Una manera alternativa para el cálculo de la Función de

5as Jornadas de Investigación
Universidad Autónoma de Zacatecas
25 al 29 de Junio del 2001
Trabajo: CB/UFIS-06/038
Una manera alternativa para el cálculo de la Función de
Green de Superredes infinitas dentro del modelo de
enlace fuerte
Isaac Rodríguez-Vargas, Stoyan J. Vlaev y L.M. Gaggero-Sager
Escuela de Física, Universidad Autónoma de Zacatecas, Av. Preparatoria 301, 98060
Zacatecas, Zac., México.
RESUMEN
Se presenta una manera alternativa para el cálculo de la función de Green en superredes
infinitas dentro del modelo de enlace fuerte Tight-Binding, la idea principal es considerar a
la superred como un cristal artificial con celda unitaria del tamaño del periodo de la
superred y así poder generalizar un algoritmo que existe en la literatura para cristales. Se ha
usado el método de empalme de funciones de Green (SGFM) a través del formalismo de
matrices de transferencia para modelar la superficie, así como la aproximación del cristal
virtual (VCA) ya que el potencial no entra explícitamente en el calculo. Obteniendo la
densidad de estados (DOS) para diferentes superredes, observándose que a medida que
aumentamos el numero de monocapas en pozo respecto a la barrera se ve una clara
diferencia en la DOS cercas de los bordes de las bandas tanto de valencia como de
conducción respecto a la DOS del volumen homogéneo.
Introducción
Existen dos maneras básicas para tratar una superred.
La primera considera la superred con un numero finito de periodos sin introducir el vector
de onda k SL por la superperiodicidad [1,2]. En este caso la función de Green de la
superred finita se calcula dentro de la aproximación “slab” [1] o aplicando el método
SGFM [3,4] cuando la superred está empalmada por los lados con barreras homogéneas. Si
z es la dirección del crecimiento, en una representación mixta, la función de Green es
fin
GSL
(E; k x , k y ; n, m)
z  (m  n)d
donde d es la distancia entre las monocapas " n" y "m"
(1)
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Para que la función de Green de la ec. (1) se aproxime más a la de la superred infinita
tenemos que encontrarla en la parte central del “slab”.
La segunda manera para encontrar la función de Green de una superred infinita es
introducir el vector de onda k SL por la superperiodicidad [5], en este caso la función de
Green es
inf
GSL
( E; k x , k y ; k SL ; n, m)
(2)
Normalmente se usa el método SGFM [3,4] para calcular la función de Green de (2). La
ventaja es, que el tamaño de las matrices que aparecen no depende del tamaño del periodo
de la superred. La desventaja es que para hallar la función
inf
GSL
( E; k x , k y ; n, m)
(3)
que no depende del vector k SL , hace falta integrar en k SL , lo que es difícil y con poca
precisión.
Nosotros presentamos una manera nueva para calcular la función de Green (3) de una
superred infinita. La idea principal es considerar la superred como un cristal artificial con
celda unitaria, que tiene tamaño del periodo en la dirección Z. Entonces podemos
generalizar un algoritmo [6] que existe en la literatura para cristales.
Considérese una superred infinita (SL) la cual tiene nW monocapas de material en el pozo y
nb monocapas de material en la barrera (en nuestro caso tenemos GaAs en el pozo y AlAs
en la barrera) en cada periodo de la superred d  nw  nb , como se muestra en la figura.
Nosotros podemos considerar una capa principal la cual tiene periodo d en la superred.
Los índices de la capa principal son en este caso .......,N-1,N,N+1,......... Los Hamiltonianos
de dichas capas los podemos definir como [5]
2
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H N ,N
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,
H N , N 1
,
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H N , N 1
dichos hamiltonianos tienen la estructura siguiente:
H N ,N 
H wN wN
H wN bN
H b N wN
H b N bN
,
H N , N 1 
0
0
H b N w N 1
0
, H N , N 1 
0 H wN bN 1
(4)
0
0
La notación “b” y “w” es por barrera y pozo respectivamente, por sus siglas en ingles.
Donde por supuesto H N , N , H N , N 1 y H N , N 1 son supermatrices (2x2) y H w, w , H w,b ,
H b, w , H b,b son supermatrices también. Generalmente nw  nb , así que las matrices H w,b ,
H b, w no son cuadradas, pero las matrices H w, w , H b,b si lo son. Las dimensiones, por
ejemplo, para H w, w son (nw  nw ) , para H b,b son (nb  nb ) , para H w,b son (nw  nb ) y
para H b, w son (nb  nw ) , cada elemento de dichas matrices puede ser una matriz
