Cálculo I - Sistema de Información de la UNRC

UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CARRERA/S: Analista en Computación, Profesorado en Ciencias de la Computación y
Licenciatura en Ciencias de la Computación.
PLAN DE ESTUDIOS: 1999
ASIGNATURA: Cálculo I
CÓDIGO: 1978
DOCENTES RESPONSABLES: *Dra. Claudia Gariboldi (Primer Cuatrimestre)
*Mg. Cecilia Elguero (Segundo Cuatrimestre)
EQUIPO DOCENTE: *Prof. Norma Gallardo – Dra. Albina Priori – Prof. Andrea Maero
(Primer Cuatrimestre)
*Prof. Sabina Bigolìn (Segundo Cuatrimestre)
AÑO ACADÉMICO: 2014
REGIMEN DE LA ASIGNATURA: Anual
CARGA HORARIA TOTAL: 224 hs
TEÓRICAS: 112hs
PRÁCTICAS: 112hs
LABORATORIO:--hs
CARÁCTER DE LA ASIGNATURA: Obligatoria
A. CONTEXTUALIZACIÓN DE LA ASIGNATURA
Esta asignatura se cursa durante el primer y segundo cuatrimestre de primer año. En la misma se
estudian temas correspondientes al análisis en una variable.
B. OBJETIVOS PROPUESTOS
Que los alumnos:

Adquieran destrezas algebraicas para la resolución de problemas.

Desarrollen la intuición en el proceso de construcción de las nociones de análisis.

Establezcan relaciones entre la representación formal de los conceptos trabajados con la
interpretación geométrica de los mismos.
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
Reconozcan y apliquen herramientas del cálculo infinitesimal en situaciones problemáticas de
diferentes disciplinas.

Conozcan distintas maneras de abordar una situación problemática.

Descubran que en algunas situaciones obtienen resultados exactos en tanto que en otras solo
pueden lograr resultados aproximados.

