PRÁCTICA DE ANÁLISIS COMBINATORIO FIDEL VERA OBESO

PRÁCTICA DE ANÁLISIS COMBINATORIO
FIDEL VERA OBESO
GRUPO 1: PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
1.
¿De cuántas maneras pueden sentarse 7 personas en una fila de 7
asientos:
a)
si 2 de ellas insisten en sentarse una junto a otra?;
b)
si las mismas 2 personas no aceptan sentarse una junto a la
otra?
2.
¿De cuántas maneras pueden sentarse 3 hombres y 4 mujeres en
una fila de 7 sillas, si los hombres y las mujeres tienen que
alternarse?
3.
Obtener el número de palabras de cuatro letras (no necesariamente
pronunciables) que pueden formarse con 7 consonantes diferentes y
3 vocales diferentes, si las consonantes y vocales deben ir alternadas
y no se permite la repetición.
4.
Resolver el problema 3 si se permite la repetición.
5.
a)
b)
c)
¿Cuántos números se pueden formar con algunas de la cifras
2, 4, 5, 8 y 9, si un número no puede tener dos cifras
repetidas?
¿Cuántos de éstos números serán impares?
¿Cuántos serán mayores que 460?
6.
¿Cuántos enteros positivos impares de tres dígitos diferentes cada
uno son menores que 500?
7.
¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una
fila de 8 sillas?
8.
Resolver el problema 7 si las 5 personas deben sentarse en sillas
consecutivas?
9.
¿Cuántos enteros positivos impares de 4 dígitos diferentes cada uno
son mayores que 3 540?
GRUPO 2: PERMUTACIONES LINEALES Y CIRCULARES
1.
Calcular
a)
P 8, 2  P(9,3)
b)
P  6,1  3 P  2,1
1
PRÁCTICA DE ANÁLISIS COMBINATORIO
2.
FIDEL VERA OBESO
a)
Si P 
 P(n,5) = 42 P(n,3), hallar n.
b)
Si 2 P(6,r) = 3 P(5,r), hallar r.
3.
Demostrar que P(n,4) - P(n,3) = (n-4) P(n,3)
4.
Resolver para n, P(n,r) = k P(n-1,r-1).
5.
A partir de los dígitos 5, 6, 7, 8 y 9:
a)
b)
¿Cuántos números enteros de cuatro dígitos pueden formarse
si ningún número puede tener un dígito repetido?
¿Cuántos números naturales de uno o más dígitos pueden
formarse si ningún número puede tener un dígito repetido?
6.
Un estante tiene espacio para 7 libros. Si disponemos de 6 libros
diferentes de Biología y 7 libros diferentes de Química, ¿de cuántas
maneras podemos colocar en el estante 4 libros de Biología y 3 libros
de Química, si los libros de la misma especialidad tienen que estar
juntos?
7.
¿Cuántos números de 6 cifras distintas pueden formarse con los
dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9, si:
8.
a)
b)
los números 7 y 8 tienen que estar juntos?
los números 7 y 8 tienen que estar separados?
a)
¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en una fila
de 5 sillas si hay 3 personas que tienen que estar uno al lado
del otro?
Resolver la parte a) si se considera una fila de 6 sillas.
b)
9.
Calcular el número de permutaciones diferentes que puedan formarse
con las letras de la palabra MISSISSIPPI, tomadas todas a la vez.
10.
Cuántos numerales distintos de 6 dígitos pueden formarse en cada
caso:
a)
b)
c)
d)
11.
1, 5 y 6 pueden utilizarse cada uno una vez; 2 puede utilizarse
tres veces.
4, 7 y 8 pueden utilizarse cada uno dos veces.
3 puede utilizarse dos veces; 2 puede utilizarse tres veces; 8
puede utilizarse una sola vez.
5 puede utilizarse cuatro veces; 9 puede utilizarse dos veces.
Un grupo formado por 5 muchachos y 5 muchachas van a sentarse
de modo que queden alternados. Calcular de cuántas maneras
pueden hacerlo si:
a)
b)
se sientan en línea recta.
se sientan alrededor de una mesa circular.
2
PRÁCTICA DE ANÁLISIS COMBINATORIO
12.
FIDEL VERA OBESO
Siete personas van a sentarse alrededor de una mesa circular. Hallar
el número de maneras diferentes en que esto puede hacerse si:
a)
b)
no hay restricciones.
dos personas determinadas deben quedar contiguas.
GRUPO 3: COMBINACIONES
1.
2.
Calcular:
a)
C (18,15)
b)
C(8,5)  C  7,5
Demostrar que:
C  n, r  1 
3.
nr
C  n, r  , 0  r  n
r 1
a)
Hallar n si 2 C  n,5  3 C  n,3 .
b)
Hallar n y r si P  n, r   120 y C  n, r   20 .
4.
Se va a seleccionar un comité de 5 miembros entre 6 hombres y 9
mujeres. Calcular el número de tales comités si: (a) deben contener
por lo menos dos mujeres; (b) no deben contener más de dos
mujeres.
