Contenidos:

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Concepto de Trigonometría.
Aportes en el desarrollo científico y tecnológico.
Construyendo un Triangulo Rectángulo:
Descubriendo las razones trigonométricas.
Aplicando las razones para descubrir medidas.
Resolución de problemas aplicando las razones trigonométricas y los ángulos
complementarios.
Practica adicional (para realizar en un nuevo documento)
Calcular las razones de los ángulos con medidas de 30°, 45° y 60°.
Encontrar las relaciones restantes
Angulo de elevación y Angulo de depresión
Ley de Senos
Esta guía esta realizada para ser trabajada en Sketchpad, adaptada a la trigonometría
de noveno año, con el fin de encontrar nuevas metodologías de trabajo para facilitar el
aprendizaje del estudiante y la labor del docente, se busca fomentar en el estudiante el
descubrimiento por medio de la experimentación, el alumno encontrará en el transcurso del
trabajo todo lo relacionado con trigonometría para noveno año, así como los ejemplos con
su respectiva explicación y ejercicios de experimentación, esperamos sea de su agrado.
CONCEPTO DE TRIGONOMETRÍA.
¿Sabes que es la trigonometría?
En ocasiones, medir la distancia entre dos puntos o alturas de determinados objetos no
es nada fácil porque no podemos ir directamente con un metro dadas la posición o
magnitud del objeto a medir. Piénsese en la medición de la altura de un edificio muy alto y
la imposibilidad de caminar por su fachada con una cinta métrica o la dificultad de medir la
altura de un árbol o la distancia entre dos objetos del Universo (como entre dos planetas,
dos estrellas, etc.). ¿Qué podemos hacer entonces, desistir de nuestro intento de medir? La
respuesta es no, únicamente habremos de recurrir a procedimientos indirectos de medición
para los cuales nos ayudará mucho el conocimiento de esta rama de la matemática llamada
Trigonometría que basa todas las mediciones en triangulaciones en las que conocidos
algunos de los seis elementos de un triángulo (3 ángulos y tres lados), podremos determinar
los demás desconocidos y, en especial aquél o aquéllos que nos interese. Se podría decir
que la Trigonometría tiene la respuesta a nuestro problema de mediciones indirectas de
distancias inaccesibles o que plantean especial dificultad por su forma o posición.
Un concepto más apto es que la Trigonometría es la rama de las matemáticas que
estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y
aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.
APORTES EN EL DESARROLLO CIENTIFICO Y TECNOLOGICO.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la
navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar
una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no
podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden
encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el
estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
Ahora para que te des cuenta de estos aportes te ejemplificaremos dos de ellos en el
Sketchpad, sigue las instrucciones y podrás darte cuenta como se calcula la distancia que
existe entre la luna y la tierra o como saber la altura de alguna estructura con solo la medida
de un ángulo agudo y una distancia, recuerde que en estos ejemplos no se trabajaran a
escala.
1.Inicia el Geometra, si el Geometra ya se encuentra funcionando elige Abrir desde el
menú Archivo del menú principal, selecciona el archivo Trigonometría.
2.Ahora ya tienes el archivo abierto y te aparecerá en la pantalla Trigonometría
Aplicada en el Campo Científico y Tecnológico como titulo y dos botones
denominados Ejemplo 1 y Ejemplo 2, selecciona el ejemplo #1 para que puedas
darte cuenta como se calculó la distancia entre la luna y la tierra utilizando la
trigonometría:
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km. Se puede comprobar que si observamos
la Luna desde la Tierra, contemplamos su disco bajo un ángulo de medio grado.
Si a x, que es la distancia hasta el centro de la Luna, le quitamos los 1738 Km. del radio
obtendremos un valor estimado de la separación entre Tierra y Luna de 396579 Km..
Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la
Luna. Se ha podido conocer, mediante el envío de rayos láser, que la distancia media hasta
la superficie lunar es de 384403 Km.
3.Selecciona el Ejemplo #2 donde se calcula la altura de una estructura con razones
trigonométricas.
4.
Sabiendo el ángulo que proyecta la estructura y la longitud de la sombra podemos
aplicar las razones trigonométricas para averiguar su tamaño.
No te preocupes que mas adelante podrás realizar cálculos idénticos a estos, los cuales
son solo para que veas sus aplicaciones en el campo científico y tecnológico.