dependiendo del modelo físico que estemos usando. Ahora daremos un ejemplo de cómo
obtener dichas matrices, considérese la superred 2/1 (SL 2/1), o sea con dos monocapas en
el pozo y solo una en la barrera entonces nuestra superred tiene periodo d=3 como se
muestra en la figura.
Por tanto, para identificar los elementos del Hamiltoniano, que como ya se dijo son
supermatrices y a su vez los elementos de estos también son matrices, en nuestro caso
(20x20) debido a la base de orbitales que estamos usando y considerando interacción a
primeros vecinos. Tomemos la capa principal N entonces para identificar H wN wN hemos
usado la numeración que se muestra en la figura, por tanto se ve que dicho hamiltoniano
será una supermatriz (2x2), donde el primer elemento (1,1) de dicha supermatriz es la
propia interacción de la monocapa consigo misma, en este caso la del pozo la cual esta
numerada con 1 (dicha numeración facilita la identificación de los elementos), tal elemento
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lo denotaremos como H nnx 0 (donde x=0 y x=1 se usa para diferenciar las concentraciones
de GaAs y AlAs respectivamente).
La interacción de la monocapa 1 con la 2 nos dará el elemento (1,2) el cual denotaremos
por H nnx 01 , ahora la interacción de la segunda monocapa con la primera nos dará el
elemento (2,1) el cual denotaremos por H nnx 01 y por ultimo la interacción de la segunda
monocapa consigo misma nos dará el elemento (2,2), pero dicho elemento se verá afectado
x  0, xr 1
por la monocapa de la barrera, el cual denotaremos por H LL
(donde  se usa para
identificar la concentración ala izquierda y r ala derecha).
Ahora para obtener la interacción de w N con bN o sea H wN bN , considérese la monocapa
1 del pozo interactuando con la única monocapa de la barrera (en este caso), como estamos
considerando interacción a primeros vecinos dicha interacción será nula por tanto el
elemento (1,1) será cero. Pero la interacción de la segunda monocapa del pozo con la
barrera no será nula y nos proporcionará el elemento (2,1) el cual lo denotaremos por
x 0, xr 1
.
H LLp
1
Para obtener el elemento H bN wN analicemos la interacción de la barrera con el pozo,
donde como se ve dicha supermatriz será (1x2). Por tanto la interacción de la barrera con
(1) del pozo será nula entonces (1,1) es cero, pero la interacción de la barrera con (2) del
pozo no lo es, entonces obtenemos el elemento (1,2) el cual será la matriz hermitica
conjugada obtenida para la interacción de el pozo con la barrera y será denotada como
x 0, xr 1 
( H LLp
) .
1
Por ultimo para la capa N nos falta la interacción barrera-barrera, como solo tenemos
x 1, xr  0
una monocapa por tanto solamente habrá un elemento el cual es H LL
.
El análisis antes hecho fue solo para la interacción de la capa principal N consigo misma
entonces para obtener H N , N 1 que es la interacción de la capa principal N con la N+1
vamos a analizar el único elemento que nos es nulo en dicha supermatriz que es H bN wN 1 , el
cual será una supermatriz (1x2). De tal manera consideremos el efecto de la barrera de la
capa N con el pozo de la capa N+1, por tanto la interacción de la barrera con (1) del pozo
x 1, xr 0
nos da H LLp
y la barrera con (2) es nula.
1
De igual forma para N con N-1, de donde para el elemento no nulo de H N , N 1 que es
H wN bN 1 obtenemos una supermatriz (2x1), con el elemento (1,1) denotado de la siguiente
x 1, xr 0 
forma ( H LLp
) y el elemento (2,1) nulo.
1
De tal forma que obtenemos las siguientes supermatrices
H wN w N 
H nnx 0
H nnx 01
0
H nnx 01
x 0, xr 1 
, H wN bN  x0, xr1 , H bN wN  0 (H LLp
)
1
x  0, xr 1
H
H LL
LLp 1
(5)
x 1, xr 0
,
H bN bN  H LL
x 1, xr 0
H bN wN 1  H LLp
1
0,
4
H wN bN 1 
x 1, xr  0 
( H LLp
)
1
0
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Que al sustituir en H N , N , H N , N 1 y H N , N 1 obtenemos
H nnx  0
H N ,N  H
H nnx 01
x 0
nn 1
0
x  0 , xr 1
LL
x  0 , xr 1 
LLp 1
H
(H
0
)
H
H
x  0 , xr 1
LLp 1
x 1, xr  0
LL
,
(6)
0
0
H N , N 1 
H
0 0
0 0,
0 0
x 1, xr  0
LLp 1
H N , N 1
0 0 (H
0 0
0 0
x 1, xr  0 
LLp 1
)
0
0
En este caso en especial las ultimas matrices son (60x60) y en la notación del algoritmo [6]
se usa W0  H N , N ,  0  H N , N 1 y  0  H N , N 1 , entonces de esta forma se procede para
cualquier SL. Los tamaños de los bloques son (20x20).
La siguiente definición que nosotros necesitamos es concerniente a las funciones de Green.
Tenemos la misma ecuación de movimiento pero ahora con las nuevas capas principales




