Algebra Lineal MA-131 - Carlos García Alvarado

Horario 10-11
Número de Equipo: 4
Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
Álgebra Lineal MA-112 05
Tarea correspondiente a Capitulo I
Repaso
1.- El cuádruplo de un número supera en 2 a otro, mientras que el quíntuplo del
primero es 5 unidades menor que el triple del segundo.
x= primer número; y = segundo número.
4x – 2 = y
5x + 5 = 3y
2.- Si una solución de ácido al 15% se agrega a otra al 65%, resulta una mezcla al
48%. Si hubiera 12 galones más de la solución al 65%, la nueva mezcla resultaría al
58% de ácido.
x = Primera solución; y = segunda solución.
0.15x + 0.65y=0.48(x+y)
0.15x + 0.65(y+12)=0.58(x+y+12)
3.- Indique el tamaño de los siguientes SEL
3y + 9z = 4
8x - 2z = 3
3x - y = -1
El tamaño es de 3x3.
4.- Indique el tipo de solución del SEL que estaría representada en cada una de las
figuras en la dimensión indicada :
-1-
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María del Rocío López Lozano
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I.D. 116515
I.D. 116037
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Una solución infinita.
Una solución infinita.
5.- Indique el tipo de solución del SEL que estaría representando cada una de las
figuras en la dimensión indicada :
a) Única. b) No tiene solución. c)No tiene solución.
6.- Escriba la matriz de coeficientes y la matriz aumentada de
2x1 -7x2 + 10x3 = 20
-x2 + 3x4 + 8x5 = 10
 2  7 10 0 0 20 

Au= 

 0  1 0 3 8 10 
 2  7 10 0 0 

A= 
 0 1 0 3 8
7.- Escriba el SEL de la siguiente matriz aumentada
x1-3x2+6x3=8
2x3=6
x1+6x3=7
8.- Dado el SEL
2x1 -7x2 + 8x3 = 2
-x2 + 5x4 + 6x5 = 1
determine :
a) su tamaño = 2x5
b) el valor a12 =-7
c) el valor a23 =0
d) el valor a25=6
9.- Determine el tipo de solución de los siguientes SEL :
a) 2x1 - 7x2 = 5
4x1 - 14x2 = 10
-2-
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Infinita.
b) 2x1 - 7x2 = 5
4x1 - 14x2 = 8
No tiene solución.
c) 4x1 - 7x2 = 0
2x1 + 3x2 = 0
Única.
d) 2x1 + 5x2 = 4
10x1 + 25x2 = 0
No tiene solución.
10.- Operaciones elementales de renglón
Para
Se prueban diversas operaciones elementales de renglón sobre A para comparar su
efecto. Las operaciones son independientes una de la otra, es decir tomar A para cada
inciso en que se efectúe una operación
a) R1 -----> 1/2 R1
b) R3 -----> R3 + 1/2 R1
c) R1 <-----> R3
0
0
0 0
0 0

 R1  1 R1 

a) A   2  8 6  2 2  8 6 
  1 4 3
  1 4 3




0
0
0 0
0 0

 R3  R3  1 R1 

b) A   2  8 6   2 2  8 6 
  1 4 3
  1 4 3




-3-
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0
  1 4 3
0 0

 R R 

1
c) A   2  8 6  
3  2  8 6 
  1 4 3
0
0 0 



11.- Clasifique las siguientes matrices en escalonada, escalonada reducida y solo
matriz.
a) Escalonada reducida, b) Escalonada, c) Escalonada reducida, d) Matriz, e) Escalonada f)
Matriz.
12.- Resolver el SEL por Gauss/Jordan
 1  2 3
1

 R  2 R  R 
2
1
2
 0
 2  1 3    
 4 1 1
4



1 0 1 
1

 R  4 R  R 
3
1
3  0
 0 1  1 
4 1 1 
0



1  2 3 
2 3 
 R2  1 R2 

3
1  2 R 2  R1
3  3   
 0 1  1 R
 



1 1 
4 1 1 
0 1 

1  1
1  3 
No tiene solución
13.- Balanceo de ecuaciones químicas (Resolver el SEL resultante )
aMg3N2 + b H2O -----> c Mg(OH)2 + d NH3
Mg: 3a =c
N: 2a = d
H: 2b = 2c + 3d
O: b = 2c
-4-
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Luis Edmundo Campos Calderón
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3

