Diferenciación numérica

Diferenciación numérica
Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una
estimación del derivado de a función matemática o función subprograma usando
valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función.
Una valoración simple del dos-punto es computar la cuesta de un próximo línea
secante a través de los puntos (x,f (x)) y (x+h,f (x+h)). Elegir un número
pequeño h, h representa un cambio pequeño adentro x, y puede ser positivo o
negativa. La cuesta de esta línea es
Esta expresión es Neutonio's cociente de la diferencia.
La cuesta de esta línea secante diferencia de la cuesta de la línea de la tangente
por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h. Como h los
acercamientos ponen a cero, la cuesta de la línea secante acercamientos la cuesta
de la línea de la tangente. Por lo tanto, el verdad derivado de f en x es el límite
del valor del cociente de la diferencia mientras que las líneas secantes consiguen
cada vez más cerca de ser una línea de la tangente:
Desde inmediatamente el sustituir 0 para h resultados adentro división por cero.
Una valoración simple del tres-punto es computar la cuesta de una línea secante
próxima a través de los puntos (x-h,f (x-h)) y (x+h,f (x+h)). La cuesta de esta
línea es
Más generalmente, la valoración del tres-punto utiliza la línea secante a través de
los puntos (x − h1,f(x − h1)) y(x + h2,f(x + h2)). La cuesta de esta línea es
La cuesta de estas líneas secantes diferencia de la cuesta de la línea de la
tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h2 de
modo que la valoración del tres-punto sea una aproximación más exacta a la
línea de la tangente que la valoración del dos-punto cuando h es pequeño.
A la ecuación 1 se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le
llama diferencias divididas finitas.
Se puede representar generalmente como:
o
Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h
se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se
hace la aproximación.
Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos(i) e (i+1) para
estimar la derivada.
Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como primera
diferencia dividida finita.
Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden
desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas
numéricas.
Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias
hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar
a la de la ecuación 2.
Las primeras usan a, mientras x con sub-indice i+1 que las segundas usan
información igualmente espaciada alrededor del punto donde esta estimada la
derivada.
Las aproximaciones más exactas de la primera derivada se pueden desarrollar
incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto.
Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de
segundo orden, tercer orden y ordenes superiores. Las siguientes secciones
analizan brevemente estos casos, ilustrando como se deriva cada una de ellos.
APROXIMACION A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS
HACIA ATRÁS.
La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior
sobre el valor actual, dada por:
Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos
se obtiene:
Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia dividida
hacia atrás.
APROXIMACIONES A LA PRIMER DERIVADA CON DIFERENCIAS
CENTRALES.
Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la
expansión en serie de Taylor hacia adelante:
para obtener
que se puede resolver para
o
La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas )de la
primera derivada.
Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las
diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.
Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información practica
de que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada.
Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia
atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras
que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.
APROXIMACIONES A DERIVADAS DE ORDEN MÁS ALTO USANDO
DIFERENCIAS FINITAS.
Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para
una estimación numérica de las derivadas de orden superior.
Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para
en términos de de la siguiente forma:
La ecuación 8 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación 10 para
obtener:
que se puede resolver para
A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo
orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia
atrás y centrales.
Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante,
hacia atrás y centrales también pueden obtenerse ( véase en fórmulas mas
adelante ). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor
aproximación.
FORMULAS DE EXACTITUD PARA DIFERENCIAS DE ORDEN
SUPERIOR
Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la serie de
Taylor después de algunos términos.
Las fórmulas de mas exactitud se pueden desarrollar incluyendo términos
adicionales. Por ejemplo, la expansión hacia adelante (Ecuación 6) se puede
resolver para:
En contraste con la ecuación 2, se puede retener el término de segundo orden
sustituyendo la ecuación 12 en la ecuación 13 para obtener:
agrupando términos
Nótese que la inclusión del termino con segunda derivada ha dado una exactitud .
Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares para diferencias hacia atrás
y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior.
GRAFICAS DE APROXIMACIONES CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS
FINITAS
DE LA PRIMERA DERIVADA.
El azul es de aproximación y el verde de la derivada verdadera
HACIA ADELANTE
.HACIA ATRAS
.CENTRALES
FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA
ATRÁS. SE
PRESENTAN
DOS
VERSIONES
PARA
CADA
DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE
LA SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA
.FORMULAS
ADELANTE.
DE
DIFERENCIAS
DIVIDIDAS
FINITAS
HACIA
SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA
SEGUNDAFORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y,
POR LO TANTO ES MAS EXACTA.
FORMULAS
DE
DIFERENCIAS
FINITAS
CENTRALES. SE
PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA
SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE
TAYLOR POR
LO
TANTO
ES
MAS
EXACTA.
.
METODO DE LA SECANTE POR MEDIO DE DIFERENCIA DIVIDIDA.
Un problema fuerte en al implementación del método de Newton-Raphson es el
de la evaluación de la derivada.
Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas otras
funciones, existen algunas de estas cuyas derivadas pueden ser extremadamente
difíciles de evaluar.
En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida,
como se muestra en la siguiente figura: