cuadratica

FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática es una función definida por:
f : IR
IR
x
y = f(x) = ax2 + bx + c; donde a , b y c  IR , a  0
La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números
reales.
Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es
negativa y abre hacia abajo.
Si a>0 y b>0, entonces la parábola se encuentra hacia la izquierda del eje y.
Si a>0 y b<0, entonces la parábola se encuentra hacia la derecha del eje y.
Si a<0 y b>0, entonces la parábola se encuentra hacia la derecha del eje y.
Si a<0 y b<0, entonces la parábola se encuentra hacia la izquierda del eje y.
Si b=0, el eje y, es eje de simetría de la parábola.
El punto (0,c) indica la intersección de la parábola con el eje y.
Ecuaciónes Cuadráticas o de Segundo Grado
Corresponden a las expresiones de la forma ax 2  bx  c  0 , donde a, b, c  IR.
Veamos los tipos de ecuaciones de segundo grado que existen.
Ecuación de segundo grado completa
La expresión de una ecuación de segundo grado completa es ax2 + bx + c = 0 con a,
b, y c distintos de cero.
Cuando a=1, la ecuación recibe el nombre de completa particular
Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b ó c, o ambos,
son cero. Así tenemos:
ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.
ax2 + c = 0; si b = 0.
ax2 + bx = 0; si c = 0.
Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado
Incompletas:
1)
ax2 = 0, con a0
Despejando x2 se tiene: x 2 
0
 0 x
2
 0 x  0
a
Por lo tanto, las ecuaciones de la forma ax2 = 0 tienen como solución única x = 0.
Ejemplo: 3 x 2  0  x 2 
0
 0 x  0
3
2) ax2 + bx = 0, con a0
Se saca factor común, obteniéndose
x (ax + b) = 0.
Si producto de dos factores da como resultado cero, uno de ellos debe ser cero:

x  0

x ( ax  b )  0   ó

b
 ax  b  0  ax   b  x 
a

de donde:
x  0  x  
b
a
Ejemplo: 2x2 + 4x = 0

x  0

x (2 x  4)  0 ó

4
2 x  4  0  x 
 2
2

De donde: x1 = 0 y x2 = -2.
3) ax2 + c = 0.
De donde:
x
2

c
a
 x  
c
a
Si c<0 la ecuación no tiene solución, pues no existe la raíz cuadrada de un número
negativo.
Ejemplo:
3x2 - 27 = 0
3x
2
 27  x
2

27
 x
2
 9  x   9  x  3
3
La ecuación tiene dos soluciones, x1 = 3 y x2 = -3.
Completas:
Para resolver una ecuación de segundo grado de la forma ax 2 + bx + c = 0, se aplica
la fórmula:
x 
2
b
b  4 ac
2a
De donde:
x1 
2
b
b  4 ac
2a
 x2 
b
2
b  4 ac
2a
Ejemplo: Resolver la ecuación x2 - 5x + 6 = 0.
Resolución:
a = 1; b = -5; c = 6.
x 
b
b
2
2a
 4 ac

