La derivada de la función exponencial a partir de consideraciones

Nombre de la actividad
La derivada de la función exponencial a partir de consideraciones
gráficas de la las rectas tangente
Autor:
Eduardo Tellechea Armenta
Tiempo estimado
Media Hora
Prerrequisitos
 Interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente
 Determinar la pendiente de una recta de manera gráfica
 Representación tabular de una función
Objetivos
Disciplinares
Que los estudiantes:
Educacionales
1. Desarrollen la habilidad de seguir, al
ritmo del grupo, las instrucciones
verbalmente formuladas por el profesor.
2. Desarrollen habilidades de interacción
con la computadora como herramienta
principal de trabajo.
3. Desarrollen la habilidad de plasmar en
el papel la información visual que arroja
la computadora.
4. Ejerciten su capacidad de cuestionar,
conjeturar y anticipar resultados.
5. Desarrollen actitudes adecuadas para el
trabajo en equipo, como el respeto a las
opiniones, aceptación de la crítica,
socialización de las ideas, defensa
racional de las ideas propias etc.
1. Asimilen el concepto de
derivada, como la pendiente de
la recta tangente a la curva en
un punto, a partir de un proceso
de visualización dinámica.
2. Conozcan y utilicen el Applet
Descartes como herramienta
para asimilar la interpretación
geométrica de la derivada, como
el límite de las pendientes de
rectas secantes.
3. Deduzcan la expresión analítica
de
funciones
derivadas
correspondientes a funciones
exponenciales, a partir de
consideraciones gráficas de la
recta tangente.
Contenidos Disciplinares
a) Derivada en un punto
b) Función derivada
1
Medios de enseñanza (métodos de enseñanza y recursos tecnológicos)
Métodos de Enseñanza
Recursos Tecnológicos
Manejo del software, por parte
Computadora para el profesor
del alumno, a partir de la
Computadora para el alumno
conducción del profesor.
Cañón de proyecciones
Traslación de datos de la
Papel y lápiz
pantalla de la computadora a la
hoja de trabajo.
Manipulación de datos para la
obtención de resultados.
Organización del trabajo en el aula
1. El profesor asigna, preferentemente, una computadora a cada alumno o, cuando
mucho, a cada pareja de alumnos.
2. El profesor da las instrucciones generales en voz alta, haciendo hincapié en que sus
indicaciones deberán ser atendidas en todo momento durante la práctica. Se discuten
los aspectos que pudieran resultar confusos y, una vez que los alumnos consideran
comprendida la situación, el profesor da inicio a la práctica, explicando el
funcionamiento del archivo y simulando, en un caso particular, lo que haría el
estudiante Una vez agotadas las indicaciones, el profesor entregará la primera hoja
de trabajo y el alumno interactuará libremente con la computadora, atendiendo las
indicaciones correspondientes.
3. El desarrollo de la actividad deberá ser guiado por el profesor, para lo cual éste habrá
de cuidar su intervención para propiciar el mayor grado de reflexión posible, por
parte del alumno.
Sugerencia de evaluación de la actividad
1. Incluir, dentro de los cien puntos del examen parcial, un reactivo con contenido similar al
de la práctica, con objeto de evaluar el nivel de comprensión alcanzado por el alumno.
2. Asignando un puntaje extra, proponer un reactivo diferente que tenga como contenido
esencial el estudiado durante la práctica, y que represente un reto para el alumno.
Referencias
- Hughes–Hallet, Deborah (2001), Cálculo, CECSA
- Font, Vicen’c Expresiones simbólicas a partir de gráficas. El caso de la
parábola.
2
La derivada de la función exponencial a partir de la determinación gráfica de la
pendiente de la recta tangente
1. Al abrir el applet deriexponenciales.htm , se mostrará la gráfica de la función f ( x)  e x y la
recta secante correspondiente a x = 1, h = 0.79, como en la figura1.
Haciendo tender h a cero ( h = 0.000001) obtenemos visualmente la recta tangente en x = 1,
como se aprecia en la figura 2, en la cual también se muestra un triángulo, en amarillo, que nos
ayudará a calcular la pendiente de la recta tangente.
Figura 1
Figura 2
2. Determina la pendiente de la recta tangente en x = 1, es decir f ' (1) , observando el corte de esta
con el eje de las abscisas.
3. Asigna a x el valor 2 y determina la pendiente de la recta tangente, es decir f ' (2) , observando
de nuevo el corte de esta con el eje de las abscisas.
4. Asigna a x el valor -1 y determina la pendiente de la recta tangente, es decir f ' (1) , observando
de nuevo el corte de esta con el eje de las abscisas.
5. Determina visualmente la distancia entre x y el corte de la recta tangente con el eje de las
abscisas, para algunos valores de x, como: 0.5, 0.8, 1,2, 1.5, etc. (de ser necesario utiliza el
zoom y la escala del eje x)
6. En base a lo anterior determina el valor de la derivada en cada uno de estos valores de x y
conjetura una expresión analítica para f ' ( x)
3
7. Para obtener visualmente la derivada de f ( x)  e , asigna en el cuadro de texto el valor a =2,
y determina la pendiente de la recta tangente en x = 1, es decir f ' (1) , observando el corte de
ésta con el eje de las abscisas.
2x
8. Asigna a x el valor 1 y determina la pendiente de la recta tangente, es decir f ' (1) , observando
de nuevo el corte de esta con el eje de las abscisas.
9. Asigna a x el valor -1 y determina la pendiente de la recta tangente, es decir f ' (1) , observando
de nuevo el corte de esta con el eje de las abscisas.
10. Determina visualmente la distancia entre x y el corte de la recta tangente con el eje de las
abscisas, para algunos valores de x, como: 0.5, 0.8, 1,2, 1.5, etc. (de ser necesario utiliza el
zoom y la escala del eje x)
11. En base a lo anterior determina el valor de la derivada en cada uno de estos valores de x y
conjetura una expresión analítica para f ' ( x)
12. Repita los puntos 8 – 11 para a =1/2
13. Explore libremente el comportamiento de las rectas tangentes a funciones exponenciales de la
ax
forma f ( x)  e y conjeture una expresión para su derivada en cualquier punto
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