5.
Una bolsa contiene 4 objetos rojos, 6 blancos y 5 azules. De cuántas
maneras se pueden escoger 6 objetos: (a) si debe haber dos de cada
color; (b) si debe haber exactamente 4 objetos blancos; (c) si no
debe haber objetos blancos.
6.
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes, tales que contengan 3 cifras
impares y 2 pares, pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 y 9?
7.
En una lotería se sortean 7 artefactos eléctricos. El primero que se
acerca a la urna saca 4 billetes. Hallar el número de métodos en que
puede sacarlos, de modo que por lo menos uno de ellos sea
premiado. En la urna hay 25 billetes.
8. En un estante hay 12 libros diferentes. (a) Calcular el número de
selecciones de 8 libros diferentes que pueden hacerse; (b) Hallar el
número de estas selecciones que incluyen a un libro determinado; (c)
3
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FIDEL VERA OBESO
Encontrar el número de estas selecciones que incluyen a 2 libros
determinados.
GRUPO 4: EL TEOREMA DEL BINOMIO
1.
2.
Desarrollar las siguientes expresiones mediante el teorema del
binomio y simplificar el resultado.
a)
(5x - y2)4
b)
(ex - e-x)9
c)
(x3/2 - x-3/2)4
d)
(1 + x)4 + (1 - x)4
Escribir y simplificar los primeros cuatro términos del desarrollo de la
potencia del binomio.
a)
3.
(ex/2 - e-x/2)20
b)
(x2/3 - y2/3)8
Obtener solamente el término o términos indicados en el desarrollo
correspondiente:
a)
Octavo término de (x1/2 + y1/2)12
b)
Término central de (a/b - b/a)10
c)
Los dos términos centrales de (x2/2 - y)9
d)
Términos en y4 de (2x/3y + 3y/2x)10
e)
Término independiente de x de (x1/2/y2/3 + y1/2/x3/2)16
4.
Hallar el término que contiene a x10 en el desarrollo:
5.
(1 + 3x2 + 3x4)7
Los términos T2, T3 y T4 del desarrollo de (a+b)n valen
respectivamente 240, 720 y 1080. Hallar los valores de a, b y n.
GRUPO 5: MISCELÁNEA
VOCABULARIO Y CONCEPTOS Llene los espacios en blanco.
1. Si un evento E1 se puede realizarse de
p maneras diferentes y,
después que ocurre, un segundo evento E2 puede realizarse de q
maneras diferentes, simultáneamente
realizarse de ………… maneras diferentes.
4
ambos
eventos
pueden
PRÁCTICA DE ANÁLISIS COMBINATORIO
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2. Cada uno de los distintos arreglos lineales que pueden hacerse con
todos los n elementos de un conjunto en un orden definido se llama
……………………
3. El símbolo ……………… significa el número de permutaciones de
objetos tomadas de r en r .
4. La fórmula para el número de permutaciones de
de r en r es ………………………
n
n objetos tomadas
5. P(n, n)  ......... .
6. P(n,0)  ......... .
 n
 n
7. El símbolo   o ………………… significa el número ………………… de n
objetos tomados de r en r .
8. La fórmula para el número de combinaciones de n objetos tomados
de r en r ………………
9. C (n, n)  .........
10. C (n,0)  .........
PRÁCTICA Evalúe las siguientes permutaciones y combinaciones.
11. P(3,3)
12. P(4,4)
13. P(5,3)
14. P(3,2)
15. P(2,2).P(3,3)
16. P(3,2).P(3,3)
 6
3
6
25.  
 4
 5  5 
26.   
 4  3 
 6  6 
27.   
 5  4 
C (38,37)
28.
C (19,18)
C (25,23)
29.
C (40,39)
30. C (12,0).C(12,12)
C (8,0)
31.
C (8,1)
32. C (n,2)
33. C (n,3)
24.  
P(5,3)
P(4,2)
P(5,3)
18.
P(4,2)
P(6,2)
19.
P(5,4)
P(6,2).P(7,3)
20.
P(5,1)
P(8,3)
21.
P (5,3).P(4,3)
22. C (5,3)
23. C (5,4)
17.
5
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FIDEL VERA OBESO
Use la forma alternativa del teorema del binomio para expandir las
siguientes expresiones.
34.  x  y 
4
38.  3 x  2 
35.  x  y 
2
39. 3  x 2
36.  2x  y 
37.  2 x  1


4
3
3
4
Encuentre el término indicado de la expansión de binomios
40.  x  5 y  ;cuarto término
5
41.  2x  y  ;tercer término
5

43.  x
42. x 2  y 3
3
 y2
 ;segundo término
 ;cuarto término
4
4
APLICACIONES
44.Planear una velada. Sofía piensa ir a cenar y ver una película. ¿De
cuántas maneras puede planear su velada si tiene un opción de cinco
películas y siete restaurantes?
