serfour

Serie y transformada de Fourier
1. Introducción
2. Serie de Fourier
3. Funciones Periódicas
4. Relaciones de Ortogonalidad
5. Serie Senos y Cosenos
6. Transformada de Fourier
7. Propiedades de La Transformada de Fourier
8. Interpretación de la Transformada de Fourier
9. Conclusión
10. Bibliografía
11.
Anexos
Introducción
Si no tienes unas nociones previas, puede ser complicado comprender el concepto
de "representación en frecuencia de una señal". Básicamente la Transformada de Fourier se
encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de
donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal.
Estudiaremos a lo largo de este trabajo la Serie de Fourier, Ejercicios referentes al seno y
coseno , las Transformadas de Fourier, propiedades e interpretación.
SERIE DE FOURIER
Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar
por la serie trigonometrica
f (t ) 

1
a 0  a1 cos 0t  a 2 cos 2 0t  ...  b1 sen 0 t  b2 sen2 0 t  ...
2

1
a 0   (a n cos n 0 t  b2 senn 0 t )
2
n 1
donde 0=2/T.
Una serie como la representada se llama serie trigonometrica de Fourier. Esta serie
también se puede representar así:

f (t )  C0   C n cos(n0 t   n )
n 1

Ejemplo
1:
Deducir
la
f (t )  C0   C n cos(n0 t   n )
forma
de
n 1

1
a0   (a n cos n 0 t  b2 senn0 t ) y expresar Cn y n en términos de an t bn.
2
n 1
Se puede expresar así

an
bn
an cosn0 t  bn senn0 t  an2  bn2 
cosn0 t 
 a2  b2
an2  bn2
n
 n




se utiliza la entidad trigonométrica
an cosn0 t  bn senn0 t  Cn (cos n cosn0 t  sen n senn0 t )
 Cn cos(n0 t   n )
donde
C n  a n2  bn2
an
cos  n 
sen  n 
a b
2
n
2
n
bn
a  bn2
2
n
por consiguiente,
tan n 
bn
an
ó
 bn
 an
 n  tan 1 



También si se hace
Cn 
1
a0
2
2
Se Obtiene
f (t ) 


1
a0   (an cosn0 t  b2 senn0 t )  C0   Cn cos(n0 t   n )
2
n 1
n 1
Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la
función como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La
componente senosiudad de frecuencia n  n0 se denomina la enésima armónica de la
función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente
fundamental porque tiene el mismo período de la función y 0  2f 0  2 / T se conoce
como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes C n y los ángulos n se conocen
como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.
Funciones Periódicas
Una función periódica se puede definir como una función para la cual
f (t )  f (t  T )
(1.1)
para todos los valores de t. La constante mínima T que sastiface la relación , se llama
el período de la función. Mediante repetición de f (t )  f (t  T ) , se obtiene:
f (t )  f (t  nT ), n  0,1,2,...
En la siguiente función se muestra un ejemplo de una función periódica
Ejemplo 1: Encontrar el periodo de la función f (t )  cos
t
t
 cos
3
4
Si la función f(t) es periódica con un periodo T, entonces, de f (t )  f (t  T ) se tiene
1
1
t
t
cos (t  T )  cos (t  T )  cos  cos
3
4
3
4
3
puesto que cos( + 2 m)=cos  para cualquier entero m se tiene que
1
T  2m,
3
1
T  2n,
4
donde m y n son enteros, Por consiguiente T= 6m; cuando m = 4 y n = 3, se obtiene
el mínimo valor de T. (esto se puede ver mediante el procedimiento de ensayo y error). De
donde, T = 24
en general, si la función
f (t )  cos1t  cos2t
es periódica con período T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que
1T = 2nm
2T = 2mn
el cociente es
1 m

2 n
es decir, la relación 1 / 2 debe ser un numero racional.
Ejemplo 2: Decir si la función
periódica.
Aquí
f (t )  cos10t  cos(10   )t es una función
1  10 y 2  10   . Puesto que
1
10

2 10  
no es un número racional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga
f (t )  f (t  T ) por consiguiente f(t) no es una función periódica.
Ejemplo 3: Encontrar el periodo de la función
f (t )  (10cost ) 2
2
  (1  cos 2 )
Si aplicamos la identidad trigonométrica cos
1
2
se tiene
1
f (t )  (10 cos t ) 2  100 cos 2 t  100 (1  cos 2t )  50  50 cos 2t
2
4
Puesto que una constante y una función periódica de periodo T para cualquier valor de
T, el período de cos 2t es , se concluye que el periodo de f(t) es .
Demostrar que si f(t + T) = f(t), entonces.

a T / 2
a T / 2
T t

T
T /2
f (t )dt  
T / 2
f (t )dt,
t
f (t )dt   F (t )dt
0
Relaciones de Ortogonalidad
Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de Fourier
Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno

