  M Oˆ

Prof. ADRIANA PAPICH
MATEMÁTICA
CONCEPTOS PREVIOS:
MEDIDA DE ÁNGULOS: Dado un ángulo AÔM , siendo d O , A   d O , M  , diremos que

AÔM  α , siendo α la longitud del arco AM , medido en una unidad apropiada
SISTEMAS DE MEDIDAS: Podemos considerar tres unidades distintas para medir ángulos, que
originan tres sistemas de medición:
1.- sistema sexagesimal
2.- sistema circular
3.- sistema centesimal
1.- se basa en dividir una circunferencia en 360 partes congruentes. A la medida del ángulo central
correspondiente a cada parte se le denomina GRADO SEXAGESIMAL, y su notación será 1  , por lo
tanto, la medida de la circunferencia será de 360  .
Las unidades inmediatas inferiores serán:
1
 60’ (minutos)
1’
 60’’ (segundos)
Nota: en la calculadora científica, el sistema sexagesimal está representado por la sigla DEG, la
cual deriva de la palabra inglesa DEGREE.
2.-la unidad en este sistema es el RADIAN, que se define como el ángulo central que subtiende un
arco de la misma longitud que el radio de la circunferencia considerada y su notación será “rad”
( idem, en la calculadora).
No tiene unidades inmediatas inferiores.
Como recordaremos, la longitud de la circunferencia es de
2 π r , por lo cual en este sistema, la circunferencia, medirá 2 π RADIANES.
Nota: en la calculadora, el sistema CIRCULAR está representado por la sigla RAD, la cuál deriva de la
palabra inglesa RADIAN, cuyo significado es radio.
3.-la unidad en este sistema es el GRADO CENTESIMAL, se basa en dividir una circunferencia en 400
partes congruentes, entonces:
1g.  100 m (minutos)
1m.  100 s. (segundos)
Nota: en la calculadora científica, el sistema CENTESIMAL, está representado por la sigla GRA, la cual
deriva de la palabra inglesa GRADE.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
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EQUIVALENCIA ENTRE SISTEMAS PARA ALGUNOS ÁNGULOS PARTICULARES:
MEDIDA EN GRADOS SEXAG.
360 
180 
MEDIDA EN RADIANES
2π
π
90 
π
2
60 
π
3
45 
π
4
2
30 
π
6
DEBEMOS RECORDAR QUE:
1.- LOS ÁNGULOS POSITIVOS, son los considerados en sentido ANTIHORARIO.
2.- LOS ÁNGULOS NEGATIVOS, son los considerados en sentido HORARIO.
3.- Para usar calculadora científica, es necesario elegir primero el sistema a usar,
pues:
sen 15 = 0,258819, si son 15 
sen 15 = 0,2334454 , si son 15 g.
sen 15 = 0,6502878, si son 15 rad.
4.- La parte fraccionaria de un grado sexagesimal, se puede expresar como fracción o
como decimal, en este último caso, se habla de GRADOS DECIMALES:
Ejemplo:
12  30’ 
12,5 grados decimales
Nota: para pasar de grados decimales a grados sexagesimales con la calculadora
debemos usar la FUNCIÓN INVERSA (SHIFT) y la tecla

‘ ‘’
(en algunas calculadoras aparece como DMS)
TRIGONOMETRÍA:
La palabra trigonometría, deriva del Griego, ya que fueron ellos los que iniciaron su estudio, su
significado es medición de triángulos, pues en sus comienzos esa era su aplicación.
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL:
Denominaremos SISTEMA CARTESIANO
ORTOGONAL en el plano π , a todo sistema cartesiano
del plano, tal que sus ejes sean perpendiculares entre sí.
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO:
Llamaremos así, a una circunferencia, cuyo centro coincide
con el origen de un Sistemas Cartesiano Ortogonal, y su radio
mide 1 unidad
x
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TEOREMA:
3