45.Opciones de viaje. Iris tiene cinco maneras de viajar de Nueva York
a Chicago, tres para viajar de Chicago a Denver y cuatro para viajar
de Denver a Los Ángeles. ¿Cuántas opciones tiene Paula si viaja de
Nueva Cork a Los Ángeles?
46.Fabricación de placas de de circulación. ¿Cuántas placas de
circulación, de seis dígitos, se pueden manufacturar?.
47.Fabricación de placas de de circulación. ¿Cuántas placas de
circulación, de seis dígitos, se pueden manufacturar si no se puede
repetir ningún dígito?.
48.Fabricación de placas de de circulación. ¿Cuántas placas de
circulación, de seis dígitos, se pueden manufacturar si ninguna placa
puede empezar con cero y no se puede repetir ningún dígito?.
49.Fabricación de placas de de circulación. ¿Cuántas placas de
circulación, se pueden manufacturar con dos letras seguidas por
cuatro dígitos?.
50.Números telefónicos. ¿Cuántos números telefónicos de siete
dígitos en la clave LADA 815 si ningún número telefónico puede
empezar con cero o con uno?
1
PRÁCTICA DE ANÁLISIS COMBINATORIO
FIDEL VERA OBESO
51.Números telefónicos. ¿Cuántos números telefónicos de diez dígitos
existen si las claves LADA 000 y 911 no se pueden usar y si ningún
número local puede empezar con cero o con uno?
52.Acomodo de libros. ¿En cuántas maneras pueden colocarse cuatro
novelas y cinco biografías en un estanque, si las novelas se
colocan a la iquierda?.
53.Elaboración de un voto ¿En cuantos formas pueden disponerse,
en un voto, seis candidatos para alcalde y cuatro candidatos para
el concejo del condado si todos los candidatos para alcalde
deben ponerse en la parte superior del voto?
54.Cerraduras de combinación ¿Cuántas permutaciones tiene
una cerradura de combinación, si cada combinación tiene tres
números, no hay dos números iguales de ninguna combinación,
y la combinación tiene 50 números?.
55.Arreglo de citas La recepcionista de un consultorio dental tiene
sólo tres horas de cita disponibles antes del martes, y diez
pacientes tiene dolor de muelas. ¿En cuántas formas puede la
recepcionista llenar esas citas?
56.Computadoras En muchas
computadoras, una palabra está
formada por 32 bits, que es una fila de 32 números 1 y 0.
¿Cuántas palabras diferentes son posibles?
57.Palíndromos Un palíndromo es cualquier palabra, por ejemplo
madam o radar, que se lee igual en un sentido y en otro de las
letras. ¿Cuántos palíndromos numéricos de cinco dígitos (por
ejemplo 13531) hay? (Sugerencia: Un 0 escrito al principio se
cancela)
58.Letras de identificación
Las
letras
de
identificación de
estaciones de radio comercial de Estados Unidos son 3 o 4: la
primera es siempre una W o una K. ¿Cuántas estaciones de radio
podría soportar este sistema?
59.Planeación de un picnic Un grupo de 14 estudiantes desea
escoger un comité de 3 estudiantes para planear un picnic.
¿Cuántos comités son posibles?
60.Selección de libros Evelyn debe leer 3 libros de una lista de
lectura de 15 libros. ¿Cuántas opciones tiene?
61.Formación de comités El número de comités de tres personas
que se puede formar de un grupo de personas es diez. ¿Cuántas
personas hay en el grupo?
62.Ganar una lotería En una lotería del gobierno, gana cualquiera
que escoja los 6 números correctos (en cualquier orden). Si hay
números del 0 al 99. ¿Cuántas opciones son posibles?
2
PRÁCTICA DE ANÁLISIS COMBINATORIO
FIDEL VERA OBESO
63.Toma de una prueba Las instrucciones en una prueba indican:
“Conteste cualesquiera diez de las siguientes quince preguntas.
Luego escoja una de las preguntas restantes para tarea, y
entregue su solución mañana”. ¿De cuántas maneras pueden
escogerse las preguntas?
64.Formación de un comité ¿De cuántas maneras podemos
seleccionar un comité de dos hombres y dos mujeres a partir de
un grupo que contiene tres hombres y cuatro mujeres?
65.Escoger ropa ¿De cuántas maneras podemos seleccionar 2
camisas y 3 corbatas a partir de un grupo de 12 camisas y 10
corbatas?
66.Escoger ropa
¿De cuántas maneras podemos seleccionar 5
vestidos y 2 sacos de un guardarropa de 9 vestidos y 3 sacos?.
JUSTIFICACIÓN
67.Explique por qué una cerradura de permutación sería un mejor
nombre para una cerradura de combinación.
ALGO PARA PENSAR
68.¿De cuántas maneras podrían cinco personas ponerse en una fila
si dos personas insisten en estar juntas?
69.¿En cuántas formas podrían cinco personas ponerse en una fila si
dos personas se niegan a estar una a continuación de la otra?
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