2
0

0

2
0 0


0 0  1 0  R2  R1  3
 
2  2  3 0
0


0
1  2 0 0 

0
1

1


R 2  3 R1  R 2
  
 0
0

0

1

0

0

0
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I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
0

0

1 
1
0
2 

3 0  R3  R 4 
0 1 
 
 0
2 0
0
2 2 3 
0 

1 2 0 
0
0
0

1 

0
1
2 
3 0  R 2  R3  0
0 1 
 

2 0
0
1 2 0 

0 
0
0 2 3 

0

1 0
1

1
0  1 0 0  R1  2 R1  3
 

2  2  3 0
0



1  2 0 0
0

0
0
0 1
2 2
1 2
0
1 0

2 
0 0
 3 0

0 0 

1 
0
2 
3 0  R4  2 R3  R4
0 1 
  
2 0
1 2 0 
0
2  2  3 
0
0


1 
0
1
2 

1  2 0 0  R
2  2 R3  R 2

 0
3 0
0
0 1 

2 0
0
0 2  3 

0
0

1 
0
2 
1 0  3 0
3
0 1  0
2 0
0 2  3 
0 0 

1 
1 0 0  0
2 

R 4  2 R3  R 4
0
1
0

3 0

  
 0 0 1  3 0

2 
 0 0 0 0 0


Luego el sistema tiene infinitas soluciones, por el planteamiento debe ser entera; tomando
de R3; d = 2. Resukta C=(3/2)d = 3; b = 3d = 6; a = (1/2)d = 1
Entonces el conjunto solución sería C.S. ={(1,6,3,2)d/2; d   }.
Mg3N2 + 6 H2O -----> 3 Mg(OH)2 + 2 NH3
Problemas propuestos por el Depto. de Matemáticas
1.- En un plano cartesiano grafique:
a) dos rectas que representen un sistema homogéneo con un número infinito de
soluciones.
-5-
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Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
2y-2x=8
y-x=4
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
b) dos rectas que representen un sistema homogéneo con una solución única
-6-
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Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
y=4x
y=5x
-40
-50
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
c) dos rectas que representen un sistema no homogéneo inconsistente.
-7-
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Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
y=x+2
y=x+4
-6
-8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
2.- Dado el siguiente SEL :
x+y+z=0
2x + 3y - 5 = 0
x + 4z - 8 = 0
a) El SEL es ¿homogéneo o no homogéneo?
No es homogéneo.
b)Determine la matriz de coeficientes del sistema.
1 1 1


2 3 0
1 0 4


c)Determine la matriz aumentada del sistema.
-8-
6
8
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Número de Equipo: 4
Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
 1 1 1 0


 2 3 0 5
1 0 4 8


3.- Al resolver un SEL con variables x, y, z por el método de Gauss-Jordan se llegó a
la siguiente matriz aumentada:
a) El SEL original ¿ es consistente o inconsistente? Consistente.
b) Determine su conjunto solución (Conj. Sol.)
 1 3 3 6  R1  3 R2  R1  1 0  3  9 


 y = 5 – 2z; x = -9 + 3z.

 0 1 2 5    

0
1
2
5




C.S. {(-9+3z,5-2z,z); z   }
4.- Resuelve el siguiente SEL por el método de Gauss-Jordan:
w+x
=0
2w + x + 2y
=0
3w + x + 2y + 3z = 0
3w
+ 2y + 6z = 0
-9-
Horario 10-11
Número de Equipo: 4
Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
1

2
3

3

I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
1 1
1 0 0 0


1 2 0 0  R2  2 R1  R2  0  1
  

1 2 3 0
3 1


3 0
0 2 6 0 

1 1

0 1
R 4  3 R1  R 4
  

0 2

0  3

1 1
0 0 0


2 0 0  R3  3 R1  R3  0  1
  

2 3 0
0 2


3 0
2 6 0 

1 0
0 0 0


2 0 0  R1  R2  R1  0  1
 
2 3 0
0 2


0  3
2 6 0 

1 0
1
2 0 0



 0 1  2 0 0  R4  3 R2  R4  0
R3  2 R 2  R3
  

  

