Horario 10-11 Número de Equipo: Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 Álgebra Lineal MA-131 Notas correspondiente al tema 1.1 I.1.2 Planteo de SEL de (3x3) Plantea los siguientes problemas (sin resolver) y define tus incógnitas. 1.- Una caja registradora contiene $50.00 en monedas de cinco, de diez y de veinticinco centavos. Hay 802 monedas en total y 10 veces más de cinco que de diez. ¿Cuántas monedas de cada una hay en la caja registradora? x = cantidad de monedas de 5 c.; y = cantidad de monedas de 10 c.; z = cantidad de monedas de 25 c. 25x + 10y + 5z = 5000 x + y + z = 802 z=10y 2.- Para el control de cierta enfermedad de una planta, un biólogo especialista recomienda usar una mezcla exacta de tres productos químicos en las siguientes proporciones : 10 unidades de químico A, 12 unidades del químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y, y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B, y C, en la cantidad 1, 2, y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1, y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad de 3, 2, y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los químicos requeridos para el control de la enfermedad? x y z Unidades Químico A 1 2 3 10 Químico B 2 1 2 12 Químico C 1 3 1 8 A: x + 2y + 3z = 10 B: 2x + y + 2z = 12 C: x + 3y + z = 8 3.- La suma de tres números es 160. Un cuarto de la suma del mayor y el mediano equivale al menor disminuido en 20, y si a 1/2 de la diferencia entre el mayor y el menor se suma el número del medio, el resultado es 57. Hallar los números. x = número mayor; y = número mediano; z = número menor. x + y + z = 160 1 1 x y z 20 4 4 1 ( x z ) y 57 2 4.- La suma de las tres cifras de un número es 16. La suma de la cifra de las centenas y la cifra de las decenas es el triple de la cifra de las unidades, y si al número se le resta 99, las cifras se invierten. Hallar el número. x = centenas; y = decenas; z = unidades. x + y + z = 16 x + y = 32 100x + 10y + z – 99 = 100z + 10y + x -1- Horario 10-11 Número de Equipo: Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 5.- La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 12. El dígito de las unidades supera en 1 al de las centenas. Si 90 veces el dígito de las unidades supera en 6 al número, obtenga el número. x = centenas; y = decenas; z = unidades. x + y + z = 12 z = x+1 90z = 100x + 10y + z + 6 6.- Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones A, B, y C. Los camiones están equipados para el transporte de 2 clases de maquinaria pesada. El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión es : Camiones Tipo A Tipo B Tipo C Máquinas Clase 1 2 1 1 Máquinas Clase 2 0 1 2 La firma consigue una orden para 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, asumiendo que, cada camión debe estar completamente cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe desechar. Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma, ¿Cuál es la solución más económica? x = numero de camiones de tipo A; y = numero de camiones de tipo B; z = numero de camiones de tipo C; p = costo total. 2x + y + z = 32 y + 2z = 10 x+y+z=p 7.- Administración de recursos. Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del 2 y 5 del 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del 3. Cada semana se proporcionan al lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 55000 del 3. Si se supone que los peces se comen todo el alimento, ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?.[pág 18 del Grossman] E1= Especie 1; E2= Especie 2; E3 = Especie; u1 = unidad de alimento de E1; u2 = unidad de alimento de E2; u3 = unidad de alimento de E3. E1+3E2+2E3=25000 E1+4E2+E3=20000 2E1+5E2+5E3=55000 Problemas propuestos por el Depto de Matemáticas 1.- Un viajero recién llegado a Europa, gastó en alojamiento diario 30 dólares en Inglaterra, 20 dólares en Francia y 20 dólares en España. Adicionalmente desembolsó 10 dólares por día en cada país en gastos varios. En comidas gastó por día 20 dólares en Inglaterra, 30 dólares en Francia y 20 dólares en España. El registro de nuestro viajero indica que gastó un total de 340 dólares en alojamiento, 320 dólares en alimentación y 140 -2- Horario 10-11 Número de Equipo: Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 dólares en gastos varios. Calcule el número de días que permaneció el viajero en cada país. Para el número de días que permaneció el viajero en cada país. [ pág 27 Grossman ] Inglaterra Francia España Total Alojamiento 1 2 3 340 Alimentación 2 1 2 320 Varios 1 3 1 140 I = número de días en Inglaterra; F = número de días en Francia; E = número de días en España. 30I+20F+20E=340 20I+30F+20E=320 10I+10F+10E=140 2.- El emperador Federico II de Sicilia invitó a Leonardo Pisano mejor conocido como Fibonacci y a otros sabios a resolver el siguiente problema: Tres hombres poseen una sola pila de monedas, y sus partes son 1/2, 1/3 y 1/6. Cada uno toma algo de dinero de la pila hasta que no queda nada. El primero regresa 1/2 de lo que tomó, el segundo 1/3 y el tercero 1/6. Cuando el total reintegrado se divide por igual entre los tres, se descubre que cada uno posee lo que le corresponde. ¿Cuánto dinero había en la pila original, y cuánto tomó cada uno de esa pila? [ pág 1 Nakos ] x = dinero que tomó el hombre 1; y = dinero que tomó el hombre 2; z = dinero que tomó el hombre 3; Q = la porción total del dinero; T = porción total de dinero que regresaron. x+y+z=Q 1 1 1 x y z T 2 3 6 1 T 1 x Q 2 3 2 2 T 1 y Q 3 3 3 5 T 1 z Q 6 3 6 3.- Una inversionista le afirma a su corredor de bolsa que todas sus acciones son de tres compañías, Delta Airlines, Hilton Hotels y McDonald's, y que hace días su valor bajó $350 pero que ayer aumentó $600. El corredor recuerda que hace dos días el precio de las acciones de Delta Airlines bajó $1 por acción y el de las de Hilton Hotels bajaron $1.50, pero que el precio de las acciones de McDonald's subió $0.50. También recuerda que ayer el precio de las acciones de Delta subió $1.50 por acción, el de las de Hilton Hotels bajó otros $0.50 por acción t las de McDonald's subieron $1. Demuestre que el corredor no tiene suficiente información para calcular el número de acciones que posee la inversionista en cada compañía, pero que si ella dice que tiene 200 acciones deMcDonald's, el corredor puede calcular el número de acciones que