Relación Derivabilidad

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.
Relación Derivabilidad.
I.E.S. Guadalquivir.
Lora del Río.
1. Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos
 3,1, 0,2, 2,5, 1,1  h
b) f x   3
c) f  x   7 x  5
a) f x  x 2  1
d ) f x   2 x
2. Halla la T.V.M. de la función f x   x 2  5x  3 en el intervalo 2,2  h y, con el
resultado obtenido, calcula f 2 .
3. Una piscina se vacía según la función V  t 2  10t donde V es el volumen
expresado en m 3 y t el tiempo en minutos. Halla la velocidad media de vaciado
de la piscina en el intervalo de tiempo 2, 10 .
4. Se ha lanzado verticalmente hacia arriba una piedra. La altura en metros
alcanzada al cabo de t segundos viene dada por la expresión:
e  f t   2t 2  20t
a) Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = 5.
b) ¿En algún momento la velocidad de la piedra ha sido de 15 m/s? Si es así, ¿ a qué
altura sucedió?
5. Usando la definición de derivada calcula f 3 en las siguientes funciones:
2
3x  2
2 x
b) f x   x 2  4
c) f x  x  5
a) f x  
d ) f x  
7
x


6. Dada la función f x   3x  2 calcula la derivada en los puntos x0 =-1 y x0=2.
7. Calcula la derivada de la función f x  x 2  2x  3 en los puntos de abscisa -2 y
1.
2
8. Siendo f  x  
calcula D f 2
x3
9. Estudia la derivabilidad de la siguiente función en el punto de abscisa que se
indica:
 x 2  2 x si x  1
 x 2  3 x si x  3
a) f x   
x0  1
c) f  x   
x0  3
x

2
si
x

1
3
x

9
si
x

3


 x2
si
b) f  x   
3x  2 si
x2
x2
x0  2
 x 2  2 x si
d ) f x   
 2 x  4 si
x2
x2
x0  2
10. Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos
que se indican:
3x  1 si
a) f x    2
 x  x si
 x 2
b) f  x    2
 x
x 1
x 1
si
x0
si
x0
x 1
2 x  1 si
c) f  x    2
 x  4 si
x3
x0
3x  2 si
d ) f x   
 3x  1 si
x2
x3
x2
x3
x2
lnx  1 si
11.Comprueba que f es continua pero no derivable en x = 2 f x   
 3x  6 si
x2
x2
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0

12.Considera la función: f  x    x 2
x

si
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x0
si 0  x  1
si
x 1
a) Estudia su continuidad.
b) Estudia su derivabilidad.
13. ¿ En qué puntos no son derivables las siguientes funciones :
b) f x  2x  3
a) f x   x 2  4
 x 3  x si x  0
14.Calcula a y b para que la función sea continua y derivable f x   
ax  b si x  0
15.Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R
 ax2  3x si x  2
f x    2
 x  bx  4 si x  2
16.Calcula las rectas tangentes a las siguientes funciones en el punto de abscisa x = 1
1
a) f x  x 2  5x  1
c) f x   x 2  5
b) f  x  
x
17.Halla el punto ( puntos ) en el que la recta tangente a la curva y  x 3  3x  1 es
paralela al eje OX, y encuentra la ecuación de esa ( esas ) rectas.
18. Halla un punto de la gráfica de y  x 2  x  5 en el cual la recta tangente sea
paralela a la recta y  3x  8
 x2  x
si x  0
19.Una función está definida de la siguiente forma f x    2
Halla
 x  ax  b si x  0
a y b para que la función sea continua y derivable en x = 0.
20.Calcula los valores que deben tomar los parámetros a y c para que la función sea
ax 2  c si x  1
derivable en x = 1: f  x   
Da, en ese caso, la ecuación de la recta
si x  1
 ln x
tangente a la gráfica de f en x = 1.
21.Dada la función f x  2 x 2  3x calcula su función derivada, aplicando la definición.
 x  6 si x   6,3

si x   3,3 . Halla el conjunto de puntos
22.Representa la función f  x    3
6  x si
x  3,6

