Generación de Números Primos

Implementación eficiente de una biblioteca de aritmética de campos
finitos primos GF(P) diseñada para su uso en aplicaciones Criptográficas.
I. INTRODUCCIÓN.
Durante los últimos años, hemos presenciado formidables avances en las tecnologías
para comunicación digital y móvil; tales como telefonía inalámbrica y celular, sistemas de
comunicación personal, la expansión exponencial de la red internet, etc. la vasta mayoría de
la información digital utilizada en esas aplicaciones es almacenada y también procesada
dentro de un sistema de cómputo, para ser después transferida entre redes computacionales
vía fibra óptica, sistemas satelitales y/o internet. En cada uno de estos escenarios, la
transmisión y almacenamiento seguro de la información tiene una importancia primordial
para la naciente infraestructura de la información digital, muy especialmente, para el
comercio electrónico y móvil y otros servicios relacionados a la seguridad de datos.
Las técnicas para la implementación de la seguridad en el manejo, administración y
almacenamiento de información, son proporcionadas por la criptografía, la cual puede ser
sucintamente definida como el estudio del problema de cómo establecer un intercambio de
información seguro en presencia de un canal de comunicación que no lo es.
Entre los servicios más importantes directamente relacionados a la criptografía,
podemos mencionar: cifra/descifra de información, dinero digital, firmas digitales,
elecciones digitales, autenticación de usuarios y de sistemas en la red, distribución de datos
y procesamiento de información en tarjetas inteligentes (smart cards).
La seguridad de los cripto-sistemas que están actualmente en uso, está basada en la
complejidad computacional para resolver un problema matemático asociado con los
diferentes esquemas criptográficos modernos. Algunos ejemplos de tales problemas
matemáticos son: Factorización de grandes números, cómputo de logaritmos discretos
también para números grandes, etc. Se cree, sin que exista una certidumbre absoluta, que
estos problemas son extremadamente difíciles de resolver. En la práctica sin embargo, sólo
un reducido número de estructuras matemáticas han podido ser aplicadas hasta ahora para
construir los mecanismos de los sistemas criptográficos. La mayoría de estas estructuras
provienen de la teoría elemental de números. En particular, la estructura más socorrida por
los cripto-sistemas modernos, es el grupo multiplicativo de los enteros módulo un número
grande, el cual frecuentemente se escoge que sea un número primo P (generando así un
campo finito GF(P)). Consecuentemente, la implementación eficiente de aritmética de
campos finitos GF(P) juega un papel crucial en la implementación eficiente de un
importante número de cripto-sistemas de llave pública.
II. OBJETIVOS.
GENERAL: Implementación eficiente en software y/o hardware reconfigurable de
aritmética de campos finitos GF(P).
PARTICULARES:
 Estudio y desarrollo de algoritmos para la generación determinística de números
primos, usando el algoritmo descubierto en [1].
 Estudio y desarrollo de algoritmos para la generación probabilística de números
primos.




Estudio y desarrollo de algoritmos de generación de clases especiales de números
primos con representación binaria dispersa.
Implementación eficiente de una biblioteca de aritmética GF(P) utilizando clases
especiales de números primos.
Implementación eficiente en Software del criptosistema RSA.
Implementación eficiente en Software del criptosistema de curvas elípticas
definidas sobre campos finitos primos GF(P).
III. REFERENCIAS.
1) “PRIMES is in P”, Manindra Agrawal, N. Kayal, N. Saxena, August 2002,
avalialable in: http://www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html.
2) Handbook of applied cryptography, Menezes, Oorschot, Vanstone. Crc press,
New York, fifth edition (2001)
3) Software Implementation of Elliptic Curve Cryptography over Prime Fields, D.
Hankerson, J López Hernández, Alfred Menezes.