Analicen las diferentes formas de resolución de un problema, sus ventajas y desventajas.
C. CONTENIDOS BÁSICOS DEL PROGRAMA A DESARROLLAR
Números reales. Funciones. Algunas funciones especiales. Definición de límite de una función en un
punto. Propiedades. Definición de continuidad. Tipo de discontinuidades. Derivadas: definición,
ecuación de recta tangente, reglas de derivación, interpretación física de la derivada. Aplicaciones de
la derivada: gráfico de funciones, problemas de optimización, Regla de L’Hopital.. Integrales
Indefinidas. Noción de primitiva. Métodos de integración. Integrales definidas. Definición y
propiedades. Teorema Fundamental del Cálculo. Regla de Barrow. Integración numérica. Cálculo de
áreas planas, longitud de curvas planas, volumen de sólido de revolución. Integrales impropias.
Sucesión de números reales. Series infinitas. Criterios de Convergencia. Series alternadas.
Convergencia absoluta y condicional. Criterio de Leibniz. Polinomio de Taylor. Teorema de Taylor
para el resto. Series de potencias. Radio de convergencia. Desarrollo de funciones en serie de
potencias.
D. FUNDAMENTACIÓN DE LOS CONTENIDOS
Los contenidos de esta asignatura, propios del cálculo infinitesimal, forman parte de las
herramientas básicas para el estudio de una gran cantidad de problemas de aplicación a distintas
ciencias, tales como la física, química, economía, etc. Es por ello que en el desarrollo de la asignatura,
tanto en las clases teóricas como prácticas se introducen ejemplos y problemas de aplicación. No
obstante, se destaca que la formalización matemática y la visualización geométrica de los conceptos,
no son de menor importancia en el tratamiento de los temas.
E. ACTIVIDADES A DESARROLLAR
En las clases teóricas se introducen los conceptos fundamentales de la materia: definiciones,
interpretaciones geométricas, propiedades y ejemplos ilustrativos. Se pone énfasis en el desarrollo de
la intuición geométrica. Se incentiva la participación de los alumnos, induciéndolos a relacionar los
nuevos temas, con los conocimientos que ya poseen. En las clases prácticas se abordan actividades
que contienen diversos tipos de ejercitaciones relacionados con los objetivos planteados: ejercicios
que permiten fomentar la destreza en los cálculos, ejemplos y contraejemplos de los diferentes
contenidos y problemas de aplicación a diferentes áreas.
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CLASES TEÓRICAS: presencial - 4hs
CLASES PRÁCTICAS: presencial – 4hs
F. NÓMINA DE TRABAJOS PRÁCTICOS
Se desarrollan 12 guías de trabajos prácticos:
Trabajo Práctico 1: Números Reales
Trabajo Práctico 2: Funciones (Primera Parte)
Trabajo Práctico 3: Funciones (Segunda Parte)
Trabajo Práctico 4: Límites
Trabajo Práctico 5: Continuidad
Trabajo Práctico 6: Derivadas
Trabajo Práctico 7: Aplicaciones de la Derivada
Trabajo Práctico 8: Integrales Indefinidas
Trabajo Práctico 9: Integrales Definidas
Trabajo Práctico 10: Aplicaciones de las Integrales Definidas
Trabajo Práctico 11: Sucesiones y Series Numéricas
Trabajo Práctico 12: Polinomios de Taylor y Series de Potencias
G. MODALIDAD DE EVALUACIÓN:
Evaluaciones Parciales: 4 parciales escritos, 4 recuperatorios y 2 recuperatorios globales.
Evaluación Final: Escrita, sobre contenidos impartidos en la teoría. Para aprobarlo deberá
responder al menos al 50% de las consignas.
H. CONDICIONES DE REGULARIDAD:
Para obtener la regularidad de la materia se deberá cumplimentar con el Régimen de Estudiantes y de
Enseñanza de Grado de la Universidad Nacional de Río Cuarto. Res. C.S.356/10:
a) Aprobar dos parciales en cada cuatrimestre o sus respectivos recuperatorios, acreditando un mínimo
del 50% de los conocimientos solicitados en cada examen. En ese porcentaje deben estar incluidos los
temas fundamentales de la asignatura. Aquellos alumnos que no hayan regularizado cada etapa en las
instancias antes mencionadas podrán rendir un recuperatorio global, teniendo acceso al mismo los que
hayan aprobado un parcial o un recuperatorio en la etapa correspondiente. Acceden a cursar la segunda
etapa de la asignatura sólo los alumnos que regularicen la primera.
b) Tener una asistencia a las clases prácticas de al menos el 75%.
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PROGRAMA ANALÍTICO
A. CONTENIDOS
UNIDAD 1: Números Reales
Números reales. Operaciones y Propiedades. Orden y Desigualdades. Valor absoluto. Propiedades.
UNIDAD 2: Funciones
Definición de función. Clasificación de las funciones. Función Inversa. Función Lineal. Sistemas
Lineales. Función Cuadrática. Sistemas Mixtos. Funciones Exponenciales y Logarítmicas. Funciones
Trigonométricas. Resolución de Triángulos.
UNIDAD 3: Límite y Continuidad
Definición de límite de una función en un punto. Propiedades de los límites. Indeterminaciones.
Asíntotas. Límites notables. Definición de función continua en un punto: ejemplos. Tipos de
discontinuidades: ejemplos. Definición de funciones continuas en un intervalo abierto (a, b) y en un
intervalo cerrado [a,b]. Teorema de conservación de signo. Propiedades de funciones continuas en
intervalos cerrados. Aplicación del teorema de Bolzano: Método de Bisección.
UNIDAD 4: Derivadas
Definición de la derivada de una función en un punto. Ecuación de la recta tangente. Cálculo de
derivadas. Ejemplos de funciones no derivables. Relación entre derivabilidad y continuidad.