donde está definida la derivada y obtenla.
23.Dada la función f x   2x 4 calcula, usando la definición de derivadas, sus derivadas
sucesivas.
24.
De
un
polinomio
de
tercer
grado
p(x
)
se
sabe
que
p1  0, p1  2, p1  4, p1  12 . Calcula p(2).
25.Se sabe que el crecimiento de bacterias en cierto cultivo preparado en un
1000 t  50
laboratorio viene dado por: N t  
siendo t el tiempo en horas y N el número
100  t 2
de bacterias al cabo de t horas.
a) Halla la variación media del número de bacterias entre los instantes t= 2 horas y
t = 5 horas.
b) Halla la velocidad de crecimiento de esta población de bacterias.
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26.El volumen de ventas de ordenadores de un gran centro comercial y en una
determinada época del año, en función del tiempo en días, viene dado por
y  2t 2  80t  760
a) Halla la variación instantánea al cabo de 2, 10 y 2 días.
b) ¿En qué momentos aumenta el número de ventas y en cuáles disminuye?
27.En un laboratorio depositamos en un producto una colonial inicial de 4000 hongos.
La función que nos da el número de hongos en la colonia en función del tiempo que
transcurre, en días, es f t   4000 3t . Calcula:
a) El número de hongos existentes en la colonia al cabo de 5 días.
b) La tasa de variación instantánea o velocidad instantánea de crecimiento de la
colonia al cabo de 5 días.
c) ¿ En qué momento la velocidad instantánea de crecimiento es de 9610660,3
hongos / día?
28.Se ha investigado el tiempo ( T, en minutos ) que se tarda en realizar una prueba de
atletismo en función del tiempo de entrenamiento ( x, en días ):
300

si 0  x  30

x

30
T x   
1125
 2 si
x  30

  x  5   x  15
a)Estudia la continuidad y derivabilidad de T
b) ¿Algún deportista tardará más de 10 minutos en finalizar la prueba?
29.La función f t   2.1t 2  0.8t  1 , para 0  t  9 , en la que el tiempo está expresado
en años, proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entre los años
1996 ( t=0) y 2005 ( t=9 ). Averigua la tasa de variación media del beneficio de la
empresa en los últimos dos años.
30.Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) f x   7 x 2  8 x  9
e) f  x   e 3 x  4
b) f  x   5 x 5  3 x 4  x 2  3 x  1
f ) f x   2  x 3
x2
 7x
5
3
d ) f x   x 9  x 2  2 x
5
g ) f x   x 2  4
c) f  x  
h) f  x   5 x  1
i) f x   x 3  6 x  2
j ) f x   5e 3 x 1  x 2
31.Deriva las siguientes funciones:

b) f  x   x
a) f x   1  x 3
2

4
 3x
c) f  x   8 x  7 
d ) f x  
x3
x  12

3
20
e) f  x  
x
2 x  1
f ) f x   e 4 x   x  1
2

1  x
g ) f x  
h) f  x   e
3
e
x
x 2 1
k ) f x  
x
x 1
x 1
l ) f x  
x
x2  3
m) f  x   2
x 3
1 x2
n) f  x   2
x  4x  4
i ) f  x   ln2 x  1


j ) f  x   ln x 2  1
k ) f  x   L5 x  6 
l ) f x  
1
x2
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32. Deriva las siguientes funciones:
f ) f  x   tg  x  1
a) f x   sen3x
l ) f x  
g ) f x   cos 2 x  1
b) f x   senx
3
3
c) f x   sen2 x  cos5 x 2
h) f x   e 2 x  sen2 x  1
d ) f x   cos 5 x 2  3x
i) f x   e  x

e) f x   sen x  1

2
1
x
m) f  x   arctg2 x  1
n) f  x   arctg x  1
x
ñ) f  x   arctg
2
 senx  1
j ) f x   5  cos5 x  1
2
k ) f  x   senx  cos x 
2
33. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
2
f ) f x   5e x 3 x
a) f x   5 7 x 2
b) f  x   x 3  2 x 
3
x
2
c) f  x   sen x  5 x  1


d ) f  x   cos x  5 x  1
2
e) f  x   senx

g ) f x   ln x 3  5 x 2
h) f x   lnln x 
i) f x   3

x

l ) f  x   sen 2 x  cos2 x  x
m) f  x   sen x  1  cos x  1
n) f  x   e 7 x 1  cos2 x  1


ñ) f  x   x 3  7 x  ln x  2 
x

j ) f x   x 2  x  senx
4
o) f  x   x  e
2
x
cos 2 x
 1  senx 
p) f x  
k ) f x   ln

