Nombre de la actividad La derivada de la función exponencial a partir de consideraciones gráficas de la las rectas tangente Autor: Eduardo Tellechea Armenta Tiempo estimado Media Hora Prerrequisitos Interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente Determinar la pendiente de una recta de manera gráfica Representación tabular de una función Objetivos Disciplinares Que los estudiantes: Educacionales 1. Desarrollen la habilidad de seguir, al ritmo del grupo, las instrucciones verbalmente formuladas por el profesor. 2. Desarrollen habilidades de interacción con la computadora como herramienta principal de trabajo. 3. Desarrollen la habilidad de plasmar en el papel la información visual que arroja la computadora. 4. Ejerciten su capacidad de cuestionar, conjeturar y anticipar resultados. 5. Desarrollen actitudes adecuadas para el trabajo en equipo, como el respeto a las opiniones, aceptación de la crítica, socialización de las ideas, defensa racional de las ideas propias etc. 1. Asimilen el concepto de derivada, como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto, a partir de un proceso de visualización dinámica. 2. Conozcan y utilicen el Applet Descartes como herramienta para asimilar la interpretación geométrica de la derivada, como el límite de las pendientes de rectas secantes. 3. Deduzcan la expresión analítica de funciones derivadas correspondientes a funciones exponenciales, a partir de consideraciones gráficas de la recta tangente. Contenidos Disciplinares a) Derivada en un punto b) Función derivada 1 Medios de enseñanza (métodos de enseñanza y recursos tecnológicos) Métodos de Enseñanza Recursos Tecnológicos Manejo del software, por parte Computadora para el profesor del alumno, a partir de la Computadora para el alumno conducción del profesor. Cañón de proyecciones Traslación de datos de la Papel y lápiz pantalla de la computadora a la hoja de trabajo. Manipulación de datos para la obtención de resultados. Organización del trabajo en el aula 1. El profesor asigna, preferentemente, una computadora a cada alumno o, cuando mucho, a cada pareja de alumnos. 2. El profesor da las instrucciones generales en voz alta, haciendo hincapié en que sus indicaciones deberán ser atendidas en todo momento durante la práctica. Se discuten los aspectos que pudieran resultar confusos y, una vez que los alumnos consideran comprendida la situación, el profesor da inicio a la práctica, explicando el funcionamiento del archivo y simulando, en un caso particular, lo que haría el estudiante Una vez agotadas las indicaciones, el profesor entregará la primera hoja de trabajo y el alumno interactuará libremente con la computadora, atendiendo las indicaciones correspondientes. 3. El desarrollo de la actividad deberá ser guiado por el profesor, para lo cual éste habrá de cuidar su intervención para propiciar el mayor grado de reflexión posible, por parte del alumno. Sugerencia de evaluación de la actividad 1. Incluir, dentro de los cien puntos del examen parcial, un reactivo con contenido similar al de la práctica, con objeto de evaluar el nivel de comprensión alcanzado por el alumno. 2. Asignando un puntaje extra, proponer un reactivo diferente que tenga como contenido esencial el estudiado durante la práctica, y que represente un reto para el alumno. Referencias - Hughes–Hallet, Deborah (2001), Cálculo, CECSA - Font, Vicen’c Expresiones simbólicas a partir de gráficas. El caso de la parábola. 2 La derivada de la función exponencial a partir de la determinación gráfica de la pendiente de la recta tangente 1. Al abrir el applet deriexponenciales.htm , se mostrará la gráfica de la función f ( x) e x y la recta secante correspondiente a x = 1, h = 0.79, como en la figura1. Haciendo tender h a cero ( h = 0.000001) obtenemos visualmente la recta tangente en x = 1, como se aprecia en la figura 2, en la cual también se muestra un triángulo, en amarillo, que nos ayudará a calcular la pendiente de la recta tangente. Figura 1 Figura 2 2. Determina la pendiente de la recta tangente en x = 1, es decir f ' (1) , observando el corte de esta con el eje de las abscisas. 3. Asigna a x el valor 2 y determina la pendiente de la recta tangente, es decir f ' (2) , observando de nuevo el corte de esta con el eje de las abscisas. 4. Asigna a x el valor -1 y determina la pendiente de la recta tangente, es decir f ' (1) , observando de nuevo el corte de esta con el eje de las abscisas. 5. Determina visualmente la distancia entre x y el corte de la recta tangente con el eje de las abscisas, para algunos valores de x, como: 0.5, 0.8, 1,2, 1.5, etc. (de ser necesario utiliza el zoom y la escala del eje x) 6. En base a lo anterior determina el valor de la derivada en cada uno de estos valores de x y conjetura una expresión analítica para f ' ( x) 3 7. Para obtener visualmente la derivada de f ( x) e , asigna en el cuadro de texto el valor a =2, y determina la pendiente de la recta tangente en x = 1, es decir f ' (1) , observando el corte de ésta con el eje de las abscisas. 2x 8. Asigna a x el valor 1 y determina la pendiente de la recta tangente, es decir f ' (1) , observando de nuevo el corte de esta con el eje de las abscisas. 9. Asigna a x el valor -1 y determina la pendiente de la recta tangente, es decir f ' (1) , observando de nuevo el corte de esta con el eje de las abscisas. 10. Determina visualmente la distancia entre x y el corte de la recta tangente con el eje de las abscisas, para algunos valores de x, como: 0.5, 0.8, 1,2, 1.5, etc. (de ser necesario utiliza el zoom y la escala del eje x) 11. En base a lo anterior determina el valor de la derivada en cada uno de estos valores de x y conjetura una expresión analítica para f ' ( x) 12. Repita los puntos 8 – 11 para a =1/2 13. Explore libremente el comportamiento de las rectas tangentes a funciones exponenciales de la ax forma f ( x) e y conjeture una expresión para su derivada en cualquier punto 4