Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 Álgebra Lineal MA-112 05 Tarea correspondiente a Capitulo I Repaso 1.- El cuádruplo de un número supera en 2 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 5 unidades menor que el triple del segundo. x= primer número; y = segundo número. 4x – 2 = y 5x + 5 = 3y 2.- Si una solución de ácido al 15% se agrega a otra al 65%, resulta una mezcla al 48%. Si hubiera 12 galones más de la solución al 65%, la nueva mezcla resultaría al 58% de ácido. x = Primera solución; y = segunda solución. 0.15x + 0.65y=0.48(x+y) 0.15x + 0.65(y+12)=0.58(x+y+12) 3.- Indique el tamaño de los siguientes SEL 3y + 9z = 4 8x - 2z = 3 3x - y = -1 El tamaño es de 3x3. 4.- Indique el tipo de solución del SEL que estaría representada en cada una de las figuras en la dimensión indicada : -1- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 Una solución infinita. Una solución infinita. 5.- Indique el tipo de solución del SEL que estaría representando cada una de las figuras en la dimensión indicada : a) Única. b) No tiene solución. c)No tiene solución. 6.- Escriba la matriz de coeficientes y la matriz aumentada de 2x1 -7x2 + 10x3 = 20 -x2 + 3x4 + 8x5 = 10 2 7 10 0 0 20 Au= 0 1 0 3 8 10 2 7 10 0 0 A= 0 1 0 3 8 7.- Escriba el SEL de la siguiente matriz aumentada x1-3x2+6x3=8 2x3=6 x1+6x3=7 8.- Dado el SEL 2x1 -7x2 + 8x3 = 2 -x2 + 5x4 + 6x5 = 1 determine : a) su tamaño = 2x5 b) el valor a12 =-7 c) el valor a23 =0 d) el valor a25=6 9.- Determine el tipo de solución de los siguientes SEL : a) 2x1 - 7x2 = 5 4x1 - 14x2 = 10 -2- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 Infinita. b) 2x1 - 7x2 = 5 4x1 - 14x2 = 8 No tiene solución. c) 4x1 - 7x2 = 0 2x1 + 3x2 = 0 Única. d) 2x1 + 5x2 = 4 10x1 + 25x2 = 0 No tiene solución. 10.- Operaciones elementales de renglón Para Se prueban diversas operaciones elementales de renglón sobre A para comparar su efecto. Las operaciones son independientes una de la otra, es decir tomar A para cada inciso en que se efectúe una operación a) R1 -----> 1/2 R1 b) R3 -----> R3 + 1/2 R1 c) R1 <-----> R3 0 0 0 0 0 0 R1 1 R1 a) A 2 8 6 2 2 8 6 1 4 3 1 4 3 0 0 0 0 0 0 R3 R3 1 R1 b) A 2 8 6 2 2 8 6 1 4 3 1 4 3 -3- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 0 1 4 3 0 0 R R 1 c) A 2 8 6 3 2 8 6 1 4 3 0 0 0 11.- Clasifique las siguientes matrices en escalonada, escalonada reducida y solo matriz. a) Escalonada reducida, b) Escalonada, c) Escalonada reducida, d) Matriz, e) Escalonada f) Matriz. 12.- Resolver el SEL por Gauss/Jordan 1 2 3 1 R 2 R R 2 1 2 0 2 1 3 4 1 1 4 1 0 1 1 R 4 R R 3 1 3 0 0 1 1 4 1 1 0 1 2 3 2 3 R2 1 R2 3 1 2 R 2 R1 3 3 0 1 1 R 1 1 4 1 1 0 1 1 1 1 3 No tiene solución 13.