Derivadas de suma, producto y cociente de funciones. Derivada de la composición de funciones
(Regla de la Cadena). Interpretación física de la derivada.
UNIDAD 5: Aplicaciones de la Derivada
Búsqueda de máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado. Teorema de Rolle.
Teorema del valor medio. Corolarios. Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión. Teorema del
valor medio de Cauchy. Regla de L'Hopital.
UNIDAD 6: Integrales Indefinidas
Noción de primitiva. Métodos de integración: por sustitución, por partes y por fracciones parciales.
Otras sustituciones para funciones racionales.
UNIDAD 7: Integrales definidas
Integral de Riemann en un intervalo. Definición y propiedades. Integrabilidad de funciones continuas
sobre un intervalo cerrado. La integral definida como función. Propiedades. Teorema Fundamental
del Cálculo. Regla de Barrow. Integración numérica: Regla del punto medio. Regla del trapecio.
UNIDAD 8: Aplicaciones de las integrales definidas
Cálculo de áreas planas, longitud de una curva plana, volumen de un sólido de revolución. Integrales
impropias.
UNIDAD 9: Sucesiones y Series Numéricas
Definición de sucesión de números reales. Sucesión convergente y divergente. Propiedades
elementales. Sucesiones monótonas. Sucesiones acotadas. Criterios de convergencia.
Series infinitas. Sucesión de sumas parciales. Series convergentes y divergentes. Condición del resto.
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Series geométricas. Series de términos positivos: Criterios de Comparación, del Cociente, de la
integral. Series alternadas. Convergencia absoluta y condicional. Criterio de Leibniz.
UNIDAD 10: Polinomios de Taylor y Series de Potencias
Definición de Polinomio de Taylor de una función en un punto. Propiedades. Teorema de Taylor
para el resto. Aplicaciones a la estimación de una función en un punto con una precisión dada. Series
de potencias. Radio de convergencia de la serie. Dominio de la series de potencias. Serie de Taylor
para una función. Desarrollo en serie de potencias de funciones conocidas.
B. CRONOGRAMA DE CLASES Y PARCIALES
Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Día/
Fecha
Parciales /
Recuperatorio
09/05
1er Parcial
Práctica 7
04/06
Rec. 1er Parcial
Práctico 7
13/06
24/06
2do Parcial
Rec. 2do Parcial
Teóricos
Prácticos
Unidad 1: Números reales. Valor absoluto
Unidad 1: Propiedades. Inecuaciones
Unidad 2: Funciones: Definición de función.
Clasificación de las funciones
Funciones Lineales. Funciones cuadráticas
Unidad
2:
Funciones
exponenciales,
logarítmicas, trigonométricas.
Unidad 3: Límite y Continuidad
Definición de límite de una función en un
punto. Propiedades de los límites Límites
notables
Unidad 3: Límite y Continuidad
Definición de función continua en un punto:
ejemplos.
Práctica 1
Práctica 1
Práctica 2
Unidad3: Límite y Continuidad
Tipos de discontinuidades: ejemplos.
Definición de funciones continuas en un
intervalo abierto (a, b) y en un intervalo cerrado
[a,b].
Unidad 3: Límite y Continuidad
Teorema de conservación de signo. Propiedades
de funciones continuas en intervalos cerrados
Unidad 4: Derivadas
Definición de la derivada de una función en un
punto dado. Ecuación de la recta tangente..
Cálculo de derivadas
Unidad 4: Derivadas
Ejemplos de funciones no derivables. Derivadas
de suma, producto y cociente de funciones.
Unidad 4: Derivadas
Derivada de la composición de funciones
(Regla
de
la
Cadena)Relación
entre
derivabilidad y continuidad.. Interpretación
física de la derivada
Unidad 5: Aplicaciones de la Derivada
Búsqueda de máximos y mínimos de una
función en un intervalo cerrado. Teorema de
Rolle. Teorema del valor medio. Corolarios.
Unidad 5: Aplicaciones de la Derivada
Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión.
Diferencial: su aplicación en aproximación de
valores de una función. Teorema del valor
medio de Cauchy. Regla de L’Hôpital.
Práctica 4
Práctica 2
Práctica 3
Práctica 3
Práctica 4
Práctica 5
Práctica 5
Práctica 5
Práctica 6
Práctica 6
Práctica 6
Práctica 7
Clases de Consultas
5
2do. Cuatrimestre
Semana
Teóricos
Prácticos
11/08 al 15/08
U6
Practica 8
19/08 al 23/08
U6
Practica 8
26/08 al 30/08
U6-U7
Práctica 8
02/09 al 06/09
U7
Práctica 9
09/09 al 13/09
U7- U8
Práctica 9
16/09 al 20/09
U8
Práctica 10
23/09 al 27/09
U8
Práctica 10
30/09 al 04/10
U9
Práctica 10
Día/ Fecha
Parciales / Recup.
Viernes 03/10
3er Parcial
Martes 21/10
Recup 3er parcial
Viernes 07/11
4to Parcial
Jueves 13/11
Recup 4to Parcial
Consulta
07/ al 11/10
U9
Práctica 11
14/10 al 18/10
U9
Práctica 11
Práctica 12
21/10 al 25/10
U10
U10
Práctica 12
Revisión
Práctica 12
Consulta
Consulta
28/10 al 01/11
04/11 al 08/11
11/11 al 15/11
Consulta
18/11 al 22/11
Revisión para
examen final
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C. BIBLIOGRFÍA

PRECÁLCULO. Michael Sullivan. Editorial Prentice Hall.

PRECÁLCULO. Faires/De Franza. Internacional Thomson Editores.

CÁLCULO. Vol. 1 y CÁLCULO II- Larson/Hostetler/Edwards. Mc. Graw-Hill.

CÁLCULO. Vol. 1 y 2- James Stewart. Thompson Learning, Cuarta Edición.

CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Vol. 1-Stein / Barcellos. Mc. Graw-Hill.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Bers (Tomos I y II).

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Ricardo Noriega. Editorial Docencia.

CÁLCULUS. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Editorial Reverté. S. A.
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