0 0  2 3 0
0



0  3 2 6 0
0



1 0 2
1
0 0



1
0 1  2 0 0  R 4R  R  0
R3   R 3

4
2
 

3 
4 
3  
0
0
1

0

0
2 
0 0  4 6 0
0



1

0
1  R1  2 R3
R
 
0
0

1
3 0


1  2 0 0  R R 2R  0
2
2


3 
3  
0 1  0
0
2
0
0 0
0 0 

0
0
0 0 0

2 0 0
2 3 0

2 6 0 
1 0
2 0 0
2


2 0 0  R2   R2  0 1  2
 

2 3 0
0 2 2


0  3 2
2 6 0 

0 0

0 0
3 0

6 0 
0 0

1  2 0 0
0  2 3 0

0  4 6 0 
0
2
0 2
1 2
0
1
0
0
0 0

0 0
3 
 0
2
0 0 
3 0

1 0  3 0
3 
0 1  0
2
0 0 0 0 
0 0
C.S. ={(-3z,3z,3z/2,z),z   }
Plantear (NO RESOLVER) los SEL para los problemas 5, 6, 7, 8 :
5.- Un viajero recién llegado a Europa, gastó en alojamiento diario 40 dólares en
Inglaterra, 30 dólares en Francia y 25 dólares en España. Adicionalmente desembolsó
20 dólares por día en cada país en gastos varios. En comidas gastó por día 25 dólares
en Inglaterra, 40 dólares en Francia y 35 dólares en España. El registro de nuevo
viajero indica que gastó un total de 450 dólares en alojamiento, 380 dólares en
alimentación y 235 dólares en gastos varios. Calcule el número de días que
permaneció el viajero en cada país.
Inglaterra
Francia
-10-
España
Total
Horario 10-11
Número de Equipo: 4
Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
Comida
Alojamiento
Varios
25
40
20
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
40
30
20
35
25
20
380
450
235
i = días en Inglaterra; f = días en Francia; e = días en España.
25i + 40f + 35e=380
40i + 30f + 25e = 450
20i + 20f + 20e = 235
6.- Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones A, B, y C. Los
camiones están equipados para el transporte de 3 clases de maquinaria pesada. El
número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión es :
Clase 1
Máquinas Clase 2
Clase 3
Camiones
Tipo A Tipo B Tipo C
3
0
2
1
1
1
2
3
2
La firma consigue una orden para 45 máquinas de la clase 1, 25 máquinas de la clase
2, y 15 máquinas de la clase 3. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se
requieren para cumplir la orden, asumiendo que, cada camión debe estar
completamente cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe
desechar. Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma. ¿
Cuál es la solución más económica?
a=camiones de tipo A, b=camiones de tipo B, c=camiones de tipo C.
3a + 2c = 45
a + b + c =25
2a + 3b + 2c = 15
7.- Descomponer las fracciones en sumas de fracciones parciales y calcule las
constantes A, B, C según corresponda:
-11-
Horario 10-11
Número de Equipo: 4
Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
a) A(x-2)+ B(x+1)= Ax – 2A + Bx + B =x(A + B) + (-2A + B);
A + B = 0;
-2A + B = 1;
Por G/J A = (1/3); B = (-1/3).
b) A(x-3) +B (x+2) = Ax – 3A + Bx + 2B = x(A + B) + (-3A + 2B);
A + B = 0;
-3A + 2B = 1;
Por G/J A = (-1/5); B = (1/5).
c) A(x+2)(x-2)+B(x-1)(x-2)+C(x-1)(x+2) = A(x2-4)+B(x2-3x+2)+C(x2+x-2) = Ax24A+Bx2-3Bx+2B+Cx2+Cx-2C=x2(A + B + C) + x(-3B + C) + (-4A + 2B – 2C);
A + B +C = 0;
-3B+ C = 0;
-4A+ 2B -2C=1;
Por G/J A = (-1/3); B = (1/12); C = (1/4).
d) A(x+2)2+B(x-1)(x+2)+C(x-1) = Ax2+4Ax + 4A + Bx2+Bx-2B+Cx-C = x2(A+B) +
x(4A+B+C) + (4A -2B –C);
A+B=0;
4A+B+C=0;
4A-2B-C=1;
Por G/J A=(1/9); B=(-1/9); C=(-1/3).
e) A(x-2)(x+2) + B(x-1)(x-2) + C(x+2)(x-1) = A(x2-4) +B(x2-3x+2) +C(x2+ x-2) =Ax2-4A
+ Bx2-3Bx+ 2B +Cx2 +Cx -2C = x2(A+ B + C) + x(-3B + C) + (-4A +2B -2C);
-12-
Horario 10-11
Número de Equipo: 4
Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
A + B+ C=0;
-3B + C = 0;
-4A + 2B -2C = 1;
Por G/J A =(-1/3); B =(1/12); C=(1/4).
f)
x 1
1
A