Dado un ángulo orientado cualquiera ( P Q̂ , P R ), y elegida una unidad de medida (grado
sexagesimal, centesimal o radianes), sea x, el número real correspondiente a la misma, podemos
encontrar un único punto M del círculo trigonométrico tal que el ángulo central orientado


( OÂ , OM ) sea de medida x.
TEOREMA:
Todo real x, está asociado a un solo punto M del círculo trigonométrico. Debemos recordar que la
unidad angular elegida ambiguamente 30 grados sexagesimales, 30 grados centesimales o 30 radianes,
NO DETERMINAN EL MISMO PUNTO M DEL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO.
DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES SENO, COSENO, TANGENTE y COTANGENTE:
Sea M, un punto del círculo trigonométrico
determinado por un ángulo central orientado de
amplitud x , designaremos con:
C, a la proyección ortogonal de M sobre Ox,
por lo cuál, la distancia OC , es el valor absoluto de
la abscisa de M.
S, a la proyección ortogonal de M sobre Oy,
entonces, la distancia OS es el valor absoluto de la
ordenada de M.
T, a la intersección de la recta OM con la recta
tangente al círculo por A
FUNCIÓN SENO:
La función seno, se notará “sen”, y se define:
s en:    1, 1
siendo OS , la ordenada del punto M.
x  s enx  OS
Hemos definido así, una función cuyo dominio es el intervalo real 0 o ,360 o  y cuyo codominio es
el intervalo, también real  1 ,1  .
Ahora, generalizaremos dicha definición para que el dominio sea todo  , para lo cuál debemos
considerar que senx  2ππ   senx k,k  Z .
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA
4
180 0
00
La curva representada, es una SINUSOIDE, fue estudiada por primera vez por Roberval (1602-1675).
FUNCIÓN COSENO:
La función coseno, se notará como “ cos “, y se define :
c os :    1, 1
, siendo OC , la abscisa del punto M.
x  c os x  OC


Luego generalizaremos el dominio de la función cos , 0 0  3600 , para que sea todo 
 cos x  2k  cos x, k,k Z.
Después de estas definiciones, podemos concluir que, las coordenadas del punto M, serán
M c os x,s enx .
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Para realizar la representación gráfica de la función coseno, le aplicaremos al círculo
trigonométrico, una rotación de centro O, y 90o antihorario. La gráfica, es también una SINUSOIDE,
que resulta de la aplicación de una traslación de vector
90o, a la sinusoide representación de la función seno.
-
00
180 0
π
 x , x    cos x  s en x  
2

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DEBEMOS RECORDAR QUE:
TEOREMA DE THALES: Dadas dos rectas secantes en O y
AA’//BB’ 
AA' BB'

OA OB



CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: Dados A B C , A' B' C' , con A B C es semejante al

A' B' C'
 tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido respectivo congruente


OA' OB'
ˆA  B' O
ˆB

 A' O
A B C  A' B' C' 
c
OA OB
FUNCIÓN TANGENTE:
tg:   
x  t gx
La función tangente se notará tg y se define como:
Si tgx 
s e nx
cos x
con cos x  0
siendo t gx 
senx  OS 
senx
OS
 como
  tgx 
cos x
cos x  OC 
OC
Y además MC // AT
MÔC  c TÔA  x
TO  AO  O 



C T O A
M
O

MC AT 


OC OA 
OS
AT


 OC OA
MC  OS 
 por pr op.t r a ns i t i va
 t gx 
AT 

tgx  AT
OA  

y c omoOA  r  OA  1

En la definición anterior, aclaramos que cos x  0 para que la función tangente estuviera definida,
esto tiene dos fundamentos, uno geométrico y otro algebraico:
i) geométricamente, si cos x = 0,  si consideramos el intervalo 0  , 360   x = 90º o x = 270º
 OM  tg A   , pues T , ya que OM // tg A .

