Relación Derivabilidad 2

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.
Relación Derivabilidad.
I.E.S. Guadalquivir.
Lora del Río.
34.Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f x  x 3  6x 2 .
35.Dada la función f x   x 3  6 x 2  5 averigua donde crece y donde decrece.
36.Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función: f x  x 3  3x 2  9x  5
37.Determina los extremos relativos de la función f x  x 3  3x .
38.Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado ( en miles de
personas ) por la función sx  2x 3  15x 2  24x  26. donde x indica el número de años
desde la última remodelación.
a) ¿ Qué número de socios hay nada más hacer la remodelación?
b) Halla el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios.
c) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indica razonadamente si esta
remodelación tuvo éxito o no.
39.La función de coste total de la producción de x unidades de un determinado
producto es:
1
C  x   x 2  3 x  200 Se define la función de coste medio por unidad como :
2
C x 
Qx  
¿ Cuál debe ser la producción para que sea mínimo el coste medio por
x
unidad?
40.Estudia la curvatura de la función f x  x 3  3x 2 .
41.Estudia la curvatura de las siguientes funciones:
a) f x  3x 4  8x 3  5
b) f x  x 3  6 x 2  9 x
42.Halla los puntos de inflexión y estudia la concavidad de estas funciones:
x
a) f x  x 4  6x 2
b) f  x   x
e
5
43.Dada f x  1  2  x , comprueba que f 2  0, f 2  0 y f 2  0 . ¿ Tiene f
máximo, mínimo o punto de inflexión en x = 2?
44.Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones:
1
e) f x   e x x  1
a) f x   x 3  3x 2  9 x  22
c) f  x   2
x 1
b) f  x   x 4  2 x 3
d ) f x   x 4  2 x 2
45.Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento e indica los máximos y
mínimos relativos:
1
x2
2x  3
x2 1
a) f x   2
b) f  x   2
c) f  x  
d ) f x  
x 4
x 1
x 1
x
46.Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento e indica los máximos y
mínimos relativos:
x2 1
x3
a) f x   2
b) f  x   2
x 1
x 1
47.Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de:
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a) f x  x 3  3x  4
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2 x
d ) f x  xe x
x 1
48.Estudia si las siguientes funciones tienen máximos, mínimos o puntos de inflexión
en x = 1:
3
4
6
b) y  2  x  1
a) y  1  x  1
c) y  3  x  1
49.Una empresa quiere producir Ct   200 10t unidades de un producto para vender
a un precio pt   200 2t euros por unidad, siendo t el número de días desde el inicio
de la producción.
a) Calcula el beneficio si t =10.
b) Escribe, dependiendo de t, la función beneficio 0  t  60
c) Determina cuándo el beneficio es máximo.
50.Una discoteca abre a las 10 de la noche y cierra cuando se han marchado todos sus
clientes. La expresión que representa el número de clientes en función del número de
horas que lleva abierta, t, es N t   80t  10t 2 .
a) ¿A qué hora el número de clientes es máximo?¿Cuántos clientes hay en ese
momento?
b) ¿A qué hora cerrará la discoteca?
51.Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales ( en
miles de euros) dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento ( n ) de
acuerdo con la expresión Bn  8n 3  60n 2  96n
Determina razonadamente;
a) El número máximo de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios
semanales.
b) El valor de dichos beneficios máximos.
52.Una feria ganadera permanece abierta al público desde las 10 hasta las 20 horas.
Se sabe que el número de visitantes diarios viene dado por:
b) f x  x  2
4
c) f x  
2
N t   20 A  t   B, 10  t  20 Sabiendo que a las 17 horas se alcanza el número
máximo de 1500 visitantes, determina el valor de A y B.
53. Una cadena local de televisión ha determinado, por medio de encuestas, que el
porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de larde y las 12 de la noche viene
dado por la siguiente función: S t   660 231t  27t 2  t 3 donde t indica las horas
transcurridas desde las 12 en punto denla mañana. Dibuja la gráfica de la función para
t comprendido entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche.
54.En los seis primeros meses desde que abrió, una librería ha anotado el número de
1000 x  600
compradores cada mes. Dicho número N viene dado por la función N x  
,
x
donde x es el número de compradores en el futuro.¿Podemos asegurar que dicho
número siempre irá en aumento?
55.El número de vehículos que ha pasado cierto día por el peaje de una autopista
  t  3 2
  2 si 0  t  9