( E 1 H )  G  1
(7)
o








( E 1 H ) N , N  G N , M  H N , N 1  G N 1, M  H N , N 1  G N 1, M   N , M
(8)
El análisis formal completo se sabe que es el mismo y consecuentemente las
definiciones de las matrices de transferencia son:
GN 1, N  TSL GN , N
GN 1, N  T SL GN , N
(9)
GN , N 1  GN , N S SL
GN , N 1  GN , N S SL
Denotamos las matrices de transferencia con un superíndice “SL” para hacer notar que
dichas matrices son para los periodos de la superred.
Ahora podemos aplicar el mismo tratamiento como en le caso del medio homogéneo y
derivar el algoritmo sabido de este, pero para la superred infinita. Porque de la
supersimetria de traslación infinita (parecida ala del volumen homogéneo) esperamos que
el procedimiento nos dará una rápida convergencia. De esta manera superamos la
definición del vector de onda (q) unidimensional asociado con la superperiodicidad.
Encontramos la función de Green, que no depende de (q), lo que es una ventaja por las
dificultades numéricas de la integración en (q).
5
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El interes que hay que pagar es que el tamaño de las matrices crece fácilmente a medida
que aumentamos el período de la superred. Pero aquí hay una importante simplificación que
podemos hacer tomando en cuenta la estructura matricial implicada. Las matrices H w, w ,
H b,b son tridiagonales en bloques y las matrices H w,b , H b, w tienen un solo bloque
diferente de cero (en la interface) como ya lo vimos en el ejemplo antes mencionado.
Teniendo en cuenta lo anterior y las ecuaciones matriciales que aparecen en el
algoritmo[6] vamos a analizar la estructura de dichas matrices.
Para esto considérese la SL 4/4 con periodo d=8 (donde en el pozo tenemos GaAs y
AlAs en la barrera) por tanto las matrices tiene la siguiente forma
w0w

