos 1 y 0. Si el símbolo + se sustituye por ● y ● por +, así como todos los UNOS
se sustituyen por CEROS y los CEROS por UNOS, en cualquiera de los postulados de
cada par, el resultado es el otro postulado. A causa de esta dualidad fundamental,
cada teorema que se presenta tendrá su dual que se obtendrá efectuando la
sustitución mencionada. Por tanto, la demostración de un teorema implica la validez de
su teorema dual.
TRABAJO PROFESIONAL
65
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
5.4 TEOREMAS FUNDAMENTALES.
A continuación se presentan los teoremas principales del álgebra de Boole, los cuales
son la base del trabajo subsiguiente. Es posible demostrar dichos teoremas por
cualquiera de los siguientes métodos:
1. Algebraicamente (empleando postulados y teoremas ya demostrados).
2. Gráficamente (por medio de los diagramas de Venn).
3. Por inducción perfecta (empleando tablas de verdad).
Aquí se empleará el método algebraico pues se considera la mejor manera de iniciarse
en esta álgebra, además de que sólo se demostrarán los teoremas primales, pero
aplicando las reglas de dualidad mencionadas anteriormente, se podrá obtener la parte
dual.
T.1. Teoremas sobre la UNICIDAD.
1.a. El elemento 0 es único.
1.b. El elemento 1 es único.
Demostración de 1.a.
Por contradicción, supóngase que 0 y 1 son neutros aditivos, por lo que deben
satisfacer al postulado.
P.3.a, es decir:
A + 0 = A y A1 + 01 = A1
Si A1 = 0 y A = 01 y como 0 es neutro, por suposición, entonces:
01 + 0 = 0
(1)
Además como 01 es neutro, por suposición, entonces:
0 + 01 = 0
(2)
De (1) y (2) se tiene:
01 = 0
Con lo que se demuestra el teorema.
TRABAJO PROFESIONAL
66
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
T.2. Teoremas sobre la EQUIPOTENCIA.
2.a. A + A = A
2.b. A ● A = A
Demostración de 2.a.
A + A = (A + A) ● 1
(P.3.b.)
A + A = (A + A) ● (A + A')
(P.6.a.)
A + A = A + (A ● A')
(P.5.a)
A+A=A+0
(P.6.b.)
A+A=A
(P.3.a.)
T.3.
3.a. A + 1 = 1
3.b. A ● 0 = 0
Demostración de 3.a.
A + 1 = 1 ● (A + 1)
(P.3.b.)
A + 1 = (A + A') ● (A + 1)
(P.6.a)
A + 1 = A + (A' ● 1)
(P.5.a)
A + 1 = A + A'
(P.3.b.)
A+1=1
(P.6.a.)
T.4. Teoremas de ABSORCIÓN.
4.a. A + (A ● B) = A
4.b. A . (A + B) = A
Demostración de 4.a.
A + (A ● B) = (A ● 1) + (A ● B)
(P.3.b.)
A + (A ● B) = A ● (1 + B)
(P.5.b.)
A + (A ● B) = A ● 1
(T.3.a.)
A + (A ● B) = A
(P.3.b.)
TRABAJO PROFESIONAL
67
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
T.5. El elemento A' es único.
Demostración.
Por contradicción, supóngase que existen dos elementos distintos A'1 y A'2, tales que
satisfacen los postulados P.6.a. Y P.6.b., es decir:
A + A'1 = 1 y A + A'2 = 1
A ● A'1 = 0 y A ● A'2 = 0
Entonces:
A'2 = 1 ● A'2
(P.3.b)
A'2 = (A + A'1) ● A'2
(por suposición)
A'2 = (A ● A'2 ) + (A'1 ● A'2)
(P.5.b.)
A'2 = 0 + (A'1 ● A'2)
(por suposición)
A'2 = (A ● A'1) + (A'1 ● A'2)
(por suposición)
