UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL ANÁLISIS ESTRUCTURAL 1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Avellaneda
ANÁLISIS ESTRUCTURAL 1
Profesor Titular Ordinario
Ing. Esteban Mario Rodríguez
Jefe de Trabajos Prácticos
Ing. Carlos Sarpero
Ayudante
Ing. Fernando Bargiela
Colaborador en la Edición
Primera edición
Alumno Hrair Keotelian
Segunda edición
Ing. Anibal Guillermo Tolosa
AÑO 2002
Apunte de apoyo de clases teóricas Primer cuatrimestre
1
ESTABILIDAD III - ANALISIS ESTRUCTURAL I
Condición para aprobar la cursada de la materia

3 (tres) parciales aprobados

Trabajos prácticos aprobados
BIBLIOGRAFIA:

O. BELLUZZI: CIENCIAS DE LA CONTRUCCIÓN (3 tomos)

TIMOSCHENKO: TEORÍA DE LAS ESTRUCTURAS

ARGUELLES ALVAREZ: CALCULO DE ESTRUCTURA (2 tomos)

K. HIRSCHFFED: ESTATICA DE LA CONTRUCCIÓN

MASSONET Y SAVE: CALCULO PLÁSTICO.DE LAS CONSTRUCCIONES (2 tomos)

LIVESLEY: CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

PRENZTOW: METODO DE CROSS

GHALI Y NEVILLE: ANALISIS ESTRUCTURAL (DIANA MEXICO)
2
CLASIFICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS
Según su morfología:
Barras - Cables
Planas

Chapas
Barras - Cables
Membranales

Espaciales
Superficies
No Membranales
Volúmenes
Casos particulares: (planos con cargas
al plano)
Barras

Plano Espaciales
Sup. No Membranales
Estudiaremos en este curso solamente las estructuras conformadas por barras.
3
Según su vinculación interna y externa:
ISOSTATICAS

Se resuelven solo con el auxilio de las ecuaciones de la estática.

Son incapaces de generar un sistema reactivo nulo.
Sabemos que un sistema de fuerzas cualesquiera puede equilibrarse a través de un
sistema reactivo. Por ejemplo, para el caso de un sistema coplanar no concurrente como
el de la siguiente estructura isostática:
R
R
B
C
C
h
x3
A
l
x1
x2
Las ecuaciones generales de la estática nos permiten plantear por ejemplo:
1 0 0   x1   Rx  0
0 1 1    x    R   0 

  2  y   
0 0  2  x3   MRA  0
I
Planteo que nos permite conocer los valores de las incógnitas que equilibran el
sistema.
Si hubiésemos tenido un vínculo externo de más, es decir 4 incógnitas para sólo 3
ecuaciones, el sistema podría tener infinitas soluciones analíticas. Esto es fácil ver en el
siguiente análisis gráfico de equilibrio de una fuerza para 3 direcciones (isostático) o 4
direcciones (hiperestático).
4
2
F1
3
R
1
RAC
FAC
F2
R
F3
La descomposición de una fuerza en tres direcciones no concurrentes en el plano
tiene una única solución: está determinado.
F1
2
F1
3
R
F1
1
F4
F4
RAC
F4
F2
R
FAC
F2
F2
F3
4
La descomposición de una fuerza en cuatro direcciones no concurrentes en el plano
tiene infinitas soluciones: no está determinado.
5
HIPERESTATICAS
Sobre la estricta base del equilibrio, podríamos decir que una estructura
hiperestática tiene infinitas soluciones equilibradas, pero de todas ellas una y solo una
satisfacería también condiciones de congruencia geométrica. Tal es el caso de un cuerpo
suspendido por tres cables concurrentes a un punto del mismo:
F1
F2
a)
P=0
F3
b)
P=P
En el caso a) antes de la aplicación de la carga, la estructura tiene una determinada
configuración geométrica.
En el caso b) luego de la aplicación de la misma, el punto de aplicación de la carga
modifica su posición, pero siguen siendo concurrentes todas las barras a dicho punto.
De las infinitas soluciones estáticas.
F1  F 2  F 3  P  0
Solo habrá una terna única que mantiene la congruencia en el nudo luego de
haberse deformado las barras.
Es decir que a toda barra habrá asociada una fuerza tal que le produce la
elongación aquella que permiten mantener la compatibilidad o congruencia geométrica
del nudo.
Esta 3º ecuación, necesaria para resolver el sistema (las otras dos están dadas por
la estática al ser un sistema coplanar concurrente) lo aporta la teoría de la elasticidad a
través de la forma geométrica de cada barra (Area y Longitud) y características elásticas
de las mismas (Modulo E) ya que para cada barra es:
li 
li
Pi
Ei  Ai
6
TIPOS DE CARGAS
Estudiaremos especialmente cargas independientes del tiempo, las que
podrían
dividir en 2 grandes grupos:
ESTÁTICAS: son cargas con las que ya estamos familiarizados. Suelen tener origen
gravitatorio (peso propio, sobrecargas, etc.) Para las cargas dependientes del tiempo,
como el caso de vientos o sismos, existen métodos y reglamentos que permiten analizar
la estructura con un sistema de cargas estáticas equivalentes a las dinámicas que las
producen. Para estructuras atípicas o muy esbeltas es más riguroso efectuar un análisis
dinámico que escapa a los alcances del curso.
ELASTICAS: Llamamos cargas “elásticas” a aquellas que no tienen origen estático
pero producen solicitaciones en las estructuras hiperestáticas. Si observamos el planteo
del sistema de ecuaciones ( I ), vemos que los componentes del sistema activo ( RX, RY,
MRA) tienen valor nulo. Esto sucede en un estado elástico de cargas, por lo que la única
solución del sistema es la trivial, es decir X1= X2= X3= 0. Por eso podemos asegurar
que un sistema isostático es incapaz de generar un sistema reactivo nulo, y como
corolario aseguramos que un sistema elástico de cargas no produce solicitaciones en las
estructuras isostáticas.
MATERIALES:
son habitualmente utilizados:

ACERO

HORMIGON ARMADO

HORMIGON PRETENSADO

MADERA.
Podemos hacer dos grandes divisiones en el comportamiento de los materiales:
LINEAL
NO LINEAL
P
P
P2
P2
P1
P1
1
2

1
2

7
En los materiales lineales se cumple una ley de proporcionalidad entre fuerzas (o
tensiones) y deformaciones tal que:
P1
1

P2
2
Por lo que dicha ley tensión/deformación puede ser representada por una recta.
Casi todos los materiales tienen un pequeño periodo lineal o de proporcionalidad y por lo
general un punto definido como limite de proporcionalidad a partir del cual dicha ley no
se cumple. Por ejemplo un acero común tiene una ley de este tipo:
P
Pp

Por otro lado, un material ya sea lineal o no lineal, puede ser elástico si recupera su
forma primitiva al cesar la solicitación, por el mismo camino recorrido al deformarse bajo
la acción de la carga; o anelástico si al hacerlo deja una deformación remanente.
ELASTICO
ANELASTICO
P
P


Deformación plastica
Supondremos en principio, al analizar elásticamente las estructuras, que el material
de las mismas cumple rigurosamente una ley elástica lineal lo que nos permite aplicar el
principio de superposición de efectos.
Esto esta alejado del verdadero comportamiento de algunos materiales de
construcción, aunque algunos de ellos, como el acero, tiene un período lineal
suficientemente amplio como para que, para las hipótesis de carga, se cumpla esta
8
hipótesis de cálculo. En acero común y en otros materiales, los límites del período
proporcional y los del período plástico no tienen por que ser coincidentes.
P
Pe
Pp
Pe = límite del período elástico
Pp = límite del período proporcional
Zona
Elástica

Zona
Plástica
Los aceros con tratamiento mecánicos o de dureza natural no tienen casi escalón de
fluencia y su representación esquemática puede ser:
P
Pp Pe
Zona
Elástica

Zona
Plástica
El otro material muy usado en construcción, el hormigón armado (HºAº), tiene un
gráfico tensión / deformación del siguiente tipo:
Hormigón
Armado
P
2
1
Pp Pe
3
1 y 2 = Módulos tangente
3 = Módulo secante