0
0

0
0
0
0
W0SL
0
0
 0SL
w
0
0
0

0
0
0

bw
0
 0w
w


w
 0w

w0
0
0
0
0
0
0
w0b
 0b
0
0
0
0
0
0
0
0
 0b
w0b
 0b
0
0
0
0
0
0
0
0
 0b
w0b
 0b
0
 0b
w0
w
0
w
0
0
0
0
0
0
0
w
0
w
0
w
0
0
0
0
0
0
0
w
bw
0
0
0
wb
(10)
b
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
,
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0
wb
 0SL 
la notación usada para los elementos de las matrices se ha hecho de esta manera para
tener concordancia con la notación del algoritmo [6], pero podemos identificar los
elementos de la siguiente manera
x  0 , xr 1
x 0, xr 1
,  0  H LLp
(11)
w0w  H nnx 0 ,  0w  H nnx01 ,  0w  H nnx01 , w0  H LL
1
w
wb
6
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y
x  0 , xr 1 
) (12)
w0b  H nnx 1 ,  0b  H nnx11 ,  0b  H nnx11 , w0  H LLx1, xr0 ,  0  ( H LLp
1
b
bw
del algoritmo [6] tenemos la recurrencia
SL 1 SL
SL
SL 1
Sl
Wi SL  Wi SL1   iSL
1 (Wi 1 )  i 1   i 1 (Wi 1 )  i 1
SL 1
SL
 iSL   iSL
1 (Wi 1 )  i 1
 iSL   iSL1 (Wi SL1 ) 1 iSL1
(13)
tomando la primera iteración (i=1) tenemos
W1SL  W0SL   0SL (W0SL ) 1 0SL   0SL (W0SL ) 1  0SL
1SL   0SL (W0SL ) 1  0SL
1SL   0SL (W0SL ) 1 0SL
(14)
primeramente debemos obtener la matriz inversa (W0SL ) 1 de tal manera que la
denotaremos de la siguiente forma
(W0SL ) 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(15)
en principio todos los elementos son diferentes de cero (por esta razón simplemente hemos
denotado los elementos de dicha matriz como x).
Entonces al tomar
7
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0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
 0SL (W0SL ) 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0
(16)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
x
x
x
x
x
x
x
x
los únicos elementos que sobreviven son (8,1),..................,(8,8) los cuales están dados por
bw
bw
 0 (W0SL ) 1,11 ,..........,  0 (W0SL ) 1,18 , y
x x x x x x x x
0 0 0 0 0 0 0 0
 0SL (W0SL ) 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0
(17)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
los elementos no nulos son  0 (W 0SL ) 8,11 ,..........,  0 (W 0SL ) 8,18 , por tanto
wb
wb
8
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 0SL (W0SL ) 1  0SL
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
bw
wb
SL 1
0  0 (W0 ) 1,1  0
(18)
y
 0 (W0SL ) 8,18  0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
wb
 0SL (W0SL ) 1  0SL 
bw
de tal manera que
w0w   0 (W0SL )8,18 0
wb
W1SL 
bw
 0w
0
0
0
0
0
0
 0w 0 0 0 0 0
0
w
w
w0  0 0 0 0 0
0
w
w
w
 0 w0  0 0 0 0
0
w
wb
0  0w w0  0 0 0
0
(20)
bw
b
b
0 0  0 w0  0 0
0
0 0 0  0b w0b  0b
0
b
b
0 0 0 0  0 w0
 0b
b
bw
wb
0 0 0 0 0  0b w0   0 (W0SL )1,11  0
9
(19)
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de donde se ve que la estructura tridiagonal se conserva y que los únicos elementos que se
modifican son el primero (1,1) y el ultimo (8,8) y de la misma forma para
0
0
0
0
0
0
0
 1SL   0SL (W0SL ) 1  0SL 
 0 (W0SL )1,18  0
bw
bw
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(21)
y
0 0 0 0 0 0 0  0 (W0SL ) 8,11  0
wb
 1SL   0SL (W0SL ) 1  0SL 
wb
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
(22)
Tal que también se conserva la estructura de las matrices después de la iteración, por tanto
para las siguientes iteraciones dicha estructura se seguirá conservando, por tanto
aprovechándonos de tal estructura y el algoritmo [7] para la inversión de matrices
tridiagonales en bloques encontramos un buen calculo del sistema considerado.
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Resultados y Análisis
En este capitulo se analizará las propiedades electrónicas de las superredes antes
mencionadas (2-1, 12-6) , ya que tienen la característica de poseer en promedio
concentración 0.33 en la barrera, se presentaran unas gráficas (para ser exactos tres por
superred) de la densidad de estados (DOS, las cuales serán comparadas con la gráfica de la
densidad de estados (DOS) de un pozo cuántico embebido en un medio homogéneo (bulk),
donde también tenemos la misma concentración que para las superredes antes mencionadas.
Es práctica común en los experimentos [8] sustituir el medio homogéneo de las barreras de