3
 1  senx 
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f x  x 3  6x 2 .
Dada la función f x   x 3  6 x 2  5 averigua donde crece y donde decrece.
Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función: f x  x 3  3x 2  9x  5
Determina los extremos relativos de la función f x  x 3  3x .
Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado ( en miles de
personas ) por la función sx  2x 3  15x 2  24x  26. donde x indica el número de años
desde la última remodelación.
a) ¿ Qué número de socios hay nada más hacer la remodelación?
b) Halla el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios.
c) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indica razonadamente si esta
remodelación tuvo éxito o no.
La función de coste total de la producción de x unidades de un determinado producto
es:
1
C  x   x 2  3 x  200 Se define la función de coste medio por unidad como :
2
C x 
Qx  
¿ Cuál debe ser la producción para que sea mínimo el coste medio por
x
unidad?
Estudia la curvatura de la función f x  x 3  3x 2 .
Estudia la curvatura de las siguientes funciones:
a) f x  3x 4  8x 3  5
b) f x  x 3  6 x 2  9 x
Halla los puntos de inflexión y estudia la concavidad de estas funciones:
x
a) f x  x 4  6x 2
b) f  x   x
e
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5
Dada f x  1  2  x , comprueba que f 2  0, f 2  0 y f 2  0 . ¿ Tiene f
máximo, mínimo o punto de inflexión en x = 2?
Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones:
1
e) f x   e x x  1
a) f x   x 3  3x 2  9 x  22
c) f  x   2
x 1
b) f  x   x 4  2 x 3
d ) f x   x 4  2 x 2
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento e indica los máximos y mínimos
relativos:
1
x2
2x  3
x2 1
a) f x   2
b) f  x   2
c) f  x  
d ) f x  
x 4
x 1
x 1
x
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento e indica los máximos y mínimos
relativos:
8  3x
x2 1
x3
2 x 2  3x
a) f x  
b) f  x   2
c) f  x   2
d ) f x  
x x  2 
x 1
x 1
2 x
Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de:
2 x
a) f x  x 3  3x  4 b) f x  x  24
d ) f x  xe x
c) f x  
x 1
Estudia si las siguientes funciones tienen máximos, mínimos o puntos de inflexión en x
= 1:
3
4
6
b) y  2  x  1
a) y  1  x  1
c) y  3  x  1
Una empresa quiere producir Ct   200 10t unidades de un producto para vender a
un precio pt   200 2t euros por unidad, siendo t el número de días desde el inicio
de la producción.
a) Calcula el beneficio si t =10.
b) Escribe, dependiendo de t, la función beneficio 0  t  60
c) Determina cuándo el beneficio es máximo.
Una discoteca abre a las 10 de la noche y cierra cuando se han marchado todos sus
clientes. La expresión que representa el número de clientes en función del número de
horas que lleva abierta, t, es N t   80t  10t 2 .
a) ¿A qué hora el número de clientes es máximo?¿Cuántos clientes hay en ese
momento?
b) ¿A qué hora cerrará la discoteca?
Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales ( en
miles de euros) dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento ( n ) de
acuerdo con la expresión Bn  8n 3  60n 2  96n
Determina razonadamente;
a) El número máximo de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios
semanales.
b) El valor de dichos beneficios máximos.
Una feria ganadera permanece abierta al público desde las 10 hasta las 20 horas. Se
sabe que el número de visitantes diarios viene dado por:
2
N t   20 A  t   B, 10  t  20 Sabiendo que a las 17 horas se alcanza el número
máximo de 1500 visitantes, determina el valor de A y B.
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El número de vehículos que ha pasado cierto día por el peaje de una autopista viene
  t  3 2
  2 si 0  t  9


3 
dado por la función N t    
donde N indica el número de
2
t

15


10  
 si 9  t  24

 3 
vehículos y t el tiempo transcurrido en horas desde las 0:00 h.
a) ¿ Entre qué horas aumentó el número de vehículos que pasaba por el peaje?
b) ¿A qué hora pasó el mayor número de vehículos? ¿Cuántos fueron?
Un artículo ha estado 8 años en el mercado. Su precio P(t), en miles de euros, estaba
relacionado con el tiempo, t, en años, que este llevaba en el mercado por la función
2

si 0  t  2
 4t  4
Pt    5 2
 t  25 si 2  t  8

 2
a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de P( t )
b) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo?
c) ¿Cuál fue la tasa de variación media del precio durante los últimos 6 años?