3 
viene dado por la función N t    
donde N indica el número
2
t

15


10  
 si 9  t  24

 3 
de vehículos y t el tiempo transcurrido en horas desde las 0:00 h.
a) ¿ Entre qué horas aumentó el número de vehículos que pasaba por el peaje?
b) ¿A qué hora pasó el mayor número de vehículos? ¿Cuántos fueron?
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56.Un artículo ha estado 8 años en el mercado. Su precio P(t), en miles de euros,
estaba relacionado con el tiempo, t, en años, que este llevaba en el mercado por la
función
2

si 0  t  2
 4t  4
Pt    5 2
 t  25 si 2  t  8

 2
a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de P( t )
b) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo?
57. Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones con los ejes:
b) f x  x 3  4x 2  x  4 c) f x  x 4  8x 2  7 d ) f x  3x  7
x 2  81
a) f x  
x7
58. Construye la gráfica de una función que cumpla:
 El dominio sea todos los números reales.
 Corte al eje X en los puntos x=1 y x=-4.
 Tiene una asíntota vertical en la recta x= -2
 La recta y =2 es una asíntota horizontal cuando x tiende a + infinito.
 Tiene una rama infinita en – infinito.
59.Representa las siguientes funciones:
c) f x  x 4  8x 2  7 b) f x  x 3  4x 2  x  4 c) f x  x 3  3x d ) f x   3x 4  4 x 3  36x 2
60.Halla las asíntotas y las ramas asintóticas de las siguientes funciones:
3x 2
x 4
x2  9
x 1
c) f x   2
e) f  x  
g ) f x   2
a) f x  
x 1
x 1
x
x  16
2
4
1
x
6x  x
b) f  x   2
f ) f x   5  2
d ) f x  
x  2x  3
x 4
5
x2
determina dominio, crecimiento y decrecimiento,
x2 1
extremos relativos, curvatura, corte con los ejes, asíntotas y represéntala gráficamente.
61.Dada la función f x  
62.Dada las siguientes funciones estudia su dominio, puntos de corte con los ejes,
asíntotas y monotonía y represéntalas gráficamente:
x 1
2x  1
x
x3
a) f x  
c) f x  
d ) f x  
b) f  x  
x2
x
x2
1 x2
63.Estudia las características de las siguientes funciones definidas a trozos y dibújalas:
si x  1
 x4
 x  2 si x  2
a) f x    2

c) f x    x  3 si x  2
 x  6 x  8 si x  1
 3
si x  2
si x  0
 2x  2

b) f  x    2
 x 2  3x  2 si
x0
 x  3 x  2 si x  0

d ) f x   
2
si 0  x  1
 x 2  4 x  5 si
1 x

64.La variación del precio de un artículo viene dada por la siguiente función:
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t 2
  2 si 0  t  2
siendo t : años; y la función f t   cientos de euros.
f t    2
 5  t si 2  t  6
2

Representa la función y di cuándo alcanza el precio máximo.
65.El beneficio esperado por una empresa, en millones de euros, en los próximos ocho
años viene dado por la función B:
 t 2  7t si 0  t  5
donde t indica el tiempo transcurrido en años.
Bt   
si 5  t  8
 10
a) Representa gráficamente la función B y explica cómo es la evolución del
beneficio esperado durante esos ocho años.
b) Calcula cuando el beneficio esperado es de 11.25 millones de euros.
66. Un canal privado de televisión ha comprobado que durante los 75 minutos que duró
la retransmisión de un partido de tenis, el índice de audiencia fue variando según la
función: I t   At 2  Bt  C para 0  t  75 . Sabiendo que al inicio de la retransmisión el
índice de audiencia fue de 6 puntos y que a los 30 minutos se alcanzó el índice mínimo
de audiencia de 3 puntos, determina A, B y C.
67. Se quiere fabricar una caja de volumen máximo que sea el doble de larga que de
ancha y que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro.
Calcula las medidas que debe tener la caja y cual será su volumen.
68. Se desea delimitar una parcela rectangular que linda con la pared de una nave. Si
se dispone de 200 m de tela metálica para cercarla, ¿cuáles deben ser las dimensiones
de la parcela que tiene mayor superficie?
69. Dada la función f x  3x 2  6x  a . Calcula a para que el mínimo de la función sea
5.
70.Halla a y b para que la tangente a la gráfica de f x  ax2  b en el punto ( 1, 5) sea
y  3x  2
71.Halla a y b para que f x  ax3  3x 2  5x  b pasa por el punto ( 1, -3 ) y tenga un
punto de inflexión en x = -1.
72.Dada f x   ax3  bx calcula a y b sabiendo que su gráfica pasa por (1,1) y que en
ese punto la pendiente de la recta tangente es -3.
2
73.Dada la función f x  ax  1  bx calcula a y b para que la gráfica de f pase por
(1, 2) y tenga un extremo relativo en el punto de abscisas x = 2.
74.Halla a y b para que g x   x 3  ax2  b tenga un punto de inflexión en (2,5)