ii) algebraicamente si cos x = 0  t gx 
π

 D( t gx )   
x   kππk  Z 
2


o
OS
y no existe el cociente.
0
D( tgx) x  /c os x 0 
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Admitiremos que la representación gráfica de la función tangente es:
Nota: a las rectas de ecuación x 
FUNCIÓN.
π
 kπ
2
con k  Z se les denomina ASÍNTOTAS DE LA
TEOREMA DE PITÁGORAS APLICADO AL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO:
ˆ M  x (ángulo central orientado)
H) Dado CO
T) c os2 x  s en2 x  1; x, x  
Demostración:
Por definiciones previas :
OS  s enx
y
OC  c os x
Además
OS  MC
OC

2
 MC
2
 OM
2
y como OM  1 por ser radio del círculo
por T. de Pitágoras

sen2 x  cos2 x 1
sustituyendo
6
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FICHA PRÁCTICA:
1.- Encuentra el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando las respuestas:
i ) s enx  1, 03
i i i ) t gx 1, 38
v) t gx 2525
i i ) c osx  0, 8 7
i v) s enx 0, 99
vi ) c os x 1, 002
2.-Completar sin la calculadora la siguiente tabla:
MEDIDA DE LOS
ÁNGULOS EN
RADIANES
π
6
π
4
π
3
2
π
3
3

4
5

6
-
π
6
-
π
4
-
π
3
-
2
π
3
-
3

4
sen
cos
tg
3.-Considerando x   , determinar los cuadrantes en que puede encontrarse M ( x ), si se cumple:
v) s enx 0 y c os x  0
i ) s enx 0
i i i ) t g( x) 0
vi ) c os x 0 y t gx  0
i i ) s enx 0
i v) c os x 0

4.-Completar las siguientes equivalencias, considerando 0  , 360 

i ) cos 8 1 23' 
i i i ) s en210


i i ) t g115 
i v) c os 210

5.-Expresar como funciones de un ángulo agudo positivo:
i ) s e n140 
i i i ) s e n(100  ) 
i i ) t g315 
i v ) t g 290   
6.-Determinar los valores positivos de x , tales que:
i ) c os x 0, 8 98 79404
2
i v) s enx 
i i ) c os x 1
2
v) t gx  3
i i i ) c os x 0, 70710678
7.-Encontrar todos los valores de x comprendidos entre 0 y 2π que satisfacen cada una de las
siguientes ecuaciones:
1
i ) s e nx
1
2
i v) c os x 
i i ) t gx 1
2
v) s enx 2
2
i i i ) s e nx
2
8.-Determinar todos los valores de sen x , cos x y tg x en las condiciones indicadas:
5
2
i ) s enx , x  0, 90º
i i i ) s enx , x  0º , 90º 
13
3
4
1
i i ) c os x  , x  18 0º , 270º
i v) t gx
y s enx  0
5
2
9.-Encontrar las determinaciones principales (en grados sexagesimales y radianes) de las ángulos tales
que:
7
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1
4
1
i i ) c os x
4
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i ) s enx
i i i ) t gx
1
4
10.- Resuelve en  las ecuaciones siguientes:
i ) c osx  3 s en x
i i ) c osx  s en x
i i i ) c osx  s en 2x
11.- En los siguientes ejercicios x, designa la medida en radianes de un ángulo orientado, realiza una
resolución gráfica, indica el número de soluciones entre 0, 4π  , y efectúa las verificaciones
analíticamente:
2
3
i i ) t gx 3
i i i ) t g2x π
i ) s e nx
π 
3

2 3

vi ) c os x t gx  0
v) s en x 
3
2
12.-Resolver en  , dando el o los valores de x en radianes, utilizando π :
x 1
i ) cos 
5
2 2
i v ) cos x s e n2 x 
i i ) 1  2cos 2x 0
4
v ) cot gx 2cos x
1  2cos x  0
i i i ) s e nx
13.- Resolver en  ,dando el o los valores de x en grados sexagesimales:
i ) 2s e n2 x  3cos 2 x  2s e n4 x
i v ) cos x 
i i ) cos2 x  2s e nx cos x 1
2
i i i ) 2s e n
x  cos 2x  t gx
i v ) s e c2 x  2t gx
8