5.Luego de que hallas observado y analizado los ejemplos, en la parte inferior izquierda
de la pantalla aparecen una serie de etiquetas las cuales corresponden a las paginas de
trabajo, dale click en la #2
CONSTRUYENDO UN TRIANGULO RECTÁNGULO:
En el triángulo rectángulo adoptaremos, salvo advertencia en contra, a partir de este
momento el siguiente convenio de nomenclatura para sus 6 elementos (3 ángulos y 3
lados). Al ángulo recto lo llamaremos A y a los otros dos B y C indistintamente. A cada
lado se le nombrará igual que al ángulo opuesto pero con letra minúscula.
Vamos a realizar la construcción de un triangulo rectángulo en el Sketchpad,
Siguiendo estos paso lograremos nuestro fin:
1.Una vez abierta la pagina #2, te debe aparecer el titulo “Construyendo un Triangulo
Rectángulo” y el resto de la hoja de trabajo en blanco.
2.Elija la herramienta Segmento
de la Caja de herramientas (Asegúrese de que sea la
herramienta segmento y no la de rayo o recta) y dibuje un segmento para crear un cateto
del triangulo.
3.Usando la herramienta de Flecha de selección
seleccione el segmento y se extremo
derecho haciendo click en ellos. Escoja Recta perpendicular del menú Construir.
4.Con la Herramienta de Punto
construya un punto sobre la recta perpendicular al
segmento, esta recta debe cambiar el color cuando este el punto sobre ella y en ese
momento de click para crearlo.
5.Ahora con la Flecha de selección de clic en la parte en blanco para deseleccionar todo y
luego seleccione solo la recta.
6.Escoja Esconder objeto del menú Presentar, usted debe ver solo el
segmento original y el punto que fue creado sobre la recta perpendicular,
si hay mas objetos escóndalos, si hay menos objetos escoja Deshacer
ocultar objetos del menú Presentar y realice el paso 5 nuevamente.
7.Utilizando la herramienta Segmento construya los otros dos lados del triangulo dando
click sobre el punto que se encuentra solo y arrastrando asta cualquiera de los dos
puntos del segmento, realícelo para los dos puntos del segmento.
8.Para la nomenclatura del triangulo selecciona primero el punto donde se
intersecaban la recta perpendicular y el segmento original, luego selecciona
los otros dos en el orden que quieras.
9.Con los tres puntos seleccionados elige Mostrar rótulos del menú Presentar.
10. Selecciona los puntos en el siguiente orden B, A y C y escoge Ángulo del B
menú Medir, con esto ya sabemos que lo que realizamos en efectivo es un
triangulo rectángulo.
11. Para una mejor verificación mueve los puntos del triangulo con la flecha de selección y
veras que la medida de 90º no se modifica.
C
A
¡Listo! tenemos un triangulo rectángulo a la vista.
12. Deselecciona todo y luego selecciona los tres segmentos y elige Mostrar
rótulos, queremos que el segmento se nombre igual que el ángulo opuesto
pero con minúscula así que con la Flecha de selección dale doble click
sobre la letra con la que se nombro el segmento, así podrás modificarlos y
nómbrales como deseamos.
C
a
b
B
c
A
DESCUBRIENDO LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.
Dado un triángulo rectángulo y, fijándonos en uno de sus ángulos agudos, llamaremos
cateto opuesto a él, al que tiene enfrente y cateto adyacente al que forma uno de sus lados.
La hipotenusa es por definición el lado mayor (opuesto al ángulo recto).
Seleccione la pagina #3 donde encontraras un triangulo semejante al que usted
realizo.
Fijándonos en el ángulo agudo C, se tiene que c es el cateto opuesto, b es el cateto
adyacente y a es la hipotenusa. Se definen entonces las razones trigonométricas (que son
seno, coseno, tangente) del ángulo C como las siguientes relaciones entre los lados del
triángulo:
C
sen C = long. Cateto opuesto
long. Hipotenusa
cos C = long. Cateto adyacente
long. Hipotenusa
= c
a
a
= b
a
b
B
tan C = long. Cateto opuesto = c
long. Cateto adyacente
b
c
A
¿Y esto por que?
1. Seleccione los puntos B, C, A en este mismo orden y seleccione Ángulo del menú
Medir, el resultado es lo que mide nuestro ángulo C.
2. Seleccione Calcular del menú Medir, ahora te aparece una ventana
que tiene como titulo Nuevo Calculo, selecciona la opción Funciones
donde encontraras sen, cos, tan,…, selecciona sen y as click sobre la
medida del ángulo  BCA y luego click en Aceptar.
¿Que obtienes?