tiene Delta y en Hilton [pág 27 Grossman]. x = precio de las acciones de Delta; y = precio de las acciones del Hilton; z = precio de las acciones de McDonal’s; D = número de acciones de Delta; H = número de acciones del Hilton; M = número de acciones de McDonald’s; P = precio inicial de las acciones. xD + yH + zM = P (x-1)D + (y-1.5)H + (z +0.5)M = P – 350 (x – 1 + 1.5)D + (y-1.5-0.5)H + (z+0.5+1)M = 600 + P -350 M = 200 Reduciendo: -3- Horario 10-11 Número de Equipo: Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 -D – 1.5H + 0.5M = -350 0.5D – 2H+1.5M = 250 M = 200 4.- Un agente secreto sabe que 60 equipos aéreos, que consisten en aviones de combate y bombarderos, están estacionados en cierto campo aéreo secreto. El agente quiere determinar cuántos de los 60 equipos son aviones de combate y cuántos son bombarderos. Existe un tipo de cohete que llevan ambos aviones; el de combate lleva 6 de ellos y el bombardero sólo 2. El agente averigua que se requieren 250 cohetes para armar a todos los aviones del campo aéreo. Aún más, escucha que se tiene el doble de aviones de combate que bombarderos en la base ( es decir, el número de aviones de combate menos dos veces el número de bombarderos es igual a cero). Calcule el número de aviones de combate y bombarderos en el campo aéreo o muestre que la información del agente debe ser incorrecta ya que es inconsistente [pág 27 Grossman]. a = aviones de combate; b = bombarderos c + b = 60 6c + 2b = 250 c – 2b = 0 1 0 60 1 0 60 1 0 60 1 0 6 1 R2 6 R1 R2 R2 2 R2 R3 2 R2 R3 0 2 110 0 1 55 0 1 55 6 2 250 1 2 0 0 2 60 0 2 60 0 0 170 Debido a que el renglón 3 se nos hacen cero todos los coeficientes menos el término independiente decimos que el sistema es inconsistente. 5.- Un comerciante desea mezclar dos calidades de cacahuates que cuestan $3 y $4 por libra, respectivamente, con nueces de la India que cuestan $8 por libra, con objeto de tener 140 libras de una mezcla que cuesta $6 por libra. Si el comerciante también desea que la cantidad de cacahuates de menor precio sea el doble de la de cacahuates de mejor calidad, ¿Cuántas libras de cada variedad ha de mezclar? x = la cantidad de cacahuate de 3 pesos; y = la cantidad de cacahuate de 4 pesos; z = la cantidad de cacahuate de 8 pesos. x + y + z = 140 3x + 4y + 8z = 140(6) x = 2y 6.- Un zoológico tiene entre aves, bestias y tarántulas un total de 60 "cabezas" y 200 "patas", donde el número de "patas" de aves es igual al número de "patas" de tarántulas. ¿Cuántas aves, bestias y tarántulas hay? A = número de aves; B número de bestias; T número de tarántulas. A + B + T = 60 2A + 9B + 8T = 200 2A = 8T Álgebra Lineal MA-131 Tarea correspondiente al tema 1.4, 1.5, 1.6, 1.7 Problemas diversos Ejercicios 1.2 [GER92] pág 17 Encuentre la matriz aumentada correspondiente a los SEL dados en los Ejercicios 1-2 1.- 3x1 - 5x2 = 6 x1 + 2x2 = 7 -4- Horario 10-11 Número de Equipo: Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 3 5 6 1 2 7 2.- x1 + 2x2 - 6x3 = 15 8x1 - 15 x2 = 12 2x1 + 16x2 - x3 = 56 1 2 6 15 8 15 0 12 2 16 1 56 Encuentre el sistema de ecuaciones lineales correspondiente a cada una de las matrices aumentadas de los Ejercicios 3-4 3.3x1-2x2=15 x1+23x2=0 4.x1+3x2+5x3+7x4+9x5=11 x1+2x2+4x3+6x4+8x5=10 Determine si las siguientes matrices son de forma escalonada por renglones 5.