ACGS_Mat_u3_ejerSol

MATEMÁTICAS
Unidad 3. Trigonometría.
SOLUCIONES
1.- Calcular las razones trigonométricas de un ángulo A del segundo cuadrante si se sabe
que sen A = 1/3. Razonar la respuesta.
Si utilizamos la relación fundamental sen2 A + cos2 A = 1 se puede obtener el coseno.
2
1
2
   cos A  1
3
 
Es decir: cos A  1 
1

9
8
9
Como el ángulo es del segundo cuadrante el coseno será negativo: cos A = -
8
3
Para calcular la tangente se utiliza la otra relación fundamental entre razones:
tg A 
sen A
cos A
Si sustituimos los valores del seno y del coseno y teniendo en cuenta que el ángulo es del
segundo cuadrante se obtiene:
tg A 
1 8
1
:

3 3
8
2.- Hallar el seno y el coseno de un ángulo del cuarto cuadrante cuya tangente vale -7.
Razonar la respuesta
Para resolver este ejercicio planteamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
x  sen A
y  cos A
Teniendo en cuenta que sen2 A + cos2 A = 1 se tiene que x2 + y2 = 1
Teniendo en cuenta que tg A =
x
sen A
se tiene que
= -7
cos A
y
Por tanto hay que resolver el sistema no lineal:
x 2  y 2  1

x
 y  7

De la segunda ecuación se obtiene que x = -7 y sustituyendo en la primera se tiene:
49 y 2  y 2  1
50y 2  1
y
1
 0,1414
50
De las dos soluciones tomamos la positiva, ya que el enunciado dice que el ángulo es del cuarto
cuadrante y, por tanto, tiene que tener el coseno positivo. Por tanto:
cos A = 0,1414
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Unidad 3. Trigonometría.
Como x = -7 y se tiene que:
sen A = -0,9899
3.-Sabiendo que tg  = 2 y que  <  < 3/2 . Calcular las restantes razones
trigonométricas de  y las del ángulo doble (2)
Para resolver este ejercicio planteamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
x  sen 
Teniendo en cuenta que
sen2
y  cos 
+
Teniendo en cuenta que tg  =
cos2
=1
se tiene que
x2 + y2 = 1
sen 
x
se tiene que = 2
cos 
y
Por tanto hay que resolver el sistema no lineal:
x 2  y 2  1

x
 2
y
De la segunda ecuación se obtiene que x = 2·y , si se sustituye en la primera se tiene:
4 y2  y2  1
5y 2  1
y
1
 0,4472
5
De las dos soluciones tomamos la negtiva, ya que el enunciado dice que el ángulo es del tercer
cuadrante ( <  < 3/2) y, por tanto, tiene que tener el coseno negativo. Por tanto:
cos  = - 0,4472
Como x = -7·y esto implica que:
sen  = -0,8944
El seno también es negativo ya que el ángulo es del tercer cuadrante.
Para calcular las razones del ángulo doble obtenemos en primer lugar el ángulo 
arc tg (2) = 63´43º .
Pero este es un ángulo del primer cuadrante, el ángulo del tercer cuadrante que tenga la misma
tangente será el simétrico, es decir,
180º + 63´43º 243´43º .
Por tanto el ángulo doble será:
486´86º .
y con la calculadora se obtienen sus razones trigonométricas:
sen 486´86º = 0´8
cos 486´86º = - 0´6
tg 486´86º = - 1´334
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Unidad 3. Trigonometría.
4.- Calcula los lados no conocidos (x e y) de los siguientes triángulos:
a)
x
4m
30o
y
Para el cálculo de x se utiliza la fórmula del seno que nos relaciona el cateto opuesto del ángulo y
la hipotenusa. Así quedaría:
Sen 30º =
4
x
si de esta expresión se despeja x y se sustituye sen 30º por su valor quedaría:
x=
4
4
=8m

sen30º 0,5
Para el cálculo de y se utiliza la fórmula de la tangente que nos relaciona el cateto opuesto del
ángulo y el cateto contiguo. Así quedaría:
tg 30º =
4
y
si de esta expresión se despeja la incógnita y se sustituye tg 30º por su valor quedaría:
y=
4
4
= 6,928 m