3. Ahora seleccione los tres segmentos del triangulo, no importa el orden,
y seleccione Longitud del menú Medir, con esto obtendrá la longitud
de los segmentos del triangulo con su respectiva nomenclatura.
4. Realice el calculo de c entre a (c/a), ¿cual es el resultado?, ¿Que
puedes deducir del calculo anterior y este?, efectivamente obtienes
que: sen C = c
a
5. Si Seleccionas el punto C y lo mueves puedes ver que la igualdad se mantiene sin
importar las medidas de los lados y ángulos, lo puedes ver también moviendo los otros
dos puntos.
Seguro ya realizaste la verificación y notaste que al mover los puntos A y B los cálculos
realizados anteriormente no varían, ¿puedes deducir por que pasa esto?
Esto pasa por que los valores de las razones trigonométricas dependen exclusivamente del
tamaño del ángulo y no del tamaño del triángulo rectángulo.
Ahora te dejo para que te diviertas un poco con la verificación las otras razones
trigonometriítas, as los cálculos y opten las razones.
Una ves que hayas entendido las razones trigonométricas puedes encontrar dos ejercicios en
las páginas 4 y 5, donde puedes calcular el valor de razones trigonométricas de ángulos agudos
de un triángulo rectángulo, a partir de las medidas de los lados.
APLICANDO LAS RAZONES PARA DESCUBRIR MEDIDAS.
Hasta la hora hemos identificado la hipotenusa, el cateto adyacente y opuesto de un angulo
agudo, hemos descubierto las razones trigonométricas y calculado su valor con la medida de los
lados del triangulo, pero el uso de las razones trigonométricas no se limita solo a esto, con saber
la medida de un ángulo agudo y un cateto el triangulo podemos descubrir las otras dos
longitudes del triangulo o averiguar la medida de los dos ángulos agudos teniendo la medida de
dos de los lados, bueno dejemos de hablar y veamos como podemos descubrir esto:
1. Abra la pagina #6, aquí tenemos un triangulo rectángulo donde sabemos la medida de un
ángulo agudo (ABC) y uno de sus catetos, en este caso el adyacente (c), y queremos saber
cuanto mide la hipotenusa (a), además sabemos que:
cos ABC = long. Cateto adyacente = c
long. Hipotenusa
a
De donde podemos despejar la ecuación para obtener a asi:
a*cos ABC = c, despejando la c y pasando la a a multiplicar, luego despejamos la a y
pasamos cos ABC a dividir y obtenemos:
a=
c
cos ABC
Cuya formula nos sirve para calcular la longitud de a (hipotenusa).
2. Realicemos el calculo con la opción calcular del menú medir, luego midamos la
longitud de a con la opción longitud del mismo menú, ¿que obtenemos?, que
efectivamente:
a=
c
cos ABC
3. Realice el calculo de b utilizando las razones (no calcules el ACB).
Ya tienes las medidas de los tres lados pero te falta la del otro ángulo agudo, ¿podrías
calcularlo usando las razones?, sabemos que el inverso de sumar es restar, el de multiplicar
es dividir, el de una potencia el la raíz y los opuestos de las razones trigonométricas son:
El de sen es sen-1, el de cos es cos-1, y el de tan es tan-1, sabiendo esto podemos
calcular el otro ángulo así:
Sen ACB = long. Cateto opuesto = c
long. Hipotenusa
a
Despejando solo el ángulo obtenemos que:
ACB = sen-1(c/a)
4. Realicemos el calculo con la opción calcular del menú medir (para hacer el calculo de
sen-1 debes dar click en arcsen en la opción de funciones), luego midamos el ángulo
ACB con la opción Angulo del mismo menú, ¿que obtenemos?, pues si::
ACB = sen-1(c/a)
Las razones trigonométricas también se pueden aplicar para paralelogramo, como sacar
la longitud de alguna diagonal, de esto te darás cuenta continuación:
1. Pase a la pagina #7, una ves aquí encontraras un paralelogramo donde puedes calcular
la diagonal sabiendo solo la altura y el ángulo agudo que forma el triangulo rectángulo.
2. Para que notes mejor el triangulo de click en el icono de “Ver triangulo”, así podrás
notar con mayor facilidad el triangulo rectángulo que se formo con la diagonal y la
altura del paralelogramo, el ángulo que se tiene también se mueve para que notes que es
el mismo.
3. Una vez que tengas el triangulo a la vista determine por usted mismo la razón que
puedes usar y calcule la hipotenusa del triangulo (diagonal), recuerda que tienes que
despejar primero la incógnita y luego realizar el calculo con la opción Calcular del
menú medir.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS APLICANDO LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y
LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.