 (5) 
2
(5)  4  1  6
5  25  24
5 1
5 1



2 1
2
2
2
5 1
6
5 1
4
x1 

 3 y x2 

 2
2
2
2
2
O sea: x1= 3 y x2 = 2.
Discusión de las soluciones de una ecuación de segundo grado
Se denomina Discriminante a la expresión b2 - 4ac, y se representa por , letra
griega delta mayúscula. Entonces:
 = b2 - 4ac.
Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener
dos, una o ninguna solución.
Se distinguen tres casos:
Si  > 0, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas.
Si  = 0, las dos soluciones son la misma, o sea, x1 = x2.
Si  < 0, la ecuación de segundo grado no tiene solución real.
Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado
Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, y x1 y x2 sus soluciones, se
cumple:
1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado es:
x1  x 2 
b
a
2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado es:
x1  x 2 
c
a
Aplicando estas propiedades, la ecuación ax2 + bx + c = 0, puede expresarse como:
x
2
 ( x1  x 2 ) x  x1  x 2  0
o bien:
( x  x 1 )( x  x 2 )  0
Ejemplo: Formar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 4 y –2.
La ecuación es (x – 4)(x + 2) = 0; o sea, x2 – 2x – 8 = 0
Resolución de Problemas
1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.
El par consecutivo de 2x es 2x + 2.
Entonces 2x(2x + 2) = 168.
4x2 + 4x - 168 = 0.
/:4
2
x + x - 42 = 0.
De donde x1 = 6 y x2 = -7
Luego las soluciones son 12 y 14; -12 y -14.
EJERCICIOS
1. ¿Cuál de los siguientes puntos no pertenece a la función cuadrática f ( x )  1  x 2 ?
a) (0,1)
b) (1,0)
c) (-1,0)
d) ( 2 ,-1)
e) (1,1)
2. Al graficar la parábola y = 2x2 – 3x + 5, esta intercepta al eje y en el punto:
a) (0,2)
b) (0,3)
c) (0,5)
d) (0,-3)
e) (0,-5)
d) (-3,0)
e) (3,0)
d) b > 0
e) b = 0
3. La función y = -3x2 es una parábola cuyo vértice es:
a) (0,3)
b) (0,0)
c) (0,-3)
4. El eje y, es eje de simetría de una parábola, cuando:
a) a > 0
b) a < 0
c) b < 0
5. En un terreno rectangular, el largo tiene 2 metros más que su ancho. Si su área es de 24 m 2,
¿cuánto mide su largo?
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 6 m.
d) 8 m.
e) 12 m.
d) 4
e)
d) x < -1
e) –1 < x < 1
d) -1
e) -2
6. El valor del discriminante de la ecuación –x2 – 1 = 0 es:
a) -4
b) -3
c) 1
1
7. ¿Para qué valores de x, la expresión x4 – 1 es negativa?
a) x = 1
b) x = -1
c) x > 1
8. El producto de las raíces de la ecuación x2 + 2x – 1 = 0 es:
a) 2
b) 1
c) 0
9. ¿Cuál es el valor de k, si la parábola y = 7x2 – 4x + 2k – 10 pasa por el origen?
a) 10
b) 5
c) 0
d) -5
e) Ninguna de
las anteriores
10. La ecuación cuadrática que tiene como raíces x1 = 1 y x2 = -1 es:
a) x2 + 1 = 0
b) x2 + x = 0
c) x2 - x = 0
d) x2 + x - 1 = 0
e) Ninguna de
las anteriores
ALTERNATIVAS
1. ¿Cuál de los siguientes puntos no pertenece a la función cuadrática f ( x )  1  x 2 ?
Alternativa A: Incorrecta. Al reemplazar el punto (0,1) en la función y  1  x 2 , resulta 1 = 1, por lo
tanto pertenece a la función.
Alternativa B. Incorrecta. Al reemplazar el punto (1,0) en la función y  1  x 2 , resulta 0 = 0, por lo
que el punto pertenece a la función.
Alternativa C. Incorrecta. Al reemplazar el punto (-1,0) en la función y  1  x 2 , resulta 0 = 0, por lo
que el punto pertenece a la función.
Alternativa D: Incorrecta. Al reemplazar el punto ( 2 ,-1) en la función y  1  x 2 , resulta -1 = -1,
por lo que el punto pertenece a la función.
Alternativa E: CORRECTA. Al reemplazar el punto (1,1) en la función y  1  x 2 , se obtiene que
10, por lo que el punto NO pertenece a la función.
2. Al graficar la parábola y = 2x2 – 3x + 5, esta intercepta al eje y en el punto:
Alternativa A: Incorrecta. En la función y  ax 2  bx  c , el punto de intersección con el eje y
corresponde al punto (0,c) y no al (0,a) como lo indica esta alternativa.
Alternativa B. Incorrecta. En la función y  ax 2  bx  c , el punto de intersección con el eje y
corresponde al punto (0,c) y no al (0,-b) como lo indica esta alternativa.
Alternativa C. CORRECTA. El punto (0,5) corresponde a la intersección de la parábola con el eje
y, ya que en la función y  ax 2  bx  c , el punto de intersección con el eje y corresponde al punto
(0,c).
Alternativa D: Incorrecta. En la función y  ax 2  bx  c , el punto de intersección con el eje y
corresponde al punto (0,c) y no al (0,b) como lo indica esta alternativa.
Alternativa E: Incorrecta. En la función y  ax 2  bx  c , el punto de intersección con el eje y
corresponde al punto (0,c) y no al (0,-c) como lo indica esta alternativa.
3. La función y = -3x2 es una parábola cuyo vértice es:
Alternativa A: Incorrecta. Al reemplazar los valores a = -3, b = 0 y c = 0 en la expresión de las
coordenadas del vértice de una parábola, no se obtiene esta alternativa.
Alternativa B. CORRECTA. Las coordenadas del vértice de una parábola corresponden al punto
2
(
0
0
 b 4 ac  b
,
) = (0,0)
,
) . Para este ejercicio se obtiene (
 6  12
2a
4a
Alternativa C. Incorrecta. Al reemplazar los valores a = -3, b = 0 y c = 0 en la expresión de las
coordenadas del vértice de una parábola, no se obtiene esta alternativa.