( x  1)(x  1) x  1 x  1
A=1.
1
A
B


( x  1)(x  2) x  1 x  2
A(x+2)+B(x+1) = Ax + 2A + Bx + B = x(A + B) + (2A + B);
A + B = 0;
2A + B = 1;
Por G/J A = 1 B = -1.
g)
1  x2
A
B
C



( x  2)(x  3)(x  4) ( x  2) ( x  3) ( x  4)
A(x +3)(x +4)+B(x +2)(x +4)+C(x +2)(x +3) = A(x2+7x+12) + B(x2+6x+8) + C(x2+5x+6)=
Ax2+7Ax+12A+Bx2+6Bx+8B + Cx2+5Cx + 6C = x2(A + B + C) + x(7A + 6B + 5C) +
(12A + 8B + 6C);
A + B + C =1;
7A + 6B + 5C = 0;
12A + 8B + 6C = 1;
Por G/J A = (5/2); B=-10; C=(17/2).
h)
1  2x
A
B
C



2
( x  1) ( x  2) x  2 x  1 ( x  1) 2
A(x+1)2+B(x+2)(x+1)+C(x+2) = A(x2+2x+1) + B(x2+3x+2) + C(x+2) = Ax2+2Ax + A +
Bx2 + 3Bx + 2B + Cx + 2C;
A + B = 0;
2A + 3B + C = -2;
A + 2B + 2C = 1;
Por G/J A=5; B = -5; C = 3.
i)
8.- Para las placas siguientes:
a)¿ En cuáles temperaturas se encuentran los puntos interiores, dadas las de la
periferia? Obtener el SEL.
b)¿ Se pueden resolver por simetría? Si la respuesta es si, replantee el SEL
correspondiente
-13-
Horario 10-11
Número de Equipo: 4
Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
a) 4x1 = 5 +x3
4x2 = 9 + x3
4x5 = 13 + x3
4x4 = 9 + x3
4x3 = x1 + x2 + x4 + x5
Si existe simetría en x4= x2
4x1- x3 = 5
4x2 - x3 = 9
4x5 – x3 = 13
4x3 – x1 -2x2 – x5 = 0
Por J/G C.S. = {2,3,3,4}.
b) 4x1 = 5 + x2
6x2 = 10 + x1 + x3
4x3 = 10 + x2
No tiene simetría que nos sea útil.
Por J/G C.S. = {(15/8,5/2,25/8)}.
Resuelva el siguiente sistema por el método de Gauss/Jordan:
9.2x + 4y + 6z = 16
4x + 5y + 6z = 17
3x + y - 2z = -5
-14-
Horario 10-11
Número de Equipo: 4
Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
 2 4 6 16 
1 2 3 8 
1 2
3 8 