1
1
1
 2 sennx  senx  2 sen2 x  3 sen3x  ...
n 1
Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las
aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo distinto de teoría a
las familiares series de potencias.
De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en
cualquier intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las cuales es
continua y tiene derivada continua. Además, las únicas discontinuidades de F8x) y f’(x) son
discontinuidades de salto.
Ejemplo Funciones Ortogonales
Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1] puesto que
1
( x, x 2 )   xx 2 dx
1
1
  x dx
3
1

x4
4
1
1

1 1
 0
4 4
Conjunto Ortogonal de Funciones
Un conjunto de funciones {1(x), 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el
intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.
b
(n , m )   n ( x)m ( x)dx  0
a
(n  m).
5
se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son
idénticamente iguales a cero en [a,b].
Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil,
que se deducirá ahora. Suponga que {1(x), 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones
en el intervalo [a,b] y que

F ( x )   C n n ( x ) .
n 1
Se quiere obtener una formula para los coeficientes Cn en términos de f(x) y de las
funciones ortogonales n(x). Se selecciona un miembro del conjunto ortogonal, digamos,
n(x), y tome el producto interno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de

F ( x)   C n n ( x) por n(x), y se integra sobre el intervalo para obtener
n 1
b
( f ,  m )   f ( x) m ( x)dx
a
b

   c n n ( x)m( x)dx
a
 n 1


suponga que la integración y la suma se puede intercambiar para dar


( f , m )   cn  n ( x)m ( x)dx   C n (n ,m ) .
n 1
b
a
n 1
Pero , forma un conjunto ortogonal, de manera que (n, m) = 0 si n  m. Entonces se
convierte en
( f ,m )  cm (m ,m )
Teorema fundamental de una función por una serie de funciones ortogonales.
Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que

f ( x )   c n n ( x )
n 1
donde {n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b]. Entonces
( f ,n )
Cn 

( n ,  n )

b
a
f ( x) n ( x)dx
b

a
2
n
( x)dx
6
Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones técnicas que están más allá
del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se refieren a la convergencia de

F ( x)   C n n ( x) y a la demostración de que la suma y la integral se pueden
n 1

intercambiar. Además cuando se escribe
F ( x)   C n n ( x) , de hecho, no se requiere que
n 1
la serie converja a f(x) para toda x. Las condiciones suficientes para garantizar el intercambio

de Fourier del seno y del coseno, también se analizan en que sentido
F ( x )   C n n ( x )
n 1
es igual a f(x). Sólo se necesita la continuidad por las partes de f y las n para este teorema.
Serie Senos y Cosenos
Coeficiente de una serie de senos
Suponga que

f ( x)   sennx
n 1
Ejemplo: Se tiene que {sen nx: n  1} es un conjunto ortogonal de funciones en [0,].
Entonces se Obtiene

( f ( x), sennx)
cn 

( sennx, sennx)

f ( x) sennxdx
0


0
sen 2 nxdx

2


0
f ( x) sennxdx
ya que

( sennx, sennx)   sen 2 dx
0

1 1
nx 
  sennxcos nx  
n 2
2

x 0


2
Representación de una constante por una serie de senos
Exprese f(x) = 1 como una serie en términos del conjunto ortogonal de funciones {sen
nx : n  1} en [0, ].
7
0inpar
(1, sennx)
2 
2  cos nx 
cn 

1sennxdx  
 4
( sennx, sennx)  0

n 
par
 n
Así es
1
4

senx 
4
4
sen 3x 
sen 5 x  ...
3
5
Esta serie se puede expresar como

4
sen(2n  1) x
n 0 (2n  1)
1 
Serie de Fourier de cosenos
Suponga que se tiene una función f(x) definida en el intervalo [0,L]. Primero se
mostrará cómo construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en los valores de la serie
sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x) de cualquier manera fuera de este intervalo.
Con el fin de obtener una serie solo con términos de cosenos, se definirá una extensión
periódica par de f(x).
Teorema Serie Cosenos
Si f(x) es una función diferenciable por partes [0,L], la serie de Fourier de cosenos
para f(x) es

f ( x)  a0   a n cos
n 1
nx
L
donde
1 L
f ( x)dx,
L 0
2 L
nx
a n   f ( x) cos
dx
0
L
L
a0 
(n  1)
Ejemplo: Serie de Fourier de cosenos
Sea f(x) = x en [0, 2]. Encuentre la serie de Fourier de cosenos para f(x)
Se tiene, con L = 2 y f(x) = x
8
a0 
1 2
xdx  1
2 0
0 par
2 2
nx
4cos(n )  1 
a n   x cos
dx 

8
2 0
2
 2 2 inpar
n 2 2

 n
Entonces
8
(2n  1)n
cos
2 2
2
n 0 (2n  1) 

f ( x)  x  1  
Transformada de Fourier
La transformada de Fourier se emplea con señales periódicas a diferencia de la serie
de Fourier. Las condiciones para poder obtener la transformada de Fourier son (Condiciones
de Dirichlet):

Que la señal sea absolutamente integrable, es decir:

Que tenga un grado de oscilación finito.