Ahora vaya a la página #8 ahí encontrará el titulo anterior y un botón de acción con el
rotulo de Ejemplo déle click, aparece un triángulo rectángulo con información importante
la cual usted utilizará para resolver el siguiente problema:
Dado el triángulo ABC, rectángulo y las medidas del mABC y el cateto k, Averiguar
la longitud de la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo dado así como la medida del
ACB.
1- Para encontrar la medida de la hipotenusa se utiliza la razón que involucre a la
hipotenusa y al cateto opuesto (que es uno de los datos dados), la cual en este caso es
sen.
2- Elija Calcular en el menú Medir, ingrese la medida de k, luego ingrese sen del
submenú funciones junto con la medida del ABC y de aceptar.
3- El resultado obtenido corresponderá a la medida de la hipotenusa.
4- Ahora obtenga la medida del cateto adyacente siguiendo los pasos anteriores, el
resultado obtenido es el que corresponderá a la longitud del cateto adyacente.
5- Por último obtenga la medida del ACB, para ello recuerde que en un triángulo
rectángulo los ángulos no rectos son complementarios entre si (la suma de ellos es igual
90°).
6- Una vez que allá obtenido sus respuestas de click en Respuesta y compare las que aquí
se dan con las obtenidas por usted.
PRACTICA ADICIONAL (PARA REALIZAR EN UN NUEVO DOCUMENTO)
1- En un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 y cateto 5.Averigüe la longitud del otro
cateto.
2- Sugerencia: primero realice el dibujo y trabaje con el teorema de Pitágoras.
3- Resuelva el triángulo donde uno de los catetos mide 6 cm. y uno de sus ángulos mide
42°.
4- Resolver un triángulo donde uno de sus ángulos agudos mide 53° y el cateto opuesto a
él mide 12 cm.
5- Resolver un triángulo en el cual un ángulo agudo mide 65° y el cateto adyacente a este
mide 22 cm.
Nota: Para resolver estos ejercicios primero realice los dibujos con el fin de darse una
mejor idea de los datos que se le dan.
Cuando se menciona que resuelva el triángulo lo que se quiere decir es que encuentre
todos los valores que hagan falta según lo estudiado.
CALCULAR LAS RAZONES DE LOS ÁNGULOS CON MEDIDAS DE 30°, 45° Y 60°.
En esta sección te mostraremos como hallar las razones trigonométricas de los ángulos
con medidas de 30°, 45° y 60°.
Estos ángulos son de uso muy frecuente y con la ayuda de los conocimientos adquiridos
por usted hasta ahora y las oportunidades que ofrece el Skechpad le será muy fácil de hallar
y utilizar a futuro. (En esta sección tampoco se encuentran a escala los triángulos en
cuanto a las medidas otorgadas, se trabajaran con ellas para un mejor entendimiento del
tema)
Si los ángulos internos de un triángulo rectángulo miden 45° entonces:
1- Seleccione la página #9 donde encontrará el titulo “Razones trigonométricas de los
ángulos con medidas de 30°, 45° y 60°” , debe aparecer dos botones de acción
rotulados de la siguiente manera: “45 grados y Razones” .Elija el que dice “45 grados”
el cual te dará en otras palabras la siguiente información: Para encontrar las razones
trigonométricas del ángulo de 45° consideramos un triángulo rectángulo isósceles con
catetos de medida la unidad (cada uno mide 1), y aplicando le Teorema de Pitágoras
encontraremos que la longitud de la hipotenusa es igual a raíz cuadrada de 2.
Esto es lo que aparecerá en su monitor:
2- Una vez que tenga esto seleccione el botón “Razones” en este momento aparecerán las
razones relacionadas con el ángulo de 45°. Estas las podrá comprobar usted mismo con
solo ir relacionando cada razón con las medidas dadas.
ENCONTRAR LAS RELACIONES RESTANTES
Para encontrar las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º se le da un
triángulo equilátero a partir del cuál usted mismo hallará las razones asociadas a dichos
ángulos.
1- Vaya a la siguiente página, ahí encontrará un triángulo equilátero, marque la base del
triángulo junto con el vértice opuesto, seleccione Construir en el menú principal y
luego Recta Perpendicular.
2- Construya la altura del triángulo con la herramienta de Segmento.
3- Oculte la recta perpendicular.
4- Ahora tiene 2 triángulos rectángulos, trabaje con el de su preferencia.