 R1  1 R1 
 R  4 R  R 

2
 4 5 6 17  
1
2  0  3  6  15
 4 5 6 17   2
 3 1  2  5
 3 1  2  5
3 1  2  5 






1 2
1 2
3 8 
3 8 

 R2   1 R2 

3
3  5 R 2  R3
  
 0  3  6  15    0 1
2 5  R


 0  5  11  29
 0  5  11  29




R3  3 R1  R3
1 2 3 8 
1 2 3 8
1 2 3 8 

 R R 
 R  2 R  R 

3
2
1  2 R 2  R1

3  0 1 2 5  
 32  0 1 0  3  R


 0 1 2 5  
 0 0 1  4
 0 0 1 4
0 0 1 4 






 1 0 3 14 
1 0 0 2 

 R  3 R  R 

1
3
1  0 1 0  3 
 0 1 0  3  
0 0 1 4 
0 0 1 4 




C.S. = {(2,-3,4)}.
10.3x + 6y + 2z = 5
2x + 5y + 7z = 9
-3x + 2y - 3z = -1
-15-
Horario 10-11
Número de Equipo: 4
Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
 3 6 2 5
 1 1  5  4
 1 1  5  4

 R R  R 
 R  2 R  R 

1
2
1
2
1
2
 2 5 7 9    
 0 3 17 17 
 2 5 7 9    
  3 2  3  1
 3 2  3 1
 3 2  3 1






1 1  5  4 
1 1  5  4 
1



R2  R2
17 17  R3  5 R2  R3
3
3  3 R1  R3
   
R
  0 3 17 17   
 0 1
3 3 

 0 5  18  13




 0 5  18  13












1
1

5
1
1

5

4

4

4
1
1

5

 R  3 R 
 R  3 R  R 

3
3
2
3
2
17 17 
17 17 
85 
139
17
0 1
 
 0 1
 
 0 1 0



3
3 
3 3 
139

 0 0 1 124
 0 0 1 124
139 124





0 0 

3
3 
139
139



641
21 







 1 0  5 139 
 1 0  5 139
85  R1  5 R3  R1 
85 
1   R 2  R1
R

 0 1 0
   0 1 0


139 
139
 0 0 1 124 
 0 0 1 124




139 
139


C.S. ={(21/139,85/139,124/139)}.
11.3x - 5y + 7z = 0
2x + y - z = 0
x - 6y + 8z = 0
 3  5 7 0
 1  6 8 0
1  6
8 0

 R R  R 
 R  2 R  R 

3   R1  R3
1
2
1
2
1
2
 2 1  1 0    
 0 13  17 0  R


 2 1  1 0    
1  6 8 0
 1  6 8 0
1  6

8 0





1  6
1  6
8 0

 R2  1 R2 
13
 0 1
 0 13  17 0   

0 0

0 0
0 0



1 0
8 0

 17  R1  6 R2  R2 
0    
 0 1

13 
0 0
0 0 


Conjunto solución {(1-2/13z,1+17/13z,z); z   }
-16-
2 

13 0 
 17 
0
13 
0 0


Horario 10-11
Número de Equipo: 4
Carlos García Alvarado
Jorge Eduardo Calvillo Solana
Othón Rebolledo Benítez
Luis Edmundo Campos Calderón
María del Rocío López Lozano
I.D. 115331
I.D. 115322
I.D. 116515
I.D. 116037
I.D. 116172
12.x + 8y - 2z = 0
3x -4y - z = 0
2x - 5y +3z = 0
1 8
1
 1 8 2 0
2 0
8
2 0

 R  3 R  R 
 R2   1 R2 

7
2
1  2 R 2  R1
1
2  0  28  7 0   
 0 4 1 0  R


 3  4  1 0  
 2  5 3 0
2  5



3 0



 2  5 3 0
1 0 0 0
 1 0 0 0
1 0 0 0

 R  2 R  R 
 R2  1 R2 
1  R3  5 R 2  R3
3
4
1
3  0 4 1 0   
 0 1
0    

 0 4 1 0  
4


 2  5 3 0
 0  5 3 0
0  5 3 0










 1 0 0 0  R  4 R  1 0 0 0  R   1 R  R  1 0 0 0 
3
3
2
3
2
1
17
4
 0 1 1 0  

 0 1
0   
 0 1 0 0 

4 
4 

 0 0 1 0
0

17 0 
0
0
1




0 0

4 

C.S. = {(0,0,0)}
-17-