un pozo por una superred que tenga la misma concentración en promedio, por ejemplo
sustituir Al0.33 Ga0.67 As por superred GaAs(2n) / AlAs(n) . La ventaja de la superred es que
prohíbe la difusión de las impurezas de las barreras hacia el pozo. En la literatura no se ha
investigado que consecuencias sobre la estructura electrónica del sistema tendrá esta
sustitución . Esta es la razón por la que nos hemos planteado el estudio de las superredes
GaAs(2n) / AlAs(n) para n=1,2,...,6.
La primera de las gráficas muestra un bosquejo general de la superred comparándola con el
bulk, donde se observa que aparecen minigaps ó minibandas prohibidas aparte del gap
principal que es característico en ambas heteroestructuras, estos minigaps que aparecen son
debido la interacción entre los diferentes pozos cuanticos por los que esta constituida la
superred, ya que se sustituyo la superred infinita por el volumen homogeneo. Donde al
parecer el gap principal de ambas heteroestructuras es idéntico, sin embargo un análisis
minucioso el cual es representado por las otras dos gráficas, cercas de la banda de valencia
y de conducción, nos rebela la presencia de estados ligados (que pertenecen ala superred)
entrando al gap principal del volumen.
CONCLUSIONES
Hemos estudiado la estructura electrónica de la superredes infinitas con GaAs en el pozo y
AlAs en la barrera, las cuales tienen la peculiaridad de todas tener concentración 0.33. Utilizamos el modelo Thigth-Binding con aproximación a primeros vecinos y las funciones de
Green, de las cuales aprovechamos el algoritmo desarrollado para el volumen homogeneo
y lo extendimos para la superred infinita. A partir de la densidad local de estados (DOS)
concluimos lo siguiente:
El nuevo algoritmo es rápido, con muy buena precisión y convergencia.
El algoritmo presentado en la tesis se puede usar para superredes con periodos
grandes. No es necesario que dentro del período tengamos pozos y barreras
rectangulares. Es posible considerar períodos con un perfil de potencial arbitrario.
3. La sustitución de una barrera homogénea por una superredes que tenga en promedio
la misma concentración produce cambios en la DOS, que pueden influir en las
transiciones ópticas de un pozo embebido entre las barreras. La influencia es menos
significativa para valores de n=1,2.
1.
2.
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25 al 29 de Junio del 2001
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Trabajo: CB/UFIS-06/038
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Trabajo: CB/UFIS-06/038
Fig 2.2 Comparaciòn de Bulk con SL 2/1
en el gap principal.
bulk
30
DOS (arb. units.)
25
20
15
10
SL2/1
5
0
0.0
0.5
1.0
1.5
Energy (eV)
13
2.0
2.5
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Trabajo: CB/UFIS-06/038
Fig. 2.15 Bulk Vs SL 12/6
_ Bulk
30
.. 12/6
bulk
25
DOS (arb. units)
20
15
10
SL12/6
5
0
-15
-10
-5
0
5
Energy (eV)
14
10
15
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Fig. 2.13 Bulk Vs SL 12/6 ( valence Band)
30
SL12/6
DOS (arb. units)
25
20
bulk
15
10
5
0
0.3
0.4
0.5
Energy (eV)
15
0.6
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Fig. 2.17 Bulk Vs SL 12/6 (conduction band)
40
35
D O S (arb. units.)
bulk
SL12/6
30
25
20
15
10
5
0
2.2
2.3
Energy (eV)
16
2.4
2.5
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Trabajo: CB/UFIS-06/038
REFERENCIAS
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[3] M.C. Muñoz, V.R. Velasco, and F. García-Moliner, Phys. Rev. B, v. 39 (1989) 1786
[4] F. García-Moliner and V.R. Velasco, “ Theory of Single and Multiple Interfaces”
(World Scientific, Singapore, 1992)
[5] J. Arriaga, F. García-Moliner and V.R. Velasco, Progress in Surface Science, v. 42
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[6] M.P. López Sancho, J.M. López-Sancho and J. Rubio, J. Phys. F, v. 14 (1984) 1205;
v.15 (1985) 851
[7] S. Vlaev, V.R. Velasco, and F. García-Moliner, Phys. Rev. B, v. 49 (1994) 11222
[8] V. Donchev, K. Germanova, N. Shtinov, I. Ivanov, and S. Vlaev, Thin Solid Films, v.
364 (2000) 224
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