tg 30º 0´577
b)
20º
12 m
x
y
Para el cálculo de x se utiliza la fórmula del coseno que nos relaciona el cateto contiguo del ángulo
y la hipotenusa. Así quedaría:
cos 30º =
x
12
si de esta expresión se despeja x y se sustituye cos 30º por su valor quedaría:
x = 12 · cos 20º = 12 · 0,94 = 11,28 m
Para el cálculo de y se utiliza la fórmula del seno que nos relaciona el cateto opuesto del ángulo y
la hipotenusa. Así quedaría:
sen 20º =
y
12
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si de esta expresión se despeja la incógnita y se sustituye tg 30º por su valor quedaría:
y = 12 · sen 20º = 12 · 0,342 = 4,104 m
c)
7m
x
65o
y
Para el cálculo de x se utiliza la fórmula de la tangente que nos relaciona el cateto opuesto del
ángulo y el cateto contiguo. Así quedaría:
tg 65º =
7
x
si de esta expresión se despeja x y se sustituye tg 30º por su valor quedaría:
x=
7
7
= 3,264

tg 65º 2,144
Para el cálculo de y se utiliza la fórmula del seno que nos relaciona el cateto opuesto del ángulo y
la hipotenusa. Así quedaría:
Sen 65º =
7
y
si de esta expresión se despeja la incógnita y se sustituye tg 30º por su valor quedaría:
y=
7
7
= 7,724 m

sen65º 0,906
5.- Deduce el valor de los ángulos de los siguientes triángulos
a)
A
4m
B
10 m
Para el cálculo del ángulo A se utiliza la fórmula de la tangente que relaciona el cateto opuesto y el
contiguo. Quedaría:
tg A =
10
= 2,5
4
Utilizando en la calculadora la función tg-1 obtenemos
A = 68,19º
Para el cálculo del ángulo B se utiliza la fórmula de la tangente que relaciona el cateto opuesto y el
contiguo. Quedaría:
tg B =
4
= 0,4
10
Utilizando en la calculadora la función tg-1 obtenemos B = 21,8º
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b)
A
15 m
6m
B
Para el cálculo del ángulo A se utiliza la fórmula del seno. Quedaría:
sen A =
6
= 0,4
15
Utilizando en la calculadora la función sen-1 obtenemos
A = 23,58º
Teniendo en cuenta que A + B = 90º se deduce que:
B = 90º - 23,58º = 66,42º
c)
A
5m
6m
B
Para el cálculo de A se tiene que cos A =
5
= 0,833.
6
De ello se deduce que A = 33,56 º
El ángulo B será
B = 90º - 33,56º = 56,44º
6.- Una escalera apoyada en la pared, tiene que llegar hasta los 4 metros de altura. El
encargado nos dice que se debe inclinar 60º respecto del suelo por seguridad. ¿De qué
longitud se necesita la escalera?
La incógnita x es la longitud del escalera.
x
4m
Si se utiliza el seno del ángulo se tiene que:
60º
sen 60º =
De aquí se deduce el valor de x =
4
x
4
4
= 4,619 m

sen 60º 0,866
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7.- Calcula el área de un rombo de lado 5 cm. y cuyos ángulos agudos miden 20º
Para calcular el área de un rombo la fórmula es :
5cm
20º
A=
Dd
2
Para calcular el valor de las diagonales se divide el rombo
en triángulos y se calculan sus catetos, que serán la mitad
de las diagonales.
10º
5 cm
El valor de x será:
x
x = 5 · cos 10º = 5 · 0,985 = 4,92 cm
El valor de y será:
y = 5 · sen 10º = 5 · 0,174 = 0,87 cm
Y
Las diagonales serán el doble de los catetos del triángulo D = 9,84 cm y d = 1,74 y, por tanto el
área será:
A=
9,84 1,74
= 8,56 cm2
2
8.- Calcular el perímetro y la superficie de un pentágono regular de 6 dm de radio.
Para calcular el lado del pentágono se hace el triángulo de la
figura adjunta.
6 dm
De este triángulo se conoce el valor del ángulo agudo, ya que
como el pentágono se puede dividir en 5 triángulos iguales, el
valor total de la circunferencia dividido para 5 dará el valor del
ángulo agudo.
Por tanto si dividimos 360/5 = 72º es el valor del ángulo agudo y el dibujo quedaría
Para resolver este triángulo se divide por la mitad
72º
6m
36º
h
6m
x
Para deducir el valor de x se utiliza la fórmula del seno:
Sen 36º =
x
6
esto es:
0´588 =
x
6
Por tanto x = 0´588 · 6 = 3´528 dm
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Para deducir el valor de h, que es la altura del triángulo se utiliza el coseno:
cos 36º =
h
6
esto es:
h
6
0´0´809 =
Por tanto h = 0´809 · 6 = 4´854 dm
El lado del pentágono será: 2 x = 2 · 3´528 = 7´056 dm
El perímetro como tiene 5 lados iguales será: 5 · 7´056 = 35´28 dm
Para calcular el área se calcula la de un triángulo en que se ha dividido y se multiplica por 5:
A = Atriángulo · 5 =
bh
7´056 4´854
5 
 5  85´62 dm2.
2
2
9.- Sara y su amigo Luis quieren escalar una montaña y necesitan conocer su altura h. Para
ello han conseguido un teodolito miden el ángulo desde un punto hasta la cima resultando
45º. A continuación se alejan de la montaña 60 metros y vuelven a medir y ahora son 30º.
¿Cuánto mide la montaña?
H
45º
X
30º
60 m
Para resolver este problema es necesario plantear un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas, H y x. Para ello se tienen dos triángulos rectángulos, uno con ángulo de 45º y otro con
ángulo de 30º siendo la altura H común a los dos triángulos
El sistema se hace con la fórmula de la tangente en los dos triángulos:
tg 45º =
H
x
tg 30º =
H
esto es
x  60
esto es: 1 =
H
, por tanto se deduce que H = x
x
0´577 =
H
por tanto se deduce: H = 0´577·(x+60)
x  60
Igualando ambas expresiones se tiene que
x = 0´577·(x+60)
Resolviendo la ecuación x – 0´577 x = 34´62
0´423 x = 34´62
Es decir que x = 81´844 m
Como H = x la altura de la montaña es de 81´84 m.
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10.- Para medir la altura de un acantilado desde una barco en el mar se realiza la siguiente
operación. Se instala en la parte superior del acantilado un mástil de 8 metros de altura,
desde el barco se mide el ángulo desde la horizontal a la base del mástil dando un
resultado de 35º, a continuación se mide el ángulo a la parte superior del mástil resultando
un ángulo de 45º. ¿Cuánto mide el acantilado?
8m
8m
y
y
35º
45º
x
x
Para resolverlo se plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, x e y:
y