- Balanceo de ecuaciones químicas (Resolver el SEL resultante ) aMg3N2 + b H2O -----> c Mg(OH)2 + d NH3 Mg: 3a =c N: 2a = d H: 2b = 2c + 3d O: b = 2c -4- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano 3 2 0 0 2 0 0 0 0 1 0 R2 R1 3 2 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 1 1 R 2 3 R1 R 2 0 0 0 1 0 0 0 I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 0 0 1 1 0 2 3 0 R3 R 4 0 1 0 2 0 0 2 2 3 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 3 0 R 2 R3 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 2 3 0 1 0 1 1 0 1 0 0 R1 2 R1 3 2 2 3 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 2 0 1 0 2 0 0 3 0 0 0 1 0 2 3 0 R4 2 R3 R4 0 1 2 0 1 2 0 0 2 2 3 0 0 1 0 1 2 1 2 0 0 R 2 2 R3 R 2 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 2 3 0 0 1 0 2 1 0 3 0 3 0 1 0 2 0 0 2 3 0 0 1 1 0 0 0 2 R 4 2 R3 R 4 0 1 0 3 0 0 0 1 3 0 2 0 0 0 0 0 Luego el sistema tiene infinitas soluciones, por el planteamiento debe ser entera; tomando de R3; d = 2. Resukta C=(3/2)d = 3; b = 3d = 6; a = (1/2)d = 1 Entonces el conjunto solución sería C.S. ={(1,6,3,2)d/2; d }. Mg3N2 + 6 H2O -----> 3 Mg(OH)2 + 2 NH3 Problemas propuestos por el Depto. de Matemáticas 1.- En un plano cartesiano grafique: a) dos rectas que representen un sistema homogéneo con un número infinito de soluciones. -5- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 2y-2x=8 y-x=4 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 b) dos rectas que representen un sistema homogéneo con una solución única -6- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 y=4x y=5x -40 -50 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 c) dos rectas que representen un sistema no homogéneo inconsistente. -7- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 y=x+2 y=x+4 -6 -8 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 2.- Dado el siguiente SEL : x+y+z=0 2x + 3y - 5 = 0 x + 4z - 8 = 0 a) El SEL es ¿homogéneo o no homogéneo? No es homogéneo. b)Determine la matriz de coeficientes del sistema. 1 1 1 2 3 0 1 0 4 c)Determine la matriz aumentada del sistema. -8- 6 8 Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 1 1 1 0 2 3 0 5 1 0 4 8 3.- Al resolver un SEL con variables x, y, z por el método de Gauss-Jordan se llegó a la siguiente matriz aumentada: a) El SEL original ¿ es consistente o inconsistente? Consistente. b) Determine su conjunto solución (Conj. Sol.) 1 3 3 6 R1 3 R2 R1 1 0 3 9 y = 5 – 2z; x = -9 + 3z. 0 1 2 5 0 1 2 5 C.S. {(-9+3z,5-2z,z); z } 4.- Resuelve el siguiente SEL por el método de Gauss-Jordan: w+x =0 2w + x + 2y =0 3w + x + 2y + 3z = 0 3w + 2y + 6z = 0 -9- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano 1 2 3 3 I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 1 1 1 0 0 0 1 2 0 0 R2 2 R1 R2 0 1 1 2 3 0 3 1 3 0 0 2 6 0 1 1 0 1 R 4 3 R1 R 4 0 2 0 3 1 1 0 0 0 2 0 0 R3 3 R1 R3 0 1 2 3 0 0 2 3 0 2 6 0 1 0 0 0 0 2 0 0 R1 R2 R1 0 1 2 3 0 0 2 0 3 2 6 0 1 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 R4 3 R2 R4 0 R3 2 R 2 R3 0 0 2 3 0 0 0 3 2 6 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 1 2 0 0 R 4R R 0 R3 R 3 4 2 3 4 3 0 0 1 0 0 2 0 0 4 6 0 0 1 0 1 R1 2 R3 R 0 0 1 3 0 1 2 0 0 R R 2R 0 2 2 3 3 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 3 0 2 6 0 1 0 2 0 0 2 2 0 0 R2 R2 0 1 2 2 3 0 0 2 2 0 3 2 2 6 0 0 0 0 0 3 0 6 0 0 0 1 2 0 0 0 2 3 0 0 4 6 0 0 2 0 2 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 2 0 0 3 0 1 0 3 0 3 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 C.S. ={(-3z,3z,3z/2,z),z } Plantear (NO RESOLVER) los SEL para los problemas 5, 6, 7, 8 : 5.