Como ya sabemos, en el período elástico, donde se cumple la ley de HOOKE, es
decir, donde hay proporcionalidad entre tensiones y deformaciones específicas, tenemos
la constante Módulo Elástico “E”.
9
 P A Pl
E 

 l
A  l
l
Esto implica que:
l 
Pl
E A
Si suponemos que a una barra de area unitaria le aplicamos una fuerza P tal que
nos permita llevar la barra al doble de su longitud:
l  l  l 
Pl
PE
E A
Como concepto físico para aplicar e intuitivo (aunque muy lejos de una aplicación
real) podemos decir que el modulo elástico “E” de un material es equivalente, en valor
absoluto, a la fuerza que le tendríamos que aplicar a una barra de sección unitaria para
llevarla al doble de su longitud.
Vemos así que:
Eacero  2100000kg cm2
Ehormigón  200000kg cm2
El acero tiene un módulo de elasticidad aproximadamente unas 10 veces mayor que
un hormigón promedio.
Podría pensarse que las estructura de HºAº son más deformables que las de acero,
sin embargo no es así, pues existen razones resistentes que exigen mayores secciones
para el hormigón que para el acero (mayor inercia y área para igualdad de solicitación).
Esto implica que la rigidez final de las estructuras conformadas por ambos materiales sea
similar.
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COMPORTAMIENTO DE LAS ESTRUCTURAS
Veremos 3 tipos de comportamientos estructural distinto:
1º Caso) un arco isostatico atensorado.
P
h
P
Pl
4h
Tensor
Pl
4h
P
2
l
P
2
El esquema equilibrado nos dice que el valor de las reacciones horizontales son
funciones de la flecha o altura del arco. Si tuviésemos en cuenta las posibles deflecciones
de ese arco bajo su estado de carga veríamos que, al disminuir el valor h se mayorarían
las reacciones horizontales, por lo tanto las solicitaciones internas, hasta un punto de
equilibrio (o rotura). Si la fuerza P se duplicara o triplicara las solicitaciones internas
crecerían con mayor magnitud respecto a las mismas.
2º Caso) Cable con una fuerza centrada.
P
F2
F1
F1
F2
F2
F1
F1
F2
P
Ya que de un cable se trata, la única manera de equilibrar la fuerza P será de a
través de una solicitación axil de tracción. Si el cable no se deformara, el sistema será
imposible de equilibrar, por lo que al haber una pequeña deformación, aparecerá un
esfuerzo de tracción función del ángulo con la horizontal. Si la carga se duplicara, dicho
esfuerzo no llegara a dupicarse porque la deformación del cable favorece la generación
de menores esfuerzos.
3º CASO) Viga simplemente apoyada.
11
P
P
P
2
P
2
Las solicitaciones no se ven afectadas debido a las pequeñas deformaciones de la
viga.
Graficados los casos vistos, en un sistema “Fuerza P / Solicitaciones internas”
tenemos los siguientes diagramas.
P
2
Pp Pe
3
1
Solicitaciones internas
(M, N, Q)
Las estructuras que cumplen con la ley del gráfico (2) se llaman conservativas y
pueden calcularse en 1º orden, es decir sin tener en cuenta las deformaciones, del lado
de la seguridad. En estas estructuras, de un análisis en 2º orden pueden surgir secciones
menores.
Las que cumplen con la ley del gráfico (3), que son la mayoría de las estructuras de
ingeniería, se calcula en 1º orden ya que las pequeñas deformaciones esperables no
afectan su funcionamiento estático.
Por último las estructuras que cumplen con la variación (1), es decir el caso de
arco, se las denominan “no conservativas” y deben calcularse en 2º orden.
Tal es el caso de las barras comprimidas donde exista la posibilidad de pandeo.
12
HERRAMIENTAS DE CÁLCULO
Existen dos grandes posibilidades de encarar un análisis estructural, que la mayoría
de las veces no son excluyentes:
1)
Plantear un modelo matemático
2)
Plantear un modelo físico
El modelo matemático, a su vez, lo podemos resolverlo por métodos manuales o
con el auxilio de computadoras, según fuera la complejidad del problema.
Análogamente en todos los casos podremos plantear un modelo físico a efectos de
ensayarlo y comparar su comportamiento con el prototipo. Cada uno de estos caminos
presenta sus ventajas e inconvenientes que por supuesto varia con la complejidad de la
estructura a analizar. Podemos gráficar cada caso en función del costo (ordenadas) y la
complejidad del problema (abscisas), evaluando allí mismo la frecuencia con que aparece
cada caso:
Modelo Matemático
(Posibilidad analítica)
Modelo Físico
(Imposibilidad Analítica)
Complejidad
Manual
Computadora
Modelo Físico
Obviamente a medida que crecen y mejoran los programas disponibles orientados a
la
resolución
de
estructuras,
crece
de
dimensión
el
segmento
denominado
"Computadora" sobre abscisas, siendo cada vez más rápido y económico encarar los
cálculos a través de modelos matemáticos adecuadamente computarizados.
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PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VITUALES
Habíamos visto que para cuerpos rígidos (chapas) este principio establecía:
"Cuando a un sistema en equilibrio se le da un desplazamiento virtual (pequeño y
compatible con los vínculos) el trabajo de todas las fuerzas que componen el sistema
(fuerzas externas), en dicho desplazamiento, es nulo" ( Te = 0).
Recordemos que produce trabajo una magnitud estática en la cinemática
correspondiente.
90°