tg35º  x

tg 45º  y  8

x
y

0,7  x
Esto es equivalente a: 
1  y  8

x
Si se resuelve por igualación se tiene que:
 y  0,7  x

y  x 8
Igualando se tiene que:
0,7 x = x – 8
0,7 x - x = - 8
- 0,3 x = - 8
x = 26,66 m
Por tanto la altura del acantilado será:
y = 0,7 x = 0,7 · 26,66 = 18,66 metros
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11.- Un jugador de golf lanza la pelota desde la posición de salida de un hoyo, distante 350
metros, y alcanza una distancia de 180 metros. Pero el golpe ha sido defectuoso y la
dirección de la pelota forma un ángulo de 20º respecto de la dirección del hoyo. ¿A qué
distancia del hoyo ha quedado su pelota?
350 m
20º
D
180 m
mm
Para hacer este ejercicio en primer lugar hay que calcular la distancia x y la distancia y
350-x
x
20º
y
Para ello se utilizan las razones del ángulo de 20º.
x  180  cos 20 º  180 ·0,9397  169 ,14 m
y  180 sen20º  180 0,342  61,56m
Sabiendo x se puede calcular 350 – x = 180,86 m
Y por tanto aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que la distancia buscada es:
D=
61,562  180,862 = 191,049 m
12.- Una persona pasea por la orilla de un río y observa
en la otra orilla un punto C. Para medir la distancia b
entre A y C obtiene las medidas indicadas en la figura.
Hallar dicha distancia b.
Para hacer este ejercicio hay que plantear
y
60º
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
45º
x
100-x
100 m
y

tg 60º  x

tg 45º  y

1 x
y

1´732  x
Esto es equivalente a: 
y
1 
 100  x
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Si se resuelve por igualación se tiene que:
 y  1´732 x