- Un viajero recién llegado a Europa, gastó en alojamiento diario 40 dólares en Inglaterra, 30 dólares en Francia y 25 dólares en España. Adicionalmente desembolsó 20 dólares por día en cada país en gastos varios. En comidas gastó por día 25 dólares en Inglaterra, 40 dólares en Francia y 35 dólares en España. El registro de nuevo viajero indica que gastó un total de 450 dólares en alojamiento, 380 dólares en alimentación y 235 dólares en gastos varios. Calcule el número de días que permaneció el viajero en cada país. Inglaterra Francia -10- España Total Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano Comida Alojamiento Varios 25 40 20 I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 40 30 20 35 25 20 380 450 235 i = días en Inglaterra; f = días en Francia; e = días en España. 25i + 40f + 35e=380 40i + 30f + 25e = 450 20i + 20f + 20e = 235 6.- Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones A, B, y C. Los camiones están equipados para el transporte de 3 clases de maquinaria pesada. El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión es : Clase 1 Máquinas Clase 2 Clase 3 Camiones Tipo A Tipo B Tipo C 3 0 2 1 1 1 2 3 2 La firma consigue una orden para 45 máquinas de la clase 1, 25 máquinas de la clase 2, y 15 máquinas de la clase 3. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, asumiendo que, cada camión debe estar completamente cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe desechar. Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma. ¿ Cuál es la solución más económica? a=camiones de tipo A, b=camiones de tipo B, c=camiones de tipo C. 3a + 2c = 45 a + b + c =25 2a + 3b + 2c = 15 7.- Descomponer las fracciones en sumas de fracciones parciales y calcule las constantes A, B, C según corresponda: -11- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 a) A(x-2)+ B(x+1)= Ax – 2A + Bx + B =x(A + B) + (-2A + B); A + B = 0; -2A + B = 1; Por G/J A = (1/3); B = (-1/3). b) A(x-3) +B (x+2) = Ax – 3A + Bx + 2B = x(A + B) + (-3A + 2B); A + B = 0; -3A + 2B = 1; Por G/J A = (-1/5); B = (1/5). c) A(x+2)(x-2)+B(x-1)(x-2)+C(x-1)(x+2) = A(x2-4)+B(x2-3x+2)+C(x2+x-2) = Ax24A+Bx2-3Bx+2B+Cx2+Cx-2C=x2(A + B + C) + x(-3B + C) + (-4A + 2B – 2C); A + B +C = 0; -3B+ C = 0; -4A+ 2B -2C=1; Por G/J A = (-1/3); B = (1/12); C = (1/4). d) A(x+2)2+B(x-1)(x+2)+C(x-1) = Ax2+4Ax + 4A + Bx2+Bx-2B+Cx-C = x2(A+B) + x(4A+B+C) + (4A -2B –C); A+B=0; 4A+B+C=0; 4A-2B-C=1; Por G/J A=(1/9); B=(-1/9); C=(-1/3). e) A(x-2)(x+2) + B(x-1)(x-2) + C(x+2)(x-1) = A(x2-4) +B(x2-3x+2) +C(x2+ x-2) =Ax2-4A + Bx2-3Bx+ 2B +Cx2 +Cx -2C = x2(A+ B + C) + x(-3B + C) + (-4A +2B -2C); -12- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 A + B+ C=0; -3B + C = 0; -4A + 2B -2C = 1; Por G/J A =(-1/3); B =(1/12); C=(1/4). f) x 1 1 A ( x 1)(x 1) x 1 x 1 A=1. 