- No es escalonada. 6.No es escalonada. Determine si las siguientes matrices son de forma escalonada por renglones, de forma escalonada reducida por renglones, o de ninguna de ellas 7.- Matriz. 8.- Matriz -5- Horario 10-11 Número de Equipo: Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano 9.- I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 Escalonada Reducida. 10.Matriz. Suponga que cada matriz es una forma escalonada por renglones de la matriz aumentada de un SEL. Resuelva el SEL. 11.x + 2y + 3z = 9 y + 4z = 9 z=2 Sustituyendo: z=2 y=1 x =1 C.S. = {1,1,2} 12.x -2y -5z = 7 Si x = 1 y y = 1 por lo tanto z = 8 8 C.S. = {1,1, ; x , y } 5 5 Reduzca las matrices de los Ejercicios 13-14 a las formas escalonada por renglones y escalonada reducida por renglones 13.- 1 1 R2 4 R1 R2 1 1 R2 17 R2 1 1 R1R1R2 1 0 4 3 0 1 0 7 0 1 Escalonada. -6- Escalonada reducida. Horario 10-11 Número de Equipo: Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 14.- 0 6 0 6 0 3 3 3 1 R2 R2 6 R2 R2 R1 4 24 2 3 2 12 0 2 15 12 66 15 12 66 15 12 6 3 0 3 0 6 3 1 R2 R2 R3 5 R1 R3 R3 6 R2 R3 0 2 6 0 2 6 2 0 0 12 36 0 0 0 0 1 0 2 1 R1 R1 3 0 1 3 0 0 0 Escalonada reducida. En los Ejercicios 15-18 resuelva el SEL por eliminación de Gauss-Jordan 15.- x1 - 2x2 = -1 3x1 + 5x2 = 30 5x1 + x2 = 28 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 R R 2 2 R2 3 R1 R2 0 11 33 11 0 1 3 3 5 30 5 1 28 5 1 28 5 1 28 1 0 5 1 0 5 1 0 5 R3 5 R1 R3 R3 R2 R3 R1 2 R2 R1 0 1 3 0 1 3 0 1 3 5 1 28 0 1 3 0 0 0 C.S. = {5,3} 16.- 7x1 + 29x2 - 28x3 = -21 8 x1 + 42x2 - 20x3 = 134 x1 + 5x2 - 3x3 = 11 -7- 6 6 66 0 6 1 3 0 0 Horario 10-11 Número de Equipo: Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 7 29 28 21 7 29 28 21 7 29 28 21 1 R2 8 R3 R2 R2 2 R2 0 2 4 46 0 1 2 23 8 42 20 134 1 5 3 11 1 5 3 11 1 5 3 11 1 5 3 11 1 5 3 11 1 5 3 11 R3 7 R1 R3 R3 6 R2 R3 0 1 2 23 0 1 2 23 0 1 2 23 7 29 28 21 0 6 7 98 0 0 5 40 R1 R3 1 5 3 11 1 5 3 11 1 0 3 24 R2 2 R3 R2 R1 5 R2 R1 0 1 2 23 0 1 0 7 0 1 0 7 0 0 1 8 0 0 1 8 0 0 1 8 1 R3 R3 5 1 0 0 0 0 1 0 7 0 0 1 8 R1 3 R3 R1 C.S. {0,7,8} 17.- 2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 - 2x2 - 30x3 = 62 2 2 14 1 0 7 1 1 3 6 2 10 3 1 5 1 5 1 1 R1 2 R1 R3 2 R3 2 2 R1 R2 5 6 8 2 5 6 8 2 5 6 8 R 14 2 30 62 7 1 15 31 2 30 62 1 1 3 3 1 5 3 1 5 1 5 R3 7 R1 R3 R3 2 R2 R3 11 4 2 0 11 4 2 0 11 4 2 0 22 8 4 0 0 1 15 31 0 0 No tiene solución. 18.- 6x2 - 18x3 = 24 x1 + 2x2 + 3x3 = 6 2x1 + 3x2 + 9x3 = 8 -8- Horario 10-11 Número de Equipo: Carlos García Alvarado Jorge Eduardo Calvillo Solana Othón Rebolledo Benítez Luis Edmundo Campos Calderón María del Rocío López Lozano I.D. 115331 I.D. 115322 I.D. 116515 I.D. 116037 I.D. 116172 0 6 18 24 1 2 3 6 1 2 3 6 1 R1 R2 R2 6 R2 3 2 R1 R3 0 1 3 4 R 1 2 3 6 0 6 18 24 2 2 9 8 2 2 9 8 2 2 9 8 1 2 1 2 3 6 3 6 1 2 3 6 1 R3 2 R2 R3 R3 3 R3 2 3 R3 R2 0 1 3 4 R 0 1 3 4 0 1 3 4 4 0 2 3 4 0 0 3 4 0 0 1 3 1 2 3 6 1 0 3 6 1 0 0 10 1 3 R3 R1 1 2 R2 R1 0 1 0 0 R 0 1 0 0 R 0 1 0 0 4 4 4 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3 3 3 4 C.S. {10,0, } 3 -9-