Que tenga un número máximo de discontinuidades.
La transformada de Fourier es una particularización de la transformada de Laplace
con S=jw (siendo w=2*pi*f), y se define como:
Y su antitransformada se define como:
He mencionado al principio que la transformada de Fourier se usa con señales
aperiódicas. Con la invención de la función delta(t) a principios de este siglo es posible
calcular la transformada de Fourier de una señal periódica:
9
Sabiendo que
Y
que
la
transformada
de
Fourier
tiene
la
propiedad
de
dualidad:
Obtenemos que
De esta forma, podemos calcular la transformada de Fourier de cualquier señal
periódica x(t) de potencia media finita, esto es:
Ya que
Luego para una x(t) periódica se cumple que:
Ejemplo: Si f(t) es real, demostrar que su espectro de magnitud
F () es una
función par de  y su espectro de fase () es una función impar de 
Si f(t) es real, entonces, se tiene
10
F ( )  F * ( )
F * ( )  F ( ) e  ( )
F ( )  F ( ) e j (  )
F ( ) e j (  )  F ( ) e  j ( )
F ( )  F ( )
 ( )   ( )
Propiedades de La Transformada de Fourier
En efecto
Hito 1.
Hito 2.
Donde,
11
.
Tenemos dos casos posibles
Si r=s entonces
Si
entonces
12
Por tanto
Así que
13
Hito 3. Fn es simétrica
Conclusión:
La fórmula
La llamaremos la Transformada Discreta Inversa de Fourier
Hito 4.
En efecto
14
Hito 5.
En efecto
15
Una función
es absolutamente integrable si
.
El conjunto de funciones absolutamente integrables forma un espacio vectorial
, con
las operaciones definidas ``punto-a-punto'', el cual es un espacio de Banach con la norma
La transformada de Fourier es un operador
,
para cada
se tiene
El espacio
consta de las funciones cuadráticamente integrables:
, donde
y es un espacio de Hilbert con el producto
interno
16
el cual determina a la norma
transformada de Fourier:

. Se tiene las propiedades siguientes de la
.

.
La transformada inversa de Fourier es también un operador
, donde para cada
,
se tiene
El adjetivo ``inversa'' está justificado por las siguientes relaciones de inversión:



.
.
.
Propiedades suplementarias de la transformada de Fourier son las siguientes:
aquí
es la k-ésima derivada de f y
cumplen los importantes Teoremas de Convolución:
Además se
17
donde
así como también la identidad de Parseval:
Algunos ejemplos de transformadas son los siguientes:
Interpretación de la Transformada de Fourier
Si se supone que f(t) es periódica con periódo T, entonces f(t) se puede expresar
como
f (t ) 

c e
m  
n
jn0t
0 
2
T
18
donde
cn 
1
T

T /2
T 72
f (t )e  jn0t dt
si ahora se considera que a medida que T  , 0   = 2f, f = 1/T, entonces se
convierten respectivamente, en

c e
f (t ) 
n  
c n  f 
f ( n )T
n
T /2
T / 2
f (t )e  j ( n )t dt
Siguiendo un argumento similar al utilizarlo en la derivación, se observara que si
  0, n   tal que n   . En otros términos, en el limites en ve de tener
armónicos discretos correspondientes a n0 , todo valor de  es permitido. De es manera, en
vez de Cn se tiene C() se tiene que:
lim
f 0

c( )
  f (t )e  jet dt  F ( )

f
Según se observa que
F ( )df  c( )
o, puesto que  = 2f, se tiene
1
F ( )d  c( )
2
entonces se convierte en
f (t )  



1
2



1
F ( )de jt
2
F ( )e jt d
Esta ecuación muestra que
1
 F ( ) d representa la magnitud infinitesimal de un
2
armónico a la tienen frecuencias fundamental cero (w0  d) y están separados por
infinitésimos. Aunque
F () d es infinitesimal. F() es finito; por esta razón a la grafica
F () vs.  se le denomina espectro continuo y a F () se le denomina generalmente ,
19
espectro de magnitud de f(t).
La representación anterior de una función periódica como una suma de exponenciales
con la frecuencia fundamental teniendo a cero, no es un concepto fácil de aceptar.
A veces la interpretación que sigue del par de transformadas de Fourier será más
directa y de mayor significados.
20
CONCLUSIÓN
La integral impropia que aparece en estos coeficientes (conocida como la
transformada de Fourier), resulta ser de gran importancia en el análisis de Fourier y en las
múltiples aplicaciones de esta rama de la ciencia. Solo por mencionar algunas, digamos que
la transformada de Fourier se aplica en el estudio de señales y sistemas, así como en óptica;
aparece en los aparatos sofisticados modernos como los que se usan para tomar una
tomografía, también surge en las técnicas analíticas como la resonancia magnética nuclear,
y en general, en todo tipo de instrumentación científica que se use para el análisis y la
presentación de datos.
BIBLIOGRAFÍA

SERIE Y TRANSFORMADA DE Fourier.

www.monografias.com

www.google.com
21
Anexos
22
TABLA DE ALGUNAS TRANSFORMADAS DE FOURIER
23
24