5- Cada triángulo tendrá un cateto unitario, la hipotenusa de longitud 2 y el otro cateto de
longitud raíz cuadrada de 3 (por Teorema de Pitágoras).
6- Utilice las razones antes vistas para hallar las razones de los ángulos de 30º y 60º.
ANGULO DE ELEVACIÓN Y ANGULO DE DEPRESIÓN
Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el
lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador
y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando el observador
está más alto lo llamaremos ángulo de depresión:
Seleccione la pagina #11, ahí verás el ejemplo más especifico de lo que es un ángulo de
depresión, además otra aplicación de esto, es averiguar la distancia entre el lugar de
referencia o posición del visor y el punto de destino. Además vemos la formula necesaria
para averiguarlo teniendo un ángulo y la medida de un cateto. Después vemos la formula
despejada y el resultado de la incógnita “x”.
En la página #12 verás el ejemplo del ángulo de elevación, en donde verás que se puede
obtener la altura del la torre con solo tener la medida de un ánguloABC y la distancia BD,
Se despeja la fórmula y obtenemos el resultado.
PROBLEMAS:
A) El problema: ¿Qué ángulo de elevación tomó un avión para que, al recorrer 1 200 m,
lleve una altitud de 160 m?
Como primer paso construya un triangulo rectángulo.
Resolviendo el problema:
En este caso la hipotenusa será la distancia recorrida por el avión es decir 1200m,
lógicamente la altitud será el cateto vertical es decir 160m. Averigüe el ángulo de elevación
utilizando la fórmula necesaria.
Nota: Los siguientes dos problemas tratan de ángulos de depresión y elevación, por lo
que se trabajarán con triángulos rectángulos.
B) El problema: Desde lo alto de un faro de 30 m de altura, el guardián del mismo localiza,
con un ángulo de depresión de 20°, una embarcación. ¿A qué distancia se encuentra ésta del
faro?
Resolviendo el problema:
Utilizando el proceso anterior construiremos en triangulo rectángulo, pero en este caso será
la distancia la que hay que averiguar la cual esta representada por el cateto horizontal.
Aplique la fórmula necesaria para averiguar la distancia.
C) El problema: Un monumento proyecta una sombra de 8,31cm cuando el ángulo de
elevación es de 35,2° ¿Cuál es su altura?
Resolviendo el problema:
En la pagina #13 verás un triangulo rectángulo el cual nos sirve para representar la
situación planteada. Aplica la fórmula necesaria para averiguar la altura de la estatua.
D) El problema: Una torre de 25m de altura se localiza en el borde de un río, el ángulo de
elevación desde un observador ubicado en la otra orilla y la torre es de 35°. Determinar el
ancho del río.
Resolviendo el problema: Construya un triangulo rectángulo con la herramienta de
objetos rectos, para representar la situación planteada, con la herramienta de texto del
menú, déle una letra a la incógnita
Ahora, utilizando la fórmula necesaria y estando ya despejada, abrimos la función calcular
del menú medir. Seguidamente abrimos la paleta de funciones y luego elegimos la
necesaria en este caso que sería tan. Averigüe el valor que necesitamos.
LEY DE SENOS
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los
lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de
problemas de triángulos.
La ley de los Senos dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los ángulos del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los
lados del triángulo:
A
c
b
B
a
C
Observa que las letras minúsculas de los lados no están pegadas a su letra mayúscula. O
sea, la A está en el ángulo opuesto de a. La B está en el ángulo opuesto de b. Y la C está en
el ángulo opuesto de c. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces
así, el resultado seguramente te saldrá mal.
Resolución de triángulos por la ley de los Senos
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos
que te dan (que generalmente son tres datos).
*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de
los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver.
En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa
ley de los senos.
Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del
coseno.
Supongamos que te ponen el siguiente problema:
Resolver el triángulo siguiente:
1. Abra la pagina #14, donde sabemos los siguientes datos:
Medida del segmento a
b=?
c=?
medida del ángulo BAC
medida del ángulo ABC
C =?
2. El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un
triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de un triángulo, el
tercero siempre sale así:
C = 180° - A - B. Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela
bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas. Ya tenemos
entonces los tres ángulos A, B y C.
3. Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos sustituyendo, Nos fijamos
ahora sólo en los dos primeros términos:
haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existe ahorita, de
la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la b, (como el sen ABC está
dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba, como se muestra en la
formula).
4. Y calculamos ésta expresión: sen B*(a/sen A) con la opción calcular del menú medir
para obtener la longitud del segmento b.
5. Ahora calcula la longitud del segmento c utilizando la ley de senos.