Alternativa D: Incorrecta. Al reemplazar los valores a = -3, b = 0 y c = 0 en la expresión de las
coordenadas del vértice de una parábola, no se obtiene esta alternativa.
Alternativa E: Incorrecta. Al reemplazar los valores a = -3, b = 0 y c = 0 en la expresión de las
coordenadas del vértice de una parábola, no se obtiene esta alternativa.
4. El eje y, es eje de simetría de una parábola, cuando:
Alternativa A: Incorrecta. El coeficiente a > 0, indica que las ramas de la parábola se abren hacia
arriba.
Alternativa B. Incorrecta. El coeficiente a < 0, indica que las ramas de la parábola se abren hacia
abajo.
Alternativa C. Incorrecta. El coeficiente b < 0, indica que la parábola puede estar hacia la derecha
o hacia la izquierda del eje y, dependiendo del valor de a.
Alternativa D: Incorrecta. El coeficiente b > 0, indica que la parábola puede estar hacia la derecha
o hacia la izquierda del eje y, dependiendo del valor de a.
Alternativa E: CORRECTA. Si el coeficiente b = 0, en la función y  ax 2  bx  c , con a0, la
parábola tiene como eje de simetría al eje de ordenada y, independiente de los valores de a y c.
5. En un terreno rectangular, el largo tiene 2 metros más que su ancho. Si su área es de 24
m2, ¿cuánto mide su largo?
Alternativa A: Incorrecta. Se opta por este valor al considerar los lados de 8 m. y de 3 m., con lo
que se obtiene que el área del rectángulo es 24 m 2, pero la diferencia entre el largo y el ancho es
de 5 m. y no de 2 m. como lo requiere el enunciado.
Alternativa B. Incorrecta. Este valor corresponde al ancho del rectángulo y no a su largo.
Alternativa C. CORRECTA. Basados en que la diferencia entre el largo y el ancho (denominado x)
del rectángulo es 2m. y además que su área es 24 m2, se plantea que x(x + 2) = 24, de donde x = 4
y, por lo tanto, el largo mide 6 m.
Alternativa D: Incorrecta. Se opta por este valor al considerar los lados de 8 m. y de 3 m., con lo
que se obtiene que el área del rectángulo es 24 m 2, pero la diferencia entre el largo y el ancho es
de 5 m. y no de 2 m. como lo requiere el enunciado.
Alternativa E: Incorrecta. Se consideran los lados de medidas, 12 m. y 2 m., al no comprenderse
el enunciado del problema en su totalidad.
6. El valor del discriminante de la ecuación –x2 – 1 = 0 es:
Alternativa A: CORRECTA. El discriminante corresponde a la expresión b 2  4 ac , por lo que al
efectuar el reemplazo se obtiene 0 – 4(-1)(-1) = -4
Alternativa B. Incorrecta. Después de efectuar el reemplazo se opera con errores lo que lleva a
obtener esta alternativa.
Alternativa C. Incorrecta. Resolución de la ecuación y errores de signos llevan a obtener esta
alternativa.
Alternativa D: Incorrecta. Errores de signos llevan a esta alternativa.
Alternativa E: Incorrecta. Se resuelve la ecuación y se obtiene x, pero no es lo que se solicita en
el enunciado.
7. ¿Para qué valores de x, la expresión x4 – 1 es negativa?
Alternativa A: Incorrecta. Si x = 1, se obtiene que la expresión es 0.
Alternativa B. Incorrecta. Si x = -1, se obtiene que la expresión es 0.
Alternativa C. Incorrecta. Si x > 1, por ejemplo x = 2, se obtiene que la expresión es 15, o sea,
mayor que 0.
Alternativa D: Incorrecta. Si x < -1, por ejemplo x = -2, se obtiene que la expresión es 15, o sea,
mayor que 0.
Alternativa E: CORRECTA. Si –1 < x < 1, por ejemplo x = 0, se obtiene que la expresión es –1, o
sea, negativa.
8. El producto de las raíces de la ecuación x2 + 2x – 1 = 0 es:
Alternativa A: Incorrecta. El valor b/a no corresponde al producto de las raíces de una ecuación
de segundo grado.
Alternativa B. Incorrecta. Se considera el producto de las raíces como –c/a, lo que es un error.
Alternativa C. Incorrecta. Se confunden conceptos (satisfacer la ecuación), que llevan a esta
alternativa.
Alternativa D: CORRECTA. El producto de las raíces de una ecuación cuadrática corresponde a
la razón c/a, o sea, para este caso –1/1 = -1.
Alternativa E: Incorrecta. Este valor corresponde a la suma de las raíces de la ecuación dada.
9. ¿Cuál es el valor de k, si la parábola y = 7x2 – 4x + 2k – 10 pasa por el origen?
Alternativa A: Incorrecta. Se conoce que si la parábola pasa por el origen, entonces c = 0, pero se
piensa en anular el –10 con 10.
Alternativa B. CORRECTA. Si la parábola pasa por el origen, entonces c = 0, o sea, 2k – 10 = 0,
obteniéndose que k = 5.
Alternativa C. Incorrecta. Se conoce que c = 0, pero no se aplica correctamente en el ejercicio.
Alternativa D: Incorrecta. Se plantea bien que 2k – 10 = 0, pero un error de signo lleva a obtener
que k = -5.
Alternativa E: Incorrecta. Diversos procedimientos errados llevan a obtener esta alternativa.
10. La ecuación cuadrática que tiene como raíces x1 = 1 y x2 = -1 es:
Alternativa A: Incorrecta. Al resolver esta ecuación, se obtiene que x   1 .
Alternativa B. Incorrecta. Al resolver esta ecuación, se obtiene que x 1 = 0 y x2 = -1
Alternativa C. Incorrecta. Al resolver esta ecuación, se obtiene que x 1 = 0 y x2 = 1
Alternativa D: Incorrecta. Al resolver esta ecuación, se obtiene que x1 =
1
2
5
y x2 =
Alternativa E: CORRECTA. La ecuación cuadrática cuyas raíces son 1 y –1 es x 2  1  0
1
2
5