A'2 = (A + A'2) ● A'1
(P.5.b)
A'2 = 1 ● A'1
(por suposición)
A'2 = A'1
(P.3.b.)
T.6. Para toda A en M, A = A''
Demostración
Sea A'' = X, por tanto:
A' + X = 1 y A' ● X = 0
(P.6.)
Pero:
A' + A = 1 y A' ● A = 0
(P.6.)
Así que tanto X como A' satisfacen el postulado P.6. Como el complemento de A, por
tanto:
X = A, es decir, A'' = A
T.7. Teoremas de ABSORCIÓN
7.a. A ● [(A + B) + C] = [(A + B) + C] ● A = A
TRABAJO PROFESIONAL
68
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
7.b. A + [(A ● B) ● C] = [(A ● B) ● C] = A
Demostración de 7.a.
A ● [(A + B) + C] = A ● (A + B) + (A ● C)
(P.5.b.)
A ● [(A + B) + C] = (A ● A) + (A ● B) + (A ● C)
(P.5.b.)
A ● [(A + B) + C] = A + (A ● B) + (A ● C)
(T.2.)
A ● [(A + B) + C] = A ● (1 + B + C)
(P.5.b.)
A ● [(A + B) + C] = A ● 1
(T.3.)
A ● [(A + B) + C] = A
(P.3.b.)
T.8. Teoremas sobre la ASOCIACIÓN.
8.a. A + (B + C) = (A + B) + C
8.b. A ● (B ● C) = (A ● B) ● C
Demostración de 8.a.
Sea:
Z = [(A + B) + C] ● [A + (B + C)]
Z = {A ● [(A + B) + C]} + {(B + C) ● [(A + B) + C]}
(P.5.b.)
Z = A + {(B + C) ● [(A + B) + C]}
(T.7.)
Z = A + {B ● [(A + B) + C] + C ● [(A + B) + C]}
(P.5.b.)
Z = A + {B + C ● [(A + B) + C]}
(T.7.)
Z = A + (B + C)
(T.7.)
(1)
Como:
Z = [(A + B) + C] ● [A + (B + C)]
Z = {(A + B) ● [A + (B + C)]} + {C ● [A + (B + C)]}
(P.5.b.)
Z = {(A + B) ● [A + (B + C)]} + C
(T.7.)
Z = {A ● [A + (B + C)] + B ● [A + (B + C)]} + C
(P.5.b.)
Z = {A ● [A + (B + C)] + B} + C
(T.7.)
Z = (A + B) + C
(T.7.)
(2)
Por consiguiente, de (1) y (2) y por transitividad:
TRABAJO PROFESIONAL
69
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Z = A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
T.9. Teoremas sobre la COMPLEMENTACIÓN.
9.a. A + (A' ● B) = A + B
9.b. A ● (A' + B) = A ● B
Demostración de 9.a.
A + (A' ● B) = (A + A') ● (A + B)
(P.5.a.)
A + (A' ● B) = 1 ● (A + B)
(P.6.a.)
A + (A' ● B) = A + B
(P.3.b.)
T.10. Teoremas de DeMORGAN.
10. a. (A + B)'' = A' . B'
10.b. (A ● B)' = A' + B'
Demostración de 10.a.
Primera parte:
(A + B) + (A' ● B') = [(A + B) + A'] ● [(A + B) + B']
(P.5.a.)
(A + B) + (A' ● B') = [A' + (A + B)] ● [(A + B) + B']
(P.4.a.)
(A + B) + (A' ● B') = [(A' + A) + B] ● [A + (B + B')]
(T.8.)
(A + B) + (A' ● B') = (1 + B) ● (A + 1)
(P.6.a.)
(A + B) + (A' ● B') = 1 ● 1
(T.3.a.)
(A + B) + (A' ● B') = 1
(T.2.b.)
(1)
Segunda parte:
(A + B) ● (A' ● B') = (A' ● B') ● (A + B)
(P.4.b.)
(A + B) ● (A' ● B') = (A' ● B' ● A) + (A' ● B' ● B)
(P.5.b.)
(A + B) ● (A' ● B') = 0 + 0
(P.6.b.)
(A + B) ● (A' ● B') = 0
(T.2.a.)
TRABAJO PROFESIONAL
(2)
70
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Por tanto, de (1) y (2) se concluye que:
(A + B)' = A' ● B'
T.11.
11.a. (A . B) + (A' ● C) + (B ● C) = (A ● B) + (A' ● C)
11.b. (A + B) ● (A' + C) ● (B + C) = (A + B) ● (A' + C)
Demostración de 11.a.
(A ● B) + (A' ● C) + (B ● C) = (A ● B ● 1) + (A' ● 1 ● C) + (1 ● B ● C) =