 y  1·100  x   100  x
Igualando se tiene que:
1´732 x = 100 – x
1´732 x + x = 100
2´732 x = 100
x = 36´6 m
Por tanto la distancia del barco a la playa será:
y = 1´732 x = 1´732 · 36´6 = 63´39 m
La distancia total entre A y C se calcula por el teorema de Pitágoras:
36´6 2  63´392 = 73´2 m
D=
13.- Desde la orilla de un río se observa la copa de un árbol, situado en la otra orilla bajo un
ángulo de 60º. Si nos alejamos 8 metros de la orilla, el ángulo de observación es de 45º.
Calcula la altura del árbol y la anchura del río.
H
45º
X
30º
8m
Para resolver este problema es necesario plantear un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas, H (altura de la montaña) y x (anchura del río). Para ello se tienen dos triángulos
rectángulos, uno con ángulo de 60º y otro con ángulo de 45º siendo la altura H común a los dos
triángulos.
El sistema se hace con la fórmula de la tangente en los dos triángulos:
tg 60º =
H
x
tg 45º =
H
H
esto es 1 =
por tanto se deduce: H = x + 8
x8
x8
esto es: 1´73 =
H
, por tanto se deduce que H = 1´73 x
x
Igualando ambas expresiones se tiene que
x + 8 = 1´73 x
Resolviendo la ecuación 1´73 x – x = 8
0´73 x = 8
Es decir que la anchura del río es x = 10´96 m
Como H = x+8 la altura de la montaña es de 18´96 m.
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14.- La anchura de una portería de fútbol es de 4 metros y su altura es de 2´4 metros. Para
lanzar un penalti la pelota se sitúa a 10´8 metros de la portería y a igual distancia de los
postes. Calcule:
a) El ángulo máximo de elevación que puede llevar la pelota para que pase por debajo
del larguero
b) El ángulo máximo barrido horizontalmente para poder meter gol (la pelota pasa
entre los postes)
Para calcular el ángulo máximo de elevación se hace el siguiente dibujo:
2´4 m
A
10´8
Para el cálculo de A se utiliza la fórmula de la tangente que nos relaciona el cateto opuesto del
ángulo y el cateto contiguo. Así quedaría:
tg A =
2´4
=0´2222
10´8
con la calculadora se obtiene el valor del ángulo A:
A = arc tg (0´2222) = 12´53º
Para calcular el ángulo máximo de barrido se hace el siguiente dibujo:
2B
4m
Para resolverlo se divide por la mitad:
B
10´8m
2m
Para deducir el valor de B se utiliza la fórmula de la tangente:
tg B =
2
=0´185
10´8
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con la calculadora se obtiene el valor del ángulo B:
B = arc tg (0´185) = 10´48º
Y el ángulo máximo de barrido será el doble:
2B = 20´96º
15. Entre la salida y la primera boya de una regata de vela hay 6 kilómetros. Un barco
decide, para aprovechar mejor el viento, seguir una dirección que forma 25º con la recta
que une la salida y la boya. Después de recorrer 5 kilómetros en esa dirección, ¿a qué
distancia está de la boya?
6 Km
salida
boya
25º
¿distancia?
5 Km
barco
Para hacer este ejercicio en primer lugar hay que calcular la distancia x y la distancia y
x
6-x
25º
y
Para ello se utilizan las razones del ángulo de 25º.
x  5  cos 25º  5 ·0,906  4,53 Km
y  5  sen25º  5  0,4226  2,113Km
Sabiendo x se puede calcular 6 – x = 1,47 Km
Y por tanto aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que la distancia buscada es:
D=
1,47 2  2,113 2 = 2,57 Km
Este problema y cualquier otro similar se puede resolver también por el teorema del coseno. En
este caso para no sobrecargar con más fórmulas de cara al examen se opta por resolverlo sin
aplicar dicho teorema.
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16.- En una empresa se nos solicita un trabajo en una explotación agraria. Se desea vallar
un terreno para cultivar alfalfa. Para ello nos aportan el siguiente croquis con las cotas en
metros
70
40
70º
100
a) ¿Cuánto costará la valla si el presupuesto es de 3 euros/m?
b) ¿Qué superficie tiene el terreno?
En primer lugar se calculan las dimensiones x e y del siguiente dibujo:
x
y
Como se conoce la hipotenusa del triángulo rectángulo que es 40 m y el ángulo de 70º se puede
calcular x e y :
x = 40·sen 70º = 37´588 m
y = 40· cos 70º = 13´681 m
Teniendo estas dos dimensiones son fáciles deducir las dimensiones z y t de la siguiente figura:
t
z
Al conocer x e y es sencillo calcular z y t teniendo en cuenta las dimensiones totales:
z = 100 – 13´681 = 86,319 m
t = 70 – 37´588= 32´412 m
De esta forma aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular el lado del terreno no
conocido:
h=
86´319 2  32´4122 = 92´2 m
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Por tanto una vez que se conocen todos los lados del terreno el perímetro será la suma de todos:
Perímetro = 40 + 100 + 70 + 92´2 = 302´2 m
El coste de la valla será: 302´2 · 3 = 906´61 euros
Para el cálculo del área dividimos la figura en tres figuras sencillas, dos triángulos y un rectángulo:
A
C
B
Como se conocen todas las dimensiones el cálculo de las áreas es sencillo:
Figura A:
A=
b  h 86´319  32´412
= 1398´88 m2

2
2
Figura B
A=
b  h 13´681 37´588
= 257´12 m2

2
2
Figura C
A = b·h = 86´319 · 37´588 = 3244´56 m 2
El área total será: At = 1398´88 + 257´12 + 3244´56 = 4900´56 m2
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