Clase integradora

TÓPICOS DE MATEMÁTICAS 1 (EPE)
CICLO 2005-2
CLASE INTEGRADORA 2
1. a) Dada la función f(x)=
1 4 2
(x -6x +8x) +5. Determinar los máximos y mínimos de f, los puntos de inflexión, las
4
concavidades y trazar la gráfica de f.
x
b) Dada la función f ( x)  e  e , determinar los máximos y mínimos de f, los puntos de inflexión, las
concavidades y trazar la gráfica de f.
c) Calcula el área del mayor rectángulo que se puede inscribir en un semicírculo de radio R.
x
2. Sea z  f(x, y) 
9  x 2  y 2 . Determine el dominio y grafique el mismo.
ln (x2  y 2  1)
3. Suponga que la temperatura en un punto (x,y,z) en el espacio está dada por: T x, y, z  
80
1  x  2 y 2  3z 2
2
donde T está medida en 0C , y x, y y z están en metros .
i) ¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura en el punto (1;-1; 2)?
ii) ¿Cuál es la mínima tasa de incremento?
4. a) Determine los extremos locales, si existen, de la función f(x,y)  x 3  y 3  3x 2  3 y 2  9x .
b) Encuentre los puntos críticos de
f x, y   xy 
4 2
 , y determine si corresponde a un máximo o a
x y
un mínimo, o a ninguno de los dos.
c) Determine los valores extremos de la función f(x,y,z) = xyz2 sujeta a la restricción: x-y+z = 20
d) Un fabricante produce tres tipos de llantas de automóvil que llamaremos A, B, C. Sean x, y, z el número
de llantas fabricadas diariamente de cada uno de los tipos A, B y C respectivamente. La utilidad en cada
llanta de tipo A es de 20 dólares, en las de tipo B es de 30 dólares, y en las de tipo C es de 50 dólares. El
número de llantas que se puede producir diariamente está sujeto a la restricción 2 x2 + y2 + 3 z 2 = 4350.
Determinar cuántas llantas de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad.
5. Encuentre el área de la región limitada arriba por
y  e x , abajo por y  x y a los lados por x  0, x  1.
y
x
6. Encuentre el área de la región sombreada en cada uno de los casos.
y=2x
y=(x-2)2-4
y=(x-2)2
y=x2
y
y
x
2
1
x2
yx
2
y
x
7. a) Dada la función f(x)=
1 4 2
(x -6x +8x)+5. Determinar los máximos y mínimos de f , los puntos de inflexión,
4
las concavidades y trazar la gráfica de f.
b) Dada la función f (x) = ex - ex , determine los valores extremos, los intervalos de concavidad y trace la
grafica.
c) Volumen máximo. Una fábrica de pinturas necesita almacenar los sobrantes en recipientes
cilíndricos. Para la fabricación de estos recipientes se emplean hojas rectangulares de metal con
perímetro de 4 m cada una, las cuales van a ser enrolladas para formar las caras laterales de los
recipientes cilíndricos. Hallar las dimensiones del recipiente que tenga el máximo volumen posible.
8.
a) Determine el dominio de la función
z  f(x, y)  9  x 2  y2  ln (y - x 2 ) analítica
gráficamente.
b) Determine si es verdadera o falsa la proposición . Justifique su respuesta.
y
El gradiente de la función f( x, y ) = ln(xy) + e x y es :
9. La temperatura en el punto (x,y) esta dada por
metros.
1
1
f ( x, y)  (  yexy ,  xexy )
x
y
2
2
T(x,y)=2000 e x 3y , donde T se mide en oC, y x, y en
i) Determine la razón de cambio de la temperatura en el punto P(2,-1) en la dirección hacia el punto(6,-4).
ii) ¿En qué dirección se incrementa con mayor rapidez la temperatura en P?
iii) Evalúe la razón máxima de cambio en P.
10. Determine los extremos locales, si existen, de la función:
a) f(x,y)  x 3  y 3  3x 2  3 y 2  9x .
b) f(x,y) = xy +
4 2
 .
x y
11. a) Un vendedor de carnes frescas puede vender x kilos de carne de cerdo a p soles el kilo e y kilos de
filete de res en q soles el kilo, en donde:
x = 60 + 4q - 10p ,
y = 12 + 5p -3q
¿Qué precios por kilo de carne de cerdo y filete de res debería fijar la compañía a fin de maximizar su
ingreso?
b) Calcule las dimensiones de una caja rectangular con volumen máximo, tal que la suma de las longitudes de
sus 12 aristas sea 36 m.
12. a) Halle los puntos críticos de la siguiente función f(x,y) = 2x 2+2y2-ln(xy2) y pruebe si cada uno de ellos
es un máximo o mínimo local.
b) Calcule las dimensiones de una caja rectangular con volumen máximo, tal que la suma de las
longitudes de sus 12 aristas sea 36 m.
13. a) Determine los máximos o mínimos locales de la función:
f (x,y) = x3-3xy2 +y3
b) Determine las dimensiones de una caja rectangular con el máximo volumen , si la superficie total
deberá ser de 64cm2.
14. Volumen máximo. Una fábrica de pinturas necesita almacenar los sobrantes en recipientes cilíndricos.
Para la fabricación de estos recipientes se emplean hojas rectangulares de metal con perímetro de 4 m
cada una, las cuales van a ser enrolladas para formar las caras laterales de los recipientes cilíndricos.
Hallar las dimensiones del recipiente que tenga el máximo volumen posible.
15. Encuentre los puntos críticos de f(p,q) = 25q(1-e-p) -50p -q2 , y determine si corresponde a un máximo o a
un mínimo, o a ninguno de los dos.