T = P x d x cos

P
En el caso más general, tanto una fuerza como un desplazamiento está expresado
según sus 3 (tres) componentes en el plano o 6 (seis) en el espacio, y producirán trabajo
el producto algebraico de magnitudes correspondientes.
Si tenemos una chapa con un sistema de fuerzas en equilibrio donde cada fuerza
es:
~
P  Px~
i  Py~j  Pzk
y esta chapa sufre un desplazamiento sobre el eje X tal que:

~
d  dx~
i  dy~j  dzk
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P2
P1
PX2
PX1
dx
PX3
P3
PX4
P4
Te  Px1  dx  Px 2  dx  Px3  dx  Px 4  dx
Te   Pxi  dx
siendo:
P
xi
0
resulta que:
Te  0
Podemos expresar los vectores en forma matricial:
 Px 
P   Py 
 M z 
d x 
d   d y 
 z 
y
De esta manera podemos expresar el trabajo en forma de un producto matricial,
para lo cual debemos transformar uno de los factores.

Te  P   d   Px
T
Py
d x 
M z  d y 
 z 

Te  Px  d x  Py  d y  M z  z
En el caso particular de una chapa rígida en equilibrio y aplicando el principio de
superposición:
15


R   Pi  0
0 
R   0
0 

esto implica que
d x 
Te  0 0 0 d y   0
  
La aplicación de este principio nos permitía conocer cualquier magnitud estática en
una estructura, a partir de un desplazamiento virtual de la misma. Para ello debíamos
convertir la estructura (isostática en este caso) en un mecanismo, eliminando un vínculo
(interno o externo) correspondiente con la magnitud estática que queríamos calcular.
Por ejemplo, calculemos la reacción en B
l
a
b
P
C
D
P
C
B
B
D
RB
h
C'
A
B'
A=A'

D
Diagrama de
desplazamientos
virtuales verticales
B
Por P.T.V.:
 M   P D  RC B  0

D
a

B

Con lo cual:
D  B 
a

Como, para pequeños giros, el ángulo se confunde con la tangente:
16

B

Con lo que:
M
B

a
 RB   B  0

 P  B 
Pa  M

RB 
Aplicación para el momento flector en el punto D
P
M
1
MD
D
r
2
Por P.T.V.:
 M   P  D  M D   r  0
1 
D
a
 r  1   2 

D
a

D

1 1
 D      D 
b
a b
a b
M

 PMD 
0
a
a b
multiplicando miembro a miembro por “a”:

 M  Pa  MD   0
b
MD 
Pa  M
 b  RB  b

17
Hasta
ahora
hemos
mantenido
la
hipótesis
de
cuerpo
rígido,
tal
como
oportunamente la habíamos planteado, aplicando el P.T.V. a partir de la única exigencia
del equilibrio. Pero si bien esta hipótesis es correcta para las pequeñas deformaciones de
los cuerpos, debemos extender este principio para los cuerpos elásticos haciendo uso de
otra característica de las estructuras, además del equilibrio: la congruencia geométrica.
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