Una función

FUNCIONES.
Una función ...

... es una relación entre dos variables ...
El perímetro (P) de un círculo se obtiene evaluando la expresión P  2  r
donde r es el radio del círculo. Si se le da un valor al radio, se obtiene un
valor del perímetro.

... en la que una variable depende de la otra ...
El valor del perímetro de un círculo depende del radio del mismo. Hay una
variable dependiente (P) y una independiente (r).

... y a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo uno de la
dependiente.
A cada valor del radio le corresponde solo un valor del perímetro. No
puede ser que un mismo radio corresponda a dos valores de perímetro.
Es muy común denotar a la variable independiente como x, y a la dependiente como f(x)
o y. La notación f(x), que se lee f de x, indica que f depende de x.
Nota. La notación f(x) no representa el producto de f por (x).
Ejemplo 1.
Las siguientes relaciones definen funciones que nos interesan:
Función
Variable dependiente
La relación entre la hora
del día y la temperatura
del agua
La relación en el
número microalgas y la
concentración de
oxígeno en el agua
La relación entre la
velocidad de una
Temperatura del agua,
T
Variable
independiente
Hora del día, h
Notación
T ( h)
Concentración de
oxígeno en el agua, C
Número de
microalgas, n
C ( n)
Velocidad de la
corriente, V
Profundidad, z
V ( z)
corriente y la
profundidad
La relación entre el
número de ostiones en
una playa y la
temperatura del agua
La relación entre la
longitud de una ballena
y su edad
Número de ostiones, f
Temperatura del agua,
T
f (T )
Longitud de una
ballena, L
Edad, t
L(t )
Gráfica de una función.
La gráfica de una función es el conjunto de parejas ordenadas ( x, f ( x) ) dibujadas en
un plano cartesiano. Esto es, es el conjunto
Gráfica de f  ( x, y ) y  f ( x)
Ejemplo 2.
Consideremos el número de ballenas en el océano y el crecimiento del pasto en la
FCM. Dado que no hay una dependencia entre estas dos cosas, no hay una relación
entre ellas y por lo tanto no definen una función.
Ejemplo 3.
En la gráfica adyacente se presenta una relación entre dos variables, sin embargo,
hay valores de x para los que hay más de un valor de f(x), por lo tanto, no es una
función.
f(x)
x
Dominio y contradominio.
El dominio de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar
la variable independiente (x).
Ejemplo 4.
Función
La relación entre la
hora del día y la
temperatura del agua
La relación entre la
longitud de una ballena
y su edad
Variable
dependiente
Temperatura del
agua, T
Variable
independiente
Hora del día, h
Dominio
Longitud de una
ballena, L
Edad, t
El tiempo promedio de
vida de la ballena gris. [0,
50] años
Las 24 horas del día. [0,
24]
Ejemplo 5.
f x   5
f x   3 x  4
f x   3 x 2  x  2
f x  x  2x  1x  3
f x  
3x  4
4x  8
Como la variable x puede tomar cualquier valor, su
dominio es el intervalo  , .
Como la variable x puede tomar cualquier valor, su
dominio es el intervalo  , .
Como la variable x puede tomar cualquier valor, su
dominio es el intervalo  , .
Como la variable x puede tomar cualquier valor, su
dominio es el intervalo  , .
Si x = -2, el denominador se hace cero y la función
no está definida. Su dominio es el
conjunto D   x x  , x  2 , o bien, el intervalo
 ,2, 2,
El contradominio o imagen representa el conjunto de todos los valores que toma la
función, esto es, los valores de la variable dependiente y.
Ejemplo 6.
Función
La relación entre la
Variable
Variable
dependiente
independiente
Temperatura del Hora del día, h
Contradominio
[18, 20] °C, en Bahía de
hora del día y la
agua, T
temperatura del agua
La relación entre la
Longitud de una
longitud de una ballena ballena, L
y su edad
Todos Santos.
Edad, t
[4, 15] metros, para la
ballena gris.
Ejemplo 7.
f x   5
f x   3 x  4
El contradominio es únicamente y = 5 ya que éste
es el único valor que toma.
y puede tomar cualquier valor, por lo tanto, su
contradominio es el intervalo  , .