1 A B ( x 1)(x 2) x 1 x 2 A(x+2)+B(x+1) = Ax + 2A + Bx + B = x(A + B) + (2A + B); A + B = 0; 2A + B = 1; Por G/J A = 1 B = -1. g) 1 x2 A B C ( x 2)(x 3)(x 4) ( x 2) ( x 3) ( x 4) A(x +3)(x +4)+B(x +2)(x +4)+C(x +2)(x +3) = A(x2+7x+12) + B(x2+6x+8) + C(x2+5x+6)= Ax2+7Ax+12A+Bx2+6Bx+8B + Cx2+5Cx + 6C = x2(A + B + C) + x(7A + 6B + 5C) + (12A + 8B + 6C); A + B + C =1; 7A + 6B + 5C = 0; 12A + 8B + 6C = 1; Por G/J A = (5/2); B=-10; C=(17/2). h) 1 2x A B C 2 ( x 1) ( x 2) x 2 x 1 ( x 1) 2 A(x+1)2+B(x+2)(x+1)+C(x+2) = A(x2+2x+1) + B(x2+3x+2) + C(x+2) = Ax2+2Ax + A + Bx2 + 3Bx + 2B + Cx + 2C; A + B = 0; 2A + 3B + C = -2; A + 2B + 2C = 1; Por G/J A=5; B = -5; C = 3. i) 8.- Para las placas siguientes: a)¿ En cuáles temperaturas se encuentran los puntos interiores, dadas las de la periferia? Obtener el SEL. b)¿ Se pueden resolver por simetría? Si la respuesta es si, replantee el SEL correspondiente -13- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 a) 4x1 = 5 +x3 4x2 = 9 + x3 4x5 = 13 + x3 4x4 = 9 + x3 4x3 = x1 + x2 + x4 + x5 Si existe simetría en x4= x2 4x1- x3 = 5 4x2 - x3 = 9 4x5 – x3 = 13 4x3 – x1 -2x2 – x5 = 0 Por J/G C.S. = {2,3,3,4}. b) 4x1 = 5 + x2 6x2 = 10 + x1 + x3 4x3 = 10 + x2 No tiene simetría que nos sea útil. Por J/G C.S. = {(15/8,5/2,25/8)}. Resuelva el siguiente sistema por el método de Gauss/Jordan: 9.2x + 4y + 6z = 16 4x + 5y + 6z = 17 3x + y - 2z = -5 -14- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 2 4 6 16 1 2 3 8 1 2 3 8 R1 1 R1 R 4 R R 2 4 5 6 17 1 2 0 3 6 15 4 5 6 17 2 3 1 2 5 3 1 2 5 3 1 2 5 1 2 1 2 3 8 3 8 R2 1 R2 3 3 5 R 2 R3 0 3 6 15 0 1 2 5 R 0 5 11 29 0 5 11 29 R3 3 R1 R3 1 2 3 8 1 2 3 8 1 2 3 8 R R R 2 R R 3 2 1 2 R 2 R1 3 0 1 2 5 32 0 1 0 3 R 0 1 2 5 0 0 1 4 0 0 1 4 0 0 1 4 1 0 3 14 1 0 0 2 R 3 R R 1 3 1 0 1 0 3 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 1 4 C.S. = {(2,-3,4)}. 10.3x + 6y + 2z = 5 2x + 5y + 7z = 9 -3x + 2y - 3z = -1 -15- Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 3 6 2 5 1 1 5 4 1 1 5 4 R R R R 2 R R 1 2 1 2 1 2 2 5 7 9 0 3 17 17 2 5 7 9 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 1 1 5 4 1 1 5 4 1 R2 R2 17 17 R3 5 R2 R3 3 3 3 R1 R3 R 0 3 17 17 0 1 3 3 0 5 18 13 0 5 18 13 1 1 5 1 1 5 4 4 4 1 1 5 R 3 R R 3 R R 3 3 2 3 2 17 17 17 17 85 139 17 0 1 0 1 0 1 0 3 3 3 3 139 0 0 1 124 0 0 1 124 139 124 0 0 3 3 139 139 641 21 1 0 5 139 1 0 5 139 85 R1 5 R3 R1 85 1 R 2 R1 R 0 1 0 0 1 0 139 139 0 0 1 124 0 0 1 124 139 139 C.S. ={(21/139,85/139,124/139)}. 11.3x - 5y + 7z = 0 2x + y - z = 0 x - 6y + 8z = 0 3 5 7 0 1 6 8 0 1 6 8 0 R R R R 2 R R 3 R1 R3 1 2 1 2 1 2 2 1 1 0 0 13 17 0 R 2 1 1 0 1 6 8 0 1 6 8 0 1 6 8 0 1 6 1 6 8 0 R2 1 R2 13 0 1 0 13 17 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8 0 17 R1 6 R2 R2 0 0 1 13 0 0 0 0 Conjunto solución {(1-2/13z,1+17/13z,z); z } -16- 2 13 0 17 0 13 0 0 Horario 10-11 Número de Equipo: 4 Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 12.x + 8y - 2z = 0 3x -4y - z = 0 2x - 5y +3z = 0 1 8 1 1 8 2 0 2 0 8 2 0 R 3 R R R2 1 R2 7 2 1 2 R 2 R1 1 2 0 28 7 0 0 4 1 0 R 3 4 1 0 2 5 3 0 2 5 3 0 2 5 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 R 2 R R R2 1 R2 1 R3 5 R 2 R3 3 4 1 3 0 4 1 0 0 1 0 0 4 1 0 4 2 5 3 0 0 5 3 0 0 5 3 0 1 0 0 0 R 4 R 1 0 0 0 R 1 R R 1 0 0 0 3 3 2 3 2 1 17 4 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4 4 0 0 1 0 0 17 0 0 0 1 0 0 4 C.S. = {(0,0,0)} -17-