CONTINUIDAD - exposicionesaula

CONTINUIDAD
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Definición : ¿ Cuál es su interés?
1. ( Sydsaeter,prob.1 pag150) ¿ Cuáles de las siguientes funciones del tiempo pueden ser continuas)
a. El precio de la onza de oro en el mercado de Zurich
b. La altura de un niño en la edad del crecimiento
c. La altura de un avión durante un vuelo
d. La distancia recorrida por un automóvil
- Condiciones:
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Debe existir f(a) [ f(x) debe estar definida en el punto a ]
Debe existir el limx→a f(x)
El limx→a f(x) = f(a)
2. Demostrar que el polinomio f(x) = 3x3-x + 5 es continuo en x =1
x 1
3. Demostrar que la función f(x) =
es continua en x=3. Determinar para qué valores la función es
x2
continua.
4. ¿Para qué valores de la constante a la siguiente función es continua en todo punto? ( Sydsaeter)
{ ax x 4x3 1
2
F(x) =
x 1
x 1
- Continuidad en un intervalo abierto
- Continuidad global (intervalo cerrado)
- Continuidad lateral
5. Analícese la continuidad de la función f(x) =
x2
x3
a. en el intervalo abierto -2 <x <3
b. y en el cerrado -2 ≤ x ≤3
EJERCICIOS PARA RESOLVER INDIVIDUALMENTE
1. ¿Para qué valor de la constante a es continua la siguiente función?
F(x) =
{ x ax 3x5 4
2
x 1
x 1
2. ¿Es continua la función f(x) =
x en su dominio?
De exámenes
3. Sea f(x) continua en el intervalo (0,2) y sea g(x) = x2+x-2. Entonces con toda seguridad, la función f(x) /
g(x) es:
a. Es continua en el intervalo (0,2)
b. Es continua en el intervalo (1,2)
c. Es discontinua en algún punto del intervalo (-1,0)
4. Obtener los valores de las constantes a y b de modo que f sea continua.
 1
 1
F(x) = 
 ax  b
  5b
si
x0
si 0  x  1
si
x 1
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
TEOREMA 1
Si f y g son dos funciones continuas en el punto a , se cumple,
1. f+g es continua en a
2. f.g es continua en a
3. │f│es continua en a
4. Si g(a) # 0 entonces f(x) / g(x) es continua en a
5. [ f(x) ]p/q es continua si [ f(a) ]p/q está definida.
6. [ f(x) ]g(x) es continua en el punto si [ f(a) ]g(a) está definida en el punto a
TEOREMA 2: (Composición de funciones continuas) Si g es una función continua en a y f es una función
continua en g(a), entonces f  g es continua en a
TEOREMA 3: Sea f continua en a, entonces f está acotada en un entorno de a.
DISCONTINUIDAD
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Definición
Una función puede ser discontinua en un punto por:
o No coincidir el límite con el valor de la función
o No estar definida la función en el punto.
o No existir límite finito en dicho punto.
- Tipos de discontinuidad:
o Discontinuidad evitable: limx→a f(x) = L pero L# f(a) ( Cuando
existe el límite pero no coincide con el valor de la función en el
punto, ya sea porque son valores distintos o porque no existe f(a))
o Discontinuidad de salto o primera especie:
 Existen los límites laterales, pero no coinciden
 De salto finito: limx→a+ f(x) = L1 y limx→a- f(x) = L2 ;
L1≠L2 ( Cuando existe el límite por la derecha y por la
izquierda, siendo ambos finitos, pero no coinciden)
El salto es la diferencia entre los límites laterales
 De salto infinito: No existe el límite de f en a y algún
límite de f en a es infinito.( Cuando alguno de los límites
laterales o ambos no es finito)
o Discontinuidad de segunda especie: No existe alguno de los dos
límites laterales. Ni existe límite, finito o no, ni existen límites
laterales, finitos o no.
EJERCICIOS
1. Estudiar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indicar de qué tipo son:
x2 1
a. F(x) =
x 1
b. F(x) =
c.
x2
si 0  x  1
0
si 1  x  2
{
3x  1 si 2  x  3
x 1
x 1
x 1
F(x) = {
1
x 1
8x
x  32
F(x) = {
x4
2
d.
e.
x8
x8
1

x 1
x   ,1
 e
 x2  1
f ( x)  
x   1,0 
x

log(x  1) x  0,

TEOREMAS DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
TEOREMA DE BOLZANO: “Si la función f(x) es continua en el intervalo [a,b] y en los extremos de a y b
toma valores de signo contrario , entonces se anula en algún punto del interior del intervalo”
.
TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO: (Corolario al teorema de Bolzano) Si la función f(x) es continua en
el intervalo [a,b] y c es un valor intermedio entre f(a) y f(b), entonces f(x) toma el valor c en algún punto del
intervalo.
TEOREMA DE WEIERSTRASS (existencia de máximo o mínimo): “Si la función f(x) está definida en el
intervalo [a,b] y es continua en dicho intervalo, entonces alcanza en el mismo su valor máximo global y su
valor mínimo global.”
Ejercicios:
1. Demuéstrese que la ecuación ex = x2 admite al menos una raíz real.
2. Prueba que la función y= x4-2x3-5 corta al eje OX en el intervalo ( -2,-1). Después busca la solución,
aproximándote mediante intervalos.
3. Comprobar que la ecuación x7+3x+3 = 0 tiene una solución ÚNICA real.
4. Dada la función f(x) = x3+x-5 , prueba que existe un valor c  (1,3) tal que f ( c ) = 20
Ejercicios para realizar individualmente:
1. Comprobar que la ecuación ex+2x= 0 tiene una única solución real.
1
2. Encuentra una solución aproximada para la ecuación: x2-x-1=
x 1
3. Indica cuál de las siguientes ecuaciones tiene solución:
a. ex+ x = 0 ( representa gráficamente f(x) = ex y g(x) = -x)
b. ex- x = 0 ( representa gráficamente f(x) = ex y g(x) = x)
4. La ecuación x3- 3x +p = 0 tiene una solución en el intervalo [ -1,1]:
a. Si -2 <p<2
b. Para cualquier valor de p
c. Ninguna de las anteriores
5. La función f(x) = x3-3x2+p toma el valor
a. Cualquiera que sea el valor de p
b. Si p = 5
c. Ninguna de las anteriores
2 en algún punto del intervalo [ 1, 2 ]