CONTINUIDAD la variable independiente (x) dan lugar a variaciones pequeñas de... la función” DEFINICIÓN INTUITIVA

CONTINUIDAD
DEFINICIÓN INTUITIVA: “Una función es continua si variaciones pequeñas de
la variable independiente (x) dan lugar a variaciones pequeñas de los valores de
la función”
“Una función es continua si su gráfica es conexa, no tiene fisuras”
UTILIDAD:¿ POR QUÉ EXISTE INTERÉS EN SABER SI UNA FUNCIÓN
ES CONTINUA? Porque muchas veces tenemos que tratar con aproximaciones
numéricas. Por ejemplo, decir que f( 2 ) ≈ f( 1,4142…) significa que antes
hemos supuesto que la función era continua.
SI LA FUNCIÓN ES CONTINUA SUPONEMOS QUE REPRESENTA LA CONTINUIDAD
DEL FENÓMENO ESTUDIADO, ES DECIR, QUE CAMBIA CONTINUAMENTE, ESTO
ES, QUE NO SALTADE UNOS VALORES A OTROS SIN PASAR POR LOS
INTERMEDIOS.
Ejplo, ¿cuáles de estas funciones son continuas?
- la temperatura corporal de una persona
- el precio del barril del petróleo.
RECORDAR: EN ECONOMÍA SE TRABAJA CON FUNCIONES QUE MIDEN
FENÓMENOS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO.
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CONDICIONES: Para que una función sea continua se tienen que dar las tres
condiciones siguientes:
a) Debe existir f(a) [ f(x) debe estar definida en el punto a ]
b) Debe existir el limx→a f(x)
c) El limx→a f(x) = f(a)
Si alguna de las tres condiciones no se verifica decimos que f es discontinua
en a.
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE CASOS DE DISCONTINUIDAD
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN
INTERVALO ( continuidad y acotación):
CONTINUIDAD EN INTERVALO ABIERTO: Decimos que f(x) es
continua en el intervalo (a,b) si es continua en todos y cada uno de los puntos
de dicho intervalo.
CONTINUIDAD GLOBAL: Una función f se dice continua en el intervalo
[a,b] si verifica:
- Es continua en todos los puntos (a,b)
- Es continua a la derecha del punto a
- Es continua a la izda del punto b
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CONTINUIDAD LATERAL: Decimos que una función f es continua en x=a
- Por la dcha : si existe limx→a+ f(x) =f(a)
- Por la izda: si existe lim x→a- f(x) = f (a)
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS:
Teorema 1: Si f y g son dos funciones continuas en a , se cumple,
1. f+g es continua en a
2. f.g es continua en a
3. │f│es continua en a
4. Si g(a) # 0 entonces f(x) / g(x) es continua en a
5. [ f(x) ]p/q es continua si [ f(a) ]p/q está definida.
6. [ f(x) ]g(x) es continua en el punto si [ f(a) ]g(a) está definida en el punto a
Teorema 2 ( Composición de funciones continuas) Si g es una función
continua en a y f es una función continua en g(a), entonces f  g es continua en
a
Teorema 3 Sea f continua en a, entonces f está acotada en un entorno de a.
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DISCONTINUIDAD
DEFINICIÓN: Se dice que f es discontinua en a si y sólo si f no es continua en a.
Una función puede ser discontinua en un punto por:
- No coincidir el límite con el valor de la función
- No estar definida la función en el punto.
- No existir límite finito en dicho punto.
TIPOS DE DISCONTINUIDAD.
1. DISCONTINUIDAD EVITABLE: La función f tiene un punto de discontinuidad
evitable en a si y sólo si :
Limx→a f(x) = L pero L# f(a) [ en muchos casos f no está definida en a]
( existe el límite pero no coincide con el valor de la función en dicho punto)
Se dice discontinuidad evitable porque basta definir la función:
f(x) =  f L( x)

xa
xa
para evitar esa discontinuidad.
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2. DISCONTINUIDAD INEVITABLES:
1. DISCONTINUIDAD DE PRIMERA ESPECIE:
Existen los dos límites finitos o infinitos laterales en x=a pero no coinciden.
También llamada discontinuidad de salto, porque la función “tiene un salto” en x=a.
1.1. Si lo límites laterales son finitos= discontinuidad de salto finito
1.2. Discontinuidad de salto infinito o discontinuidad de tendencia al infinito: Se tiene que
cumplir alguna de las dos condiciones siguientes:
- Existe lim de f en a y es infinito
- No existe límite de f en a y algún límite lateral de f en a es infinito.
2. DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA ESPECIE:
No existe alguno de los dos límites laterales (o ninguno). DISCONTINUIDAD ESENCIAL:
Ni existe límite,ni existe límite laterales.
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TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Cuando una función es continua en TODOS los puntos de un intervalo , particularmente si es
cerrado, se tienen los siguientes teoremas:
TEOREMA DE BOLZANO
Si la función f(x) es continua en el intervalo [a,b] y en los extremos de a y b toma valores de
signo contrario , entonces se anula en algún punto del interior del intervalo.
¿Para qué nos sirve el teorema de Bolzano? Para a resolución de ecuaciones de tio f(x) = 0, ya
que nos da condiciones ( fáciles de probar ) que son suficientes para que una función se anule =
para averiguar si una ecuación tiene solución.
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO.
Corolario al teorema de Bolzano Si la función f(x) es continua en el intervalo [a,b] y en los
extremos de a y b toma valores de signo contrario y c es un valor intermedio entre f(a) y f(b)
entonces f(x) toma el valor c en algún punto del intervalo.
TEOREMA DE WEIERSTRASS
Si la función f(x) está definida en el intervalo [a,b] y es continua en dicho intervalo, entonces
alcanza en el mismo su valor máximo global y su valor mínimo global.
(“existencia de máximo y mínimo”)
Ejercicios teorema de Bolzano.
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Demuéstrese que la ecuación ex = x2 admite al menos una raíz real.
1. La función es continua para todo número real. f(x) = ex - x2
2. Se observa que :
F( -1) = e-1 – (-1)2 = 1/e -1 <0
F (0) = e0 – (0)2 = 1 > 0
Por lo tanto como la función es continua en el intervalo [-1,]0 y además toma valores de signo
contrario en los extremos podemos decir que tiene una solución en dicho intervalo.
Comprobar que la ecuación x7+3x+3 = 0 tiene una solución ÚNICA real.
1º la función es continua en todo R por tratarse de un polinomio.
2º f(-2) = -131<0
f(1) = 7 >0
por lo tanto como toma valores de signo contrario en los extremos del intervalo podemos
decir que tiene una solución .
3º Para que la solución sea única tenemos que comprobar que la función sea siempre creciente
o decreciente.
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En este caso, y sin saber derivadas, podemos decir observando sólo la función que es
creciente→ por la tanto la solución es única.
Encuentra una solución aproximada para la ecuación: x2-x-1=
Sea f(x) = : x2-x-1-
1
x 1
1
x 1
F(1) = -3/2 < 0
F(2) = 2/3
Sabemos que tiene una solución y es continua en el intervalo [1,2]
¿ Cómo hallaríamos la raíz? Buscamos subintervalos de [1,2] reduciendo cada vez más la
longitud de esos subintervalos, por ejemplo:
f(1,5) = -1,6
f(1,8) = 0,232
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