Teoremas sobre funciones derivables

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS SOBRE TEOREMAS DE LAS FUNCION
DERIVADA
1) Demuestra que la ecuación x3 = 5 - x tiene al menos una solución real.
2) Demuestra que la ecuación x18 - 5x + 3 = 0 no puede tener más de dos raíces
reales.
3) Calcula el número de soluciones de la ecuación:
12e2x(1 - x) - 1 = 0, así como un intervalo de amplitud 1 que las contenga.
4) Demuestra que si f es una función continua en (a, b( y que si k ( (f(a), f(b)), existe
c ( (a, b) tal que f(c) = k .
5) Demuestra que las ecuaciones:
a) e-x = x - 2,
b) x80 + = 77.
tienen una solución por lo menos.
6) Sea f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + a1x1 + a0 una función polinómica en la que an y
a0 tienen signo distinto. Demuestra que f(x) = 0 al menos para un x positivo.
7) Sea una función continua en [0, 1] tal que 0 f(x) 1 [0, 1]. Demuestra que f(x0) = x0
para algún x0 [0, 1].
8) Un coche sale de Barcelona a las 10 de la mañana con dirección Madrid. Al día
siguiente sale a la misma hora hacia Barcelona por la misma carretera. Los viajes los
realiza sin ningún tipo de control, ni de velocidad, ni de paradas. Demuestra que hay
un punto del recorrido por el que se pasa los dos días a la misma hora.
9) Analiza si las ecuaciones f(x) = k tienen solución, para las funciones f(x) indicadas,
en los intervalos correspondientes, y en caso afirmativo busca una aproximación de
la solución de la ecuación.
a) f(x) = x3 - x² + x - 2, en [0, 3], k = 4.
b) f(x) = , en [-2, 2], k = 0.
c) f(x) = , en [-1, 3], k = 1/2.
d) f(x) = , en [-3, 3], k = 0.
10) ¿Puede ser inyectiva una función continua f en [-2, 3] que tiene el máximo en x =
1 y el mínimo en x = 3?
11) Calcula el límite : lim
x 0
x  ln(1  x)
.
x2
12) Calcula el límite: lim 1  cos x
x0
tg x
.
 1 x
ln

 x 
13) Calcula el límite: lim
.
x
1
x
14) Calcula el límite: lim1 senx x .
1
x0
15) Calcula el límite: lim x  ln x .
x 0
1
16) Calcula el límite: lim x(e x  1) .
x
17) Calcula el límite: lim 3e2x - x .
x
1
e x 1
18) Calcula el límite: lim
.
x 2arctg x² - 
2
1+x
 sen2x
19) Calcula el límite: lim

x0
x 
20) Calcula el límite: lim+
x0
.
e x  (1  x)
.
x3
1
 1
21) Calcula el límite: lim
 .
x0 sen² x
x² 
22) Calcula el límite:


lim+ ex  x
x0
1
x
.
1

23) Calcula el límite: lim  ln(senx)x +  .
x0+
x
24) Calcula el límite: lim (tg x) cosx .
x

2
¿Satisface la función f(x) = 1 - x las condiciones del teorema de Rolle?
¿Puede aplicarse el teorema de Cauchy a las funciones:
a) f(x) = ex y g(x) = ln|x| en el intervalo [-2, 2]?
b) f(x) = x2 - 4 y g(x) = ln|x| en intervalo [-2, 2]?
Calcula el valor de c que satisface el teorema del valor medio generalizado de
Cauchy para las funciones:
a) f(x) = ex y g(x) = x² - 4, en el intervalo [-2, 2].
b) f(x) = ex y g(x) = senx, en el intervalo [
 3
,
].
4 4
Aplica el teorema del valor medio generalizado de Cauchy a las funciones
f(x) = -x2 - 3x + 6 y g(x) = 5x2 - 4x en el intervalo [-1, 4.
Aplica el teorema del valor medio para calcular aproximadamente,
5
33 .
¿En qué punto de la gráfica de la función y = lnx, la recta tangente es paralela a la
recta que pasa por los puntos de abscisa x = e y x = e2?
¿Puede aplicarse el teorema del valor medio a las funciones:
a) f(x) =
x-1
, en el intervalo [1, 3]?
x
x 1 , en el intervalo [1, 5]?
b) f(x) =
c) f(x) =
3
x² , en el intervalo [-1, 8]?
Analiza si se puede aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [a, b] donde
f(a) = f(b) = 0. En cada caso calcular el valor de c en el que f’(c) = 0.
a) f(x) = x - 3x².
b) f(x) = x3 - 2x² - x + 2.
c) f(x) = |x| - 2.
d) f(x) = |x -4| - 4.
x+2
.
x
e) f(x) =
f) f(x) =
3
x²  1.
g) f(x) =
x² - x
.
x-2
h) f(x) =
x² - 1
.
x
¿Se cumple el teorema de Rolle para la función f(x) =
¿Para qué valor de c?
3
8x - x² en el intervalo [0, 8]?