(P.3.b.)
= [A ● B ● (C + C')] + [A' ● (B + B') ● C] + [(A + A') ● B ● C ] =
(P.6.b.)
= (A B C) + (A B C') + ( A' B C) + (A' B' C) + (A B C) + (A' B C) =
(P.5.b.)
= (A B C) + (A B C') + ( A' B C) + (A' B' C) =
(T.2.)
= [A ● B ● (C + C')] + [A' ● C ● (B + B')] =
(P.5.a.)
= (A ● B ● 1) + (A' ● C ● 1)
(P.6.a.)
(A ● B) + (A' ● C) + (B ● C) = (A ● B) + (A' ● C)
(P.3.b.)
T.12.
12.a. (A ● B) + (A ● B' ● C) = (A ● B) + (A ● C)
12.b. (A + B) ● (A + B' + C) = (A + B) ● (A + C)
Demostración de 12.a.
(A ● B) + (A ● B' ● C) = A ● [B + (B' ● C)]
(P.5.b.)
(A ● B) + (A ● B' ● C) = A ● [(B + B') ● (B + C)] = A ● (B + C)
(T.9.a.)
(A ● B) + (A ● B' ● C) = (A ● B) + (A ● C)
(P.5.b.)
T.13.
13.a. (A ● B) + (A ● B') = A
TRABAJO PROFESIONAL
71
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
13.b. (A + B) . (A + B') = A
Demostración de 13.a.
(A ● B) + (A ● B') = A ● (B + B')
(P.5.b.)
(A ● B) + (A ● B') = A ● 1
(P.6.b.)
(A ● B) + (A ● B') = A
Para fácil referencia, los teoremas se resumen en la siguiente tabla:
TEOREMA PRIMAL
TEOREMA DUAL
T.1.a. 0 es único
T.1.b. 1 es único
T.2.a A + A = A
T.2.b. A ● A = A
T.3.a. A + 1 = A
T.3.b. A ● 0 = 0
T.4.a. A + (A ● B) = A
T.4.b. A ● (A + B) = A
T.5. A' es único
No tiene
T.6. A = A''
No tiene
T.7.a. A ● [(A + B) + C] = [(A + B) + C] ● A = A
T.7.b. A + [(A ● B) ● C] = [(A ● B) ● C] + A =
T.8.a. A + (B + C) = (A + B) + C
A
T.9.a. A + (A' ● B) = A + B
T.8.b. A ● (B ● C) = (A ● B) ● C
T.10.a. (A + B)' = A' ● B'
T.9.b. A ● (A' + B) = A ● B
T.11.a. (A ● B) + (A' ● C) + (B ● C) = (A ● B) + (A' ● T.10.b. (A ● B)' = A' + B'
C)
T.11.b. (A + B) (A' + C)(B + C) = (A + B)(A' +
T.12.a. (A ● B) + (A ● B' ● C) = (A ● B) + (A ● C)
C)
T.13.a. (A ● B) + (A ● B') = A
T.12.b. (A + B)(A + B' + C) = (A + B) (A + C)
T.13.b. (A + B) ● (A + B') = A
5.5 DESARROLLO PRACTICO ÁLGEBRA DE BOOLE
Utilizando el programa Workbench armar el circuito de la figura 5.1.
La función de salida Z del circuito anterior es.
Z(A,B,C,D) = A'BC' + A'B'C'D + B'C'D
TRABAJO PROFESIONAL
72
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
X WG1
16
0
Z
A
2.5 V
U1
0
U4
0
NOT
0
AND3
0
B
X
OR2
U2
U5
X
NOT
X
X
R
AND4
C
15
T
31
OR2
U3
NOT
AND3
Figura 5.1
La tabla de verdad de la salida (Z) es:
A B C D A'BC' A'B'C'D B'C'D Z
0 0 0
0
0
0
0
0
0 0 0
1
0
1
1
1
0 0 1
0
0
0
0
0
0 0 1
1
0
0
0
0
0 1 0
0
1
0
0
1
0 1 0
1
1
0
0
1
0 1 1
0
0
0
0
0
0 1 1
1
0
0
0
0
1 0 0
0
0
0
0
0
1 0 0
1
0
0
1
1
1 0 1
0
0
0
0
0
1 0 1
1
0
0
0
0
1 1 0
0
0
0
0
0
1 1 0
1
0
0
0
0
1 1 1
0
0
0
0
0
1 1 1
1
0
0
0
0
TRABAJO PROFESIONAL
73
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
En el generador de palabras vamos a ingresar la numeración de acuerdo a la tabla,
ponemos el control de
simulación en paso a paso para observar la salida más
detalladamente, la frecuencia también la ajustamos a 1 Hz.
5.5.1 REPRESENTACION FISICA (RECOMENDADA).
Material a utilizar.

1 Circuito integrado SN74LS21 (compuerta AND de cuatro entradas).

1 Circuito integrado SN74LS11 (compuerta AND de tres entradas).

1 Circuito integrado SN74LS04 (compuerta NOT (inversor)).

1 Circuito integrado SN74LS32 (compuerta OR de dos entradas).

5 Resistencias de 470 Ω.

1 LED.

1 Switch DIP de 8 entradas.

1 Fuente variable de 0 a 12 Volts de corriente directa.

1 Protoboard para pruebas de laboratorio.
Armar en un protoboard el circuito de la figura 5.2, para generar Z.
Figura 5.2
TRABAJO PROFESIONAL
74
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Operaciones a realizar:
Excite el circuito de acuerdo a la tabla de verdad y
compruebe dicha tabla, compruebe las ventajas del álgebra de Boole.
Tenemos la función original aplicamos el Álgebra de Boole para reducirla.
Z(A,B,C,D) = A'BC' + A'B'C'D + B'C'D
Simplificando Z, utilizando el álgebra de Boole, se tiene:
Z(A,B,C,D) = A'BC' + A'B'C'D + B'C'D = A'BC' + B'C'D(A' + 1) = A'BC' + B'C'D
En base a la simplificación tenemos que la función reducida da el circuito de la figura
5.3
Figura 5.3
La tabla de verdad de la función reducida es:
A
B
C
D
A'BC'
B'C'D
Z
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
TRABAJO PROFESIONAL
75
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
Teniendo ya la expresión reducida armar en workbench el circuito de la figura 5.4.
X WG1
16
0
A
U4
0
Z
0
NOT
0
AND3
B
0
X
NOT
X
U7
U1
2.5 V
OR2
C
X
X
15
R
T
31
AND3
NOT
D
Figura 5.4
5.5.2 REPRESENTACION FISICA (RECOMENDADA).
Material a utilizar.

1 Circuito integrado SN74LS11 (compuerta AND de tres entradas).

1 Circuito integrado SN74LS04 (compuerta NOT: inversor).
TRABAJO PROFESIONAL
76
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA

1 Circuito integrado SN74LS32 (compuerta OR de dos entradas).

5 Resistencias de 470 Ω.

1 LED.

1 Switch DIP de 8 entradas.

1 Fuente variable de 0 a 12 Volts de corriente directa.

1 Protoboard para pruebas de laboratorio.
Armar en un protoboard el circuito de la figura 5.5
Figura 5.5
Operaciones a realizar:
Excite el circuito de acuerdo a la tabla de verdad y
compruebe dicha tabla, compruebe las ventajas del álgebra de Boole.
Se puede construir el circuito reducido empleando sólo compuertas NO-Y, para lo cual
se complementa 2 veces la función y se aplica uno de los complementos, tal como se
indica a continuación:
Z(A,B,C,D) = (A'BC' + B'C'D)'' = [(A'BC')' (B'C'D)']'
Armar en Workbench el circuito de la figura 5.6. Es el circuito referido a la expresión
reducida implementado con compuertas NAND.
TRABAJO PROFESIONAL
77
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
X WG1
A
16
0
Z
U4
0
0
NAND3
U6
B
0
2.5 V
NAND3
0
U5
X
NAND3
NAND3
C
X
NAND3
X
X
15
R
T
NAND3
31
VCC
D
5V
Figura 5.6
La tabla de verdad es:
A
B
C
D
(A'BC')' (B'C'D)' Z
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
TRABAJO PROFESIONAL
78
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
5.5.3 REPRESENTACION FISICA (RECOMENDADA).
Material a utilizar.

2 Circuitos integrados SN74LS10 (compuerta NAND de tres entradas).

5 Resistencias de 470 Ω.

1 LED.

1 Switch DIP de 8 entradas.

1 Fuente variable de 0 a 12 Volts de corriente directa.

1 Protoboard para pruebas de laboratorio.
Armar el circuito de la figura 5.7 en un protoboard y comparar.
Figura 5.7
Operaciones a realizar: Excite el circuito de acuerdo a la tabla de verdad y
compruebe dicha tabla, compruebe las ventajas del álgebra de Boole.
TRABAJO PROFESIONAL
79
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Anote su s conclusiones para esta práctica.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
TRABAJO PROFESIONAL
80
PRACTICA 5
LEYES, REGLAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
_____________________________________________________